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初中数学专项训练：全等三角形
一、选题择
1．如图，四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为E，下列结论不一定
成立的是
A． AB=AD B．AC平分∠BCD
C． AB=BD D．△BEC≌ △DEC
2．如图，在△ABC 和△DEB 中，已知 AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ ABC ≌ △DEC ，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C． BC=D ，C∠A= ∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
3．如图，已知 OP 平分∠AOB ，∠AOB= 60，CP 2， CP∥OA ，PD ⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E．如果点 M 是 OP 的中点，则 DM 的长是
A．2B．2C．3D．23
4．如图，在四边形ABCD 中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于
点 O，则图中全等三角形共有【】
A．1对B．2对 C ．3对D．4对
5．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D、 E 在 BC 上，连接AD、 AE ，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）
A． BD=CE B ． AD=AE C ． DA=DE D ． BE=CD
6．如图，已知AE=CF ，∠AFD= ∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判
定△ADF ≌ △CBE 的是（）
A．∠A= ∠C B． AD=CB C ． BE=DF D ．AD∥BC
7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=9 0° ,AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三
条直线l
上，且 l ， l 之间的距离为
1 , l ， l 之间的距离为
2 ,
3 1 2 2 3
1 2
则 AC 的长是（）
A．26 B．2 5 C．4 2 D．7
二、填空题
8．如图，已知∠ C=∠D，∠ABC= ∠BAD ，AC 与 BD 相交于点O，请写出图中一组相等的线段．
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D，AD=3 ，BC=10 ，则△BDC 的面积是。
10．如图，已知BC=EC ，∠BCE= ∠ACD ，要使△ABC ≌ △DEC ，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）
11．如图，在BC 的延长线于Rt△ABC 中，∠ACB=9 °0， AB 的垂直平分线
F，若∠F=30 °， DE=1 ，则 BE 的长是
DE
．
交AC 于 E，交
12 ．如图，△ABC 中， AD 是中线， AE 是角平分线， CF⊥AE 于 F，AB=5 ，AC=2 ，则 DF 的长为．
13．如图，在△ ABC 和△DEF 中，点 B、 F、 C、 E 在同一直线上， BF = CE ，
AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌ △DEF，这个添加的条件可以是．（只需
写一个，不添加辅助线）
14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠ BOC＝118°，则∠ A 的大小是。
15 ．如图， AB=AC ，要使△ABE ≌ △ACD ，应添加的条件是（添加一个条件即可）．
16．如图，点D、 E 分别在线段AB ， AC 上， AE=AD ，不添加新的线段和字母，
要使△ABE ≌ △ACD ，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．
17．如图，已知∠ B=∠C．添加一个条件使△ ABD ≌ △ACE （不标注新的字母，
不添加新的线段），你添加的条件是；
18．如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE ，BE=CF ，请添加一个条件，使△ABC ≌ △DEF ．
19．如图，△ABC 和△FPQ 均是等边三角形，点中点，
点P 在
D、E、F 分别是△ABC ， PB=1 ，则QE= ．三边的
20．如图，△ABC ≌ △DEF ，请根据图中提供的信息，写出 x=．
21．如图，△ABD 、△ACE 都是正三角形，BE 和CD 交于O 点，则∠BOC=_________．
22．如图 , 四边形 ABCD 中，∠BAD= ∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于 E，若线AE=5段，则 S
四边形ABCD ＝。
三、解答题
23．已知：如图，AD ， BC 相交于点O， OA=O ，D AB∥CD ．
求证： AB=CD ．
24．如图，已知， EC=AC ，∠BCE= ∠DCA ，∠A=∠E；求证： BC=DC ．
25 ．课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题 ( 如推论、定理等 ) 的正确性都需要通过推理的方法证实．（ 1）叙述三角形全等的判定
方法中的推论AAS ；
（2）证明推论 AAS ．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证
明对各步骤要注明依据．
26．如图，△ABC 与△DCB 中， AC 与 BD 交于点 E，且∠A=∠D， AB=DC ．
（1）求证：△ ABE ≌ DCE ；
（2）当∠AEB=50 °，求∠ EBC 的度数。
27．已知，如图，△ ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ ACD=
∠DCE=9 °0， D 为 AB 边上一点．求证： BD=AE ．
28．如图，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E、 F 在线段
上，且
AC
AF=CE 。求
证：FD=BE 。
29．如图，已知线段AB。
（ 1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要
求写出作法）；
（ 2）在（ 1）中所作的直线l上任意取两点M、 N（线段 AB 的上方），连接AM、 AN。 BM、BN。
求证：∠ MAN ∠=
MBN 。
30．如图，两条公路OA 和 OB 相交于O 点，在∠ AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建
一个货站P，使货站P 到两条公路OA 、 OB 的距离相等，且到两工厂C、 D
的
