八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册数学 全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0,

4?? ???

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．

【详解】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；

∴D （0，5）；

②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，

∴P （0，4）；

③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，

由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，

∴OC ＝54

， ∴C （0，54

）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,

4?

? ???．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140°

【解析】

【分析】

先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则

∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.

【详解】

解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，

∴b﹣d=10°，

∴（60°﹣a）﹣d=10°，

∴a+d=50°，

即∠DAO=50°，

分三种情况讨论：

①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，

∴190°﹣α=50°，

∴α=140°；

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，

故答案为：110°、125°、140°.

【点睛】

本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

3．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．

【答案】10

【解析】

利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.

故答案为10.

4．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

【答案】8

【解析】

【分析】

分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.

【详解】

解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使

△ABC 是等腰三角形的格点C 有8个．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．

5．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；

②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BR

QS ，其中一定正确的是（填写编号）

_____________.

【答案】①，②

【解析】

【分析】

连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，推出∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出QP ∥AB 即可；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ．无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BR

QS ．

【详解】

解：连接AP

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，

∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，

∵AP=AP，PR=PS，

∴AR=AS，

∴①正确；

②∵AQ=QP，

∴∠QAP=∠QPA，

∵∠QAP=∠BAP，

∴∠QPA=∠BAP，

∴QP∥AR，

∴②正确；

③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，

不满足三角形全等的条件，故③④错误；

故答案为：①②.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.

6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个

【答案】5

【解析】

【分析】

分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可

【详解】

解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个

故答案为:5

【点睛】

本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分

线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=4

3

，则DH=______．

【答案】2 3

【解析】连接AF.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.

∵DE=DC，∠EDC=30°，

∴∠DEC=∠DCE=75°，

∴∠ACF=75°-60°=15°.

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

在△ABF和△CBF中，

AB BC

ABF CBF

BF BF

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF，

∴∠FAC=∠ACF=15°，

∴∠AFH=15°+15°=30°.

∵AH⊥CD，

∴AH=

1

2

AF=

1

2

CF=

2

3

.

∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，

∴∠BDE=75°-60°=15°，

∴∠ADH=15°+30°=45°，

∴∠DAH=∠ADH=45°，

∴DH=AH=

2

3

.

故答案为

2

3

.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.

8．如图，D为ABC

?内一点，CD平分ACB

∠，BD CD

⊥，A ABD

∠=∠，若8

AC=，5

BC=，则BD的长为_______.

【答案】1.5

【解析】

【分析】

延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的

∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.

长，再根据A ABD

【详解】

延长BD交AC于点E，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC=∠EDC=900，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD

又∵CD=CD

∴△BCD≌△ECD

∴BD=ED,CE=BC=5，

∴AE=AC-CE=8-5=3，

∠=∠,

∵A ABD

∴BE=AE=3，

∴BD=1.5

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.

9．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.

【详解】

有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.

故此题正确的是①②③④.

【点睛】

此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.

∠=_______度．10．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则AFE

【答案】72．

【解析】

【分析】

根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．

【详解】

解：∵五边形ABCDE 是正五边形，

(52)1801085EAB ABC ?

?

-?∴∠=∠==

，

BA BC =

，

36BAC BCA ?∴∠=∠=

，

同理36ABE ∠?＝，

363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠?+??＝＝＝．

故答案为：72

【点睛】

本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )

A ．32

B ．332

C ．32

D ．不能确定

【答案】B

【解析】

已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH 332S △ABC =12BC ?AH =12AB ?PD+12BC?PE +12

AC ?PF ，所以

1 2×3×AH=

1

2

×3×PD+

1

2

×3×PE+

1

2

×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=

3

3

2

，即点P到三角形三边

距离之和为3

3

2

．故选B.

点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．

12．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个．

【详解】

如图，分两种情况进行讨论：

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；

∴满足条件的点P共有8个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种

情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．

13．如图，ABC ?中，60BAC ∠=?，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：

①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．①②③

C ．①②④

D ．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；

②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12

AD ，从而可证明②正确；

③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；

④连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△DFC ，从而得到BE=FC ，从而可证明④．

【详解】

解：如图所示：连接BD 、DC ．

①∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴ED=DF ．

∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE ⊥AB ，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=12

AD ． 同理：DF=

12

AD ． ∴DE+DF=AD ．

∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC 是否等于90°不知道，

∴不能判定MD 平分∠EDF ，

故③错误．

④∵DM 是BC 的垂直平分线，

∴DB=DC ．

在Rt △BED 和Rt △CFD 中

DE DF BD DC ???

＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．

∴BE=FC ．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC

又∵AE=AF ，BE=FC ，

∴AB+AC=2AE ．故④正确．

综上所述，①②④正确，

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

14．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；

②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）

A ．①...

B ．①③...

C ．② ...

D ．①②③

【答案】B

【解析】

【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠?=得出①，再证BED BCD ?，得出BED BCD 30∠∠==?;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.

