初中八年级数学上册专题及期末复习(附答案解析)

小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧

类型1 连结线段构造全等三角形

【例1】 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠D.

证明：连结AC ，

在△ABC 和△ADC 中，

???AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，

∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠B ＝∠D.

【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．

1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠C.

证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB. ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD ＝DB ，

∴△ABD ≌△CDB(ASA )．∴∠A ＝∠C.

2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E.求证：MD ＝ME.

证明：连结AM.

在△ABM 和△ACM 中，

???AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，

∴△ABM ≌△ACM(SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM.

∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，

∴MD ＝ME.

类型2 利用“截长补短”构造全等三角形

【例2】 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB.求证：CD ＝AD ＋BC.

证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE.

在△ADE 和△FDE 中，

???AD ＝FD ，

∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ，

∴△ADE ≌△FDE. ∴∠A ＝∠DFE.

又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC.

在△EFC 和△EBC 中，

???∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ，

∴△EFC ≌△EBC. ∴FC ＝BC.

∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC.

【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．

3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．

解：BC ＝BE ＋CD.

证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连结OF. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠FBO. 又∵BO ＝BO ， ∴△EBO ≌△FBO.

∴∠EOB ＝∠FOB.

∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，

∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－1

2(180°－∠A)＝120°.

∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.

∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°. ∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.

又∵CO ＝CO ，∴△DCO ≌△FCO.∴CD ＝CF.

∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.

4．(德州中考)问题背景：

如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.点E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．

(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG.先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是EF ＝BE ＋DF ；

(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝1

2∠BAD ，

上述结论是否仍然成立，并说明理由．

解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．

证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连结AG ，

∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG.

在△ABE 和△ADG 中，???BE ＝DG ，

∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，

∴△ABE ≌△ADG(SAS )． ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG . ∵∠EAF ＝1

2

∠BAD ，

∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF. ∴∠EAF ＝∠GAF.

在△AEF 和△AGF 中，???AE ＝AG ，

∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，

∴△AEF ≌△AGF(SAS )．∴EF ＝FG .

∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.

类型3 利用“中线倍长”构造全等三角形

【例3】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AC>AB ，求证：AB ＋AC>2AD>AC －AB.

证明：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，并连结CE ， ∵D 是BC 上的中点，

∴CD ＝BD.

又∵AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS )． ∴AB ＝CE.

∵AC ＋CE>2AD>AC －CE ，

∴AB ＋AC>2AD>AC －AB.

【方法归纳】 当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．

5．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝1

2

AC.

证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连结DF. ∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE.

又∵∠AEB ＝∠FED ，

∴△ABE ≌△FDE.

∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF. ∵BA ＝BD ，

∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.

∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC.

∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD. ∴DF ＝CD. 又∵AD ＝AD ，

∴△ADF ≌△ADC(SAS )． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝1

2

AC.

6．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.

证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN，

∵M为BC中点，

∴BM＝CM.

又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，

∴△AMC≌△NMB(SAS)．

∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.

∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC，AC＝BN，

∴AD＝BN.

又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．

∴DE＝NA.

又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.

小专题(二) 等腰三角形中的分类讨论

类型1 对顶角和底角的分类讨论

对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．

1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？

解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°； ②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

类型2 对腰长和底长的分类讨论

在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边． 2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm ，一边长等于7 cm ，求它的周长；

(2)等腰三角形的一边长等于8 cm ，周长等于30 cm ，求其他两边的长． 解：(1)周长为19 cm 或20 cm .

(2)其他两边的长为8 cm ，14 cm 或11 cm ，11 cm .

3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm 和12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．

解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形．

设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得

?

??x ＋12x ＝9，12x ＋y ＝12或?

??

x ＋12

x ＝12，12

x ＋y ＝9.

解得???x ＝6，y ＝9，或?

????

x ＝8，y ＝5.

故腰长是6 cm ，底边长是9 cm 或腰长是8 cm ，底边长是5 cm .

类型3 几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论

4．已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝80°，求∠CAD 的度数．

解：①如图1，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时， ∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，

∴CA ＝CB.∴△CAB 是等腰三角形． 又∵CE ⊥AB ，

∴CE 是∠ACB 的平分线．∴∠ACE ＝∠BCE. ∵∠ACB ＝50°，∴∠ACE ＝25°. 同理可得∠ADE ＝40°，

∴∠CAD ＝∠ADE －∠ACE ＝40°－25°＝15°；

图1 图2

②如图2，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同①的方法可得∠ACE ＝25°，∠ADE ＝40°，

∴∠CAD ＝180°－(∠ADE ＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°. 故∠CAD 的度数为15°或115°.

类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论

5．(下城区校级期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为

25

8

或5或8秒． 解析：①当AD ＝BD 时，

在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得

AD 2＝AC 2＋CD 2，即BD 2＝(8－BD)2＋62， 解得BD ＝25

4cm .

则t ＝2542＝25

8

(秒)；

②当AB ＝BD 时，

在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm )， 则t ＝10

2

＝5(秒)；

③当AD ＝AB 时，BD ＝2BC ＝16 cm ，

则t ＝16

2

＝8(秒)．

综上所述，t 的值可以是：25

8

，5，8.

6．(杭州期中)如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

(1)当t ＝2秒时，求PQ 的长；

(2)求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？

(3)若Q 沿B →C →A 方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．

解：(1)BQ ＝2×2＝4(cm )，

BP ＝AB －AP ＝8－2×1＝6(cm )， ∵∠B ＝90°，

∴PQ ＝BQ 2＋BP 2＝42＋62＝213(cm )． (2)根据题意，得BQ ＝BP ， 即2t ＝8－t ， 解得t ＝8

3

.

∴出