距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，
写出结论. ）
31．两个城镇A、 B 与两条公路l 1、 l 2位置如图所示，电信部门需在 C 处修
建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、 B 的距离必须相等，到两条
公路 l 1， l 2的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作
图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
32．如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ， CD=C ．E 求证：∠ A=∠B．
33．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 ，∠ B＞∠A，点 D 为边 AB 的中点， DE∥
BC 交 AC 于点 E， CF ∥ AB 交 DE 的延长线于点 F．
（1）求证： DE=EF ；
（2）连接 CD ，过点 D 作 DC 的垂线交 CF 的延长线于点 G，求证：∠B=∠ A＋
∠DGC．
34．如图：已知D、 E 分别在 AB 、 AC 上， AB=AC ，∠B=∠ C，求证： BE=CD ．
35．如图，∠AOB=9 °0， OA=0B ，直线l经过点 O, 分别过 A、B 两点作AC⊥l交l 于点C，BD⊥ l 交l 于点D.
求证： AD=OD.
36．已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边AB 上一动点（不与 A， B 重合），分别
过A， B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E， F， Q 为斜边AB 的中点．
（ 1）如图1，当点P 与点 Q 重合时， AE 与 BF 的位置关系是，QE
与 QF 的数量关系式；
（2）如图 2，当点 P 在线段AB 上不与点 Q 重合时，试判断QE 与 QF 的数
量关系，并给予证明；
（3）如图 3，当点 P 在线段BA（或 AB）的延长线上时，此时（ 2）中的结
论是否成立？请画出图形并给予证明．
37．如图，点 B、 F、 C、 E 在一条直线上， FB=CE ， AB ∥ED，
AC∥FD ，求证：AC=DF ．
38．如图， CD=C ，A∠1=∠2， EC=BC ，求证：DE=AB ．
39．如图，已知△ABC ≌ △ADE ，AB 与F，N．请写出图中两对全等三角形（△对加以证明．ED 交于点 M，BC 与 ED，AD 分别交于点ABC ≌ △ADE 除外），并选择其中的一
40．如图， M 是△ABC 的边 BC 的中点， AN 平分∠BAC ， BN⊥AN 于点 N，延长BN 交 AC 于点 D，已知 AB=10 ， BC=15 ， MN=3
（1）求证： BN=D ；N
（2）求△ABC 的周长．
41．如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ ACB= ∠DCE=9 °0， D
在 AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．
42．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC=9°0，∠DAE=9°0，B，C， D
在同一条直线上．求证：BD=CE ．
43．如图， AB=AE ，∠1=∠2，∠C= ∠D．求证：△ABC ≌ △AED ．
44．如图，把一个直角三角形AC（B ∠ACB=9 °0）绕着顶点 B 顺时针旋转60°，
使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置． F，G 分别是 BD ， BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．
（ 1）求证： CF=DG ；
（ 2）求出∠FHG 的度数．
45．已知等腰三角形 ABC 中，∠ACB=9 °0，点 E 在 AC 边的延长线上，且∠DEC=4 °5，点 M、 N 分别是 DE 、 AE 的中点，连接 MN 交直线 BE 于点 F．当点D 在 CB 边上时，如图 1 所示，易证
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MF+FN= 1
2
（1）当点 D 在 CB 边上时，如图 2 所示，上述结论是否成立？若成立，请给与
证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点 D 在 BC 边的延长线上时，如图 3 所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
46 ．如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上， AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE （只能添加一个）．
（ 1）你添加的条件是．
（ 2）添加条件后，请说明△ ABC ≌ △ADE 的理由．
全等三角形压轴题精选
全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展
全等三角形竞赛试题精选及答案
八年级数学《全等三角形》竞赛试题精选 注: 此卷试题有一定难度,可能每题都不会轻松做下来,你需要提高能力,而且要学会思考难题,这样你才能在考试中得心应手,一定要认真思考,并学会总结,把一类题型掌握透彻,望认真做. 一.选择题与填空题: 1. 如图，已知AB ∥CD,AD ∥BC ，AC 与BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中全等的三角形有【 】 A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 2. 在△ABC 和A B C '''?中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充件后仍不一定能保证ABC ?≌A B C '''?,则补充的条件是【 】 A.BC B C ''= B.A A '∠=∠ C.AC A C ''= D.C C '∠=∠ 3. 如图,在等边△ABC 中,AD ＝BE ＝CF,D 、E 、F 不是中点,连结AE 、BF 、CD,构成 一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是【 】 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4. 若在ABC ?中,∠ABC 的平分线交AC 于D,BC ＝AB ＋AD,∠C ＝300 ，则∠B 的度数 为【 】 A.450 B.600 C.750 D.900 5. 如图，AD 是ΔABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE+CF ＞EF B.BE+CF=EF C ．BE+CF ＜EF D.EF 与BE+CF 大小关系无法确定 6. (黄冈市中考题)在△ABC 和A B C '''?