【详解】

解：证明：连接

DC ，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB=BC=AC ，∠ACB=60°，

∵DB=DA ，DC=DC ，

在△ACD 与△BCD 中，AB BC DB DA DC DC =??=??=?

, ∴△ACD ≌△BCD （SSS ），

由此得出结论①正确；

∴∠BCD=∠ACD=

1302

ACB ∠=? ∵BE=AB ，

∴BE=BC ，

∵∠DBE=∠DBC ，BD=BD ， 在△BED 与△BCD 中，BE BC DBE DBC BD BD =??∠=∠??=?

, ∴△BED ≌△BCD （SAS ），

∴∠DEB=∠BCD=30°．

由此得出结论③正确；

∵EC ∥AD ，

∴∠DAC=∠ECA ，

∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，

∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，

∵BE=BA，

∴BE=BC，

∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，

在△BCE中三角和为180°，

∴2∠1+2（60°+∠1）=180°

∴∠1=15°，

∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．

因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.

15．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.

故选B.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.

16．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝

∠CDA，则∠BAC的大小是（）

A．100°B．90°C．80°D．120°

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】

解：

如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，

∴AB=BE，ACECD

∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，

∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+

∠EAC=180°

∴∠BAD+∠EAC=60°

∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；

故选：A

【点睛】

本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.

17．如图，∠AOB＝30o，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。若△PQR 周长最小，则最小周长是( )

A．6 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【解析】

作点P 关于OA 的对称点点E ，点P 关于OB 的对称点点F ，连接EF 分别交OA 于点Q ，交OB 于点R ，连=接OE 、OF ，

∵P 、E 关于OA 对称，∴OE =OP =12，∠EOA =∠AOP ，QE =QP ，

同理可证OP =OF =12，∠BOP =∠BOF ，RP =RF ，

∴OE =OF =12，∠EOF =∠EOP +∠FOP =2∠AOB =60°，

∴△OEF 是等边三角形，

∴EF =12，

∴C △PQR =PQ +PR +QR =EQ +QR +RF =EF =12.

故选B.

点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确定△PQR 周长最小时点Q 、R 的位置，再结合等边三角形的判定求出△PQR 的周长.

18．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：

①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】D

【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出

∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可

得BD=DE

，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．

详解：∵60BAC ∠=?，

∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，

∴12EBC ABC ∠=∠，12

ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022

EBC ECB ABC ACB ∠+∠=

∠+∠=??=?， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=?-∠+∠=?-?=?， 故①正确． 如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，

∴AD 为BAC ∠的平分线，

∴DF DG =，

∴36090260120FDG ∠=?-??-?=?，

又∵120BDC ∠=?，

∴120BDF CDF ∠+∠=?，120CDG CDF ∠+∠=?．

∴BDF CDG ∠=∠，

∵在BDF 和CDG △中，

90BFD CGD DF DG

BDF CDG ∠=∠=???=??∠=∠?

， ∴BDF ≌()CDG ASA ，

∴DB CD =，

∴1(180120)302

DBC ∠=?-?=?， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=?+∠，

∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，

∴ABE CBE ∠=∠，1302

BAE BAC ∠=

∠=?， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+?，

∴DEB DBE ∠=∠，

∴DB DE =，故②正确．

∵DB DE DC ==，

∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，

∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，

综上所述，正确结论有①②③，

故选：D ．

点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．

19．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C 的度数为（ ）

A ．40°

B ．41°

C ．32°

D ．36°

【答案】D

【解析】 分析：如图，连接AO 、BO ．由题意EA =EB =EO ，推出∠AOB =90°，∠OAB +∠OBA =90°，由DO =DA ，FO =FB ，推出∠DAO =∠DOA ，∠FOB =∠FBO ，推出∠CDO =2∠DAO ，

∠CFO =2∠FBO ，由∠CDO +∠CFO =108°，推出2∠DAO +2∠FBO =98°，推出

∠DAO +∠FBO =49°，由此即可解决问题．

详解：如图，连接AO 、BO ．

由题意得：EA =EB =EO ，∴∠AOB =90°，∠OAB +∠OBA =90°．∵DO =DA ，FO =FB ，∴∠DAO =∠DOA ，∠FOB =∠FBO ，∴∠CDO =2∠DAO ，

∠CFO =2∠FBO ．∵∠CDO +∠CFO =108°，∴2∠DAO +2∠FBO =108°，∴∠DAO +∠FBO =54°，

∴∠CAB +∠CBA =∠DAO +∠OAB +∠OBA +∠FBO =144°，∴∠C =180°﹣（∠CAB +∠CBA ）=180°﹣144°=36°．

故选D ．

点睛：本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．

20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为

( )

A ．(1，0)，224+

B ．(3，0)，224+

C ．(2,0), 25

D ．(2,0),252+

【答案】D

【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.

设直线BN 的解析式为y kx b =+，

∵N (1，-2)，B (3，2)，

∴232k b k b +=-??+=?

， 解得24k b =??

=-?， ∴24y x =-，

当0y =时，240x -=，

解得，2x =，