中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充条件后仍不一定能保证ABC ?≌A B C '''?,则补充的条件是( ) A.BC B C ''= B.A A '∠=∠ C.AC A C ''= D.C C '∠=∠ 7. (2001,北京市初二竞赛题)下面四个命题:①两个三角形有两边及一角对应相等,则这两个三角形全等;② 两个三角形有两角及一边对应相等,则这两个三角形全等; ③两个三角形的三 条边分别对应相等,则这两个三角形全等;④ 两个三角形的三个角分别对应相 等,则这两个三角形全等.其中真命题是( ) A. ② ③ B. ① ③ C. ③ ④ D. ② ④ 8. (第十五届江苏初二竞赛题)已知三角形的每条边长是整数,且小于等于4,这样的互不全等的三角形有( ) A.10个 B.12个 C.13个 D.14 9. 如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E,给出3个论断:①DE ＝FE;②AE ＝CE;③FC ∥AB. 以其中一个论断为结论,其余两个论断为条件,可作出3个命 题.其中正确的命题个数是_______. 10. 如图,如果正方形ABCD 中,CE ＝MN,∠MCE ＝350,那么∠ANM 的度数是________. 11. 如图,在ABC ?中,过A 点分别作AD ⊥AB,AE ⊥AC,且使AD ＝AB,AE ＝AC,BE 和CD 相交于O,则∠DOE 的度数是_____. 二.证明题: 1. 如图，在ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。求证：BD=2CE 2. 已知：ΔABC 为等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且ΔDEF 也是等边三角形，求证： Δ O F E D C B A C ' B ' A ' F E D C B A A F E D C B N M A E D C B A O E D C B
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全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N
5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
全等三角形解答题--答案
2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2012?邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC． 【解答】证明：∵AC、BD交于点O， ∴∠AOD=∠COB， 在△AOD和△COB中， ∵ ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD． 【解答】证明：∵AE∥BD， ∴∠A=∠B， ∵AC=BF， ∴AC+CF=BF+CF， ∴BC=AF， 在△EAF和△DBC中 ∵， ∴△EAF≌△DBC（SAS）， ∴∠EFA=∠BCD， ∴EF∥CD．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
八年级上有关全等三角形_探究题_总结
探究题讲练 类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320° 2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（） A．50 B．62 C．65 D．68 3.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与 坐标轴交于点A和点B。 （1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值； 类型2.线段间的数量关系 基础练习 1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
全等三角形培优竞赛题精选
全等三角形证明 1、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 2.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 3、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 5、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 6、（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． F A E D C B 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 9.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 O E D C B A 人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE ＝23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝12 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 七年级全等测试 ?选择题（共3小题） 1. 如图，EB交AC于M，交FC于D, AB交FC于N,/ E=Z F=90° / B=Z C, AE=AF,给出下列结论：①/ 1 = /2;②BE=CF③厶ACN^A ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P，BF丄AE于点F.若BP=4则PF的长（） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 二 3. 如图，OA=OC OB=OD且0A丄OB, OCX OD,下列结论：①△ AOD^A COB ②CD=AB③/ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（） D A.①② B.①②③ C?①③D.②③ 二.解答题（共11小题） 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD / EAD=Z BAC （1）求证：/ ABD=/ ACD (2)若/ ACB=65，求/ BDC的度数. B C 5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是/ BAD 的平分线，试探究AB, AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC 的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB，AF, CF之间的等量关系，证明你的结论. 6 .已知：在△ ABC中，AB=AC D为AC的中点，DE丄AB, DF丄BC,垂足分别为点E, F,且DE=DF求证：△ ABC是等边三角形. 7. 已知，在△ ABC中，/ A=90°, AB=AC点D为BC的中点. (1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE丄DF,求证：BE=AF (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE丄DF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由. 圍①图 图圏 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因 此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 1 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE= C F 吗？说明理由。 A F B C D E 2．已知AC= B D，AE =CF，BE=DF ，问AE∥CF 吗？ E F A C B D 3．已知AB= C D，BE =DF，AE =CF ，问AB∥CD 吗？ A B E F C D 4.已知AC=AB，AE= A D，∠1=∠2，问∠3=∠4 吗？ A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2 全等三角形_探究题_(各种题型非常全) 探究题讲练 类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（） A．330° B．315° C．310° D．320° 2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（） A．50 B．62 C．65 D．68 3.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。 （1）求OA+OB的值； （2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值； 类型2.线段间的数量关系 基础练习 1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠ D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF 与边AC重合，且EF=FP． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 八年级数学：全等三角形测试题（含答案） 一、选择题 1.下列说法正确的是（） A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D． 【解析】解：两个等边三角形边长不一定相等,所以不一定全等,A错误；腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等,所以不一定全等,B错误；形状相同的两个三角形对应边不一定相等,所以不一定全等,C错误； 全等三角形的面积一定相等,所以D正确, 故选D． 2.如图,△ABC≌△DEF,∠A=50°,∠C=30°,则∠E的度数为（） A．30° B．50° C．60° D．100° 【答案】D． 【解析】∵△ABC≌△DEF,∠A=50°,∠C=30°, ∴∠F=∠C=30°,∠D=∠A=50°, ∴∠D=180°﹣∠D﹣∠F=180°﹣50°﹣30°=100°, 故选D． 3.如下图,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（） A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【答案】D． 【解析】∵△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C, ∴AB=AC,∠BAE=∠CAD,BE=DC,AD=AE, 故A、B、C正确； AD的对应边是AE而非DE,所以D错误． 故选D． 4.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于（） A．72° B．60° C．50° D．58° 【答案】D． 【解析】如图, 由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°． ∵图中的两个三角形全等, ∴∠1=∠2=58°． 故选D． 5.下列说法不正确的是（） A．如果两个图形全等,那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等,只与形状、大小有关,而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等,面积相等的两个图形是全等图形 D．全等三角形的对应边相等,对应角相等 【答案】C． 【解析】A．如果两个图形全等,那么它们的形状和大小一定相同,正确,不合题意； B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图② 全等三角形中题型归纳 一、含有公共边（线段） 例1已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 二、含有公共角（夹角） 例2已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 三、直角三角形 例3已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与 CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE = BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。 四、角平分线 例4.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 五、中线（点） 例5如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由 1 2 F E A C D B A E D C B 六、二次全等 例6已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 七、线段和差倍分 例7如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 八、常见辅助线归纳总结 例8如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。 例9在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF . 九、全等与等腰三角形 例10已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE 求证：OA ＝OD ． P E D C B A A D B E F C B A E D 全等三角形中的探索题型 一、条件探索型 例1 如图所示，AB ∥ED ，AB =ED ，请问：当满足什么条件时，△ABC 与△DEF 全等，试加以证明． 分析：本题中已知条件AB ∥ED 得∠B =∠E ，再加上已知条件AB =ED ，根据全等三角形的判定规律，可考虑利用“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”证△ABC 与△DEF 全等，所以满足的条件不止一个，比如BF =CE 等． 解：情况1：可添加∠A =∠D ，∵AB ∥ED ，∴∠B =∠E ，又∵AB =ED ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 情况2：可添加BC ＝EF （如果BF ＝CE 可由等式性质得到BC ＝EF ）， ∵AB ∥ED ，∴∠B =∠E ，又∵AB =ED ． ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 情况3：可添加∠ACB ＝∠CFE ，∵AB ∥ED ，∴∠B =∠E ，又∵AB =ED ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 评析：这类题型结论明确，条件不全，解题时应仔细分析已知条件并结合图形，探索其应满足的具体条件，通过执果索因，即可获解． 二、结论探索型 例2 (常州中考题)如图2，已知△ABC 为等边三角形，D ，E ，F 分别在边BC ，CA ，AB 上，且△DEF 也是等边三角形，除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的． 分析：本题是一题结论开放题，要得到正确的结论需要根据等边三角形具有的性质，结合全等三角形的有关知识解决． 解：图中还有相等线段的线段是： AE ＝BF ＝CD ，AF ＝BD ＝CE 因为△ABC 与△DEF 都是等边三角形 所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60° ∠EDF ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°，DE ＝EF ＝FD 又因为∠CED ＋∠AEF ＝120° ∠CDE ＋∠CED ＝120° 图 2 图1 全等三角形培优竞赛讲义（二） 【知识点精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ①翻折如图（1）?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直线AO翻折180?得到的； ②旋转如图（2）?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA绕着点O旋转180?得到的； ③平移如图（3）?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2）推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在 全等三角形练习题 一．选择题（共 3 小题） AD⊥BC 于点D，若∠ BAC=128°，∠C=36°，则∠ DAE的度数是（）1．（2012?梧州）如图，AE是△ ABC的角平分 线， A． 10°B．12°C． 15°D．18° 2．（ 2011?随州）如图，在△ ABC 中 E 是 BC上的一点， EC=2BE，点 D是 AC的中点，设△ ABC，△ ADF，△ BEF 的面积 分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF，且S△ABC=12，则 S△ADF﹣ S△BEF=（） A． 1 B．2 C． 3 D．4 3．（ 2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进 5 米后向右转20°，再前进 5 米后又向右转20°，，这样一直走 下去，他第一次回到出发点O时一共走了（） A．60米B． 100米C．90米D． 120米 二．填空题（共 4 小题） 4．（ 2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、 乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．_________ ． 5．（ 2007?资阳）如图，对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB， BC， CA至点 A1，B1，C ，使得 A B=2AB， B C=2BC， C A=2CA，顺次连接 A ，B ， C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长 1111111 1 1 1 1 A1B1， B1C1，C1A1至点 A2，B2， C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2， B2， C2，得到△A2B2C2，记其 面积为S2；；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= _________ ． 6．（ 2012?通辽）如图，△S= _________．△CAO ABC 的三边AB、BC、CA长分别 为 40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO： 7．（ 2012?通辽）如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， DC⊥BC，将梯形沿对角线处，若∠ A′BC=15°，则∠ A′BD的度数为_________．BD折叠， 点 A 恰好落在DC边上的 点 A′ 三．解答题（共 5 小题） 11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下： 中． AB=AC， P 为底边BC上一点， PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、 如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB?PE+AC?PF=AB?CH． ∵AB=AC， ∴PE+PF=CH． （ 1）如图②， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、 CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加 以证明： （ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为PF，当 PF=3时，则 边上的高CH= _________．点P到AB边的距离PE= _________． AB 12．（ 2012?云南）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，点 D 是 AB边上的一点， DM⊥AB，且 DM=AC，过点 M作 ME∥BC 交AB于点 E． 求证：△ ABC≌△ MED． 全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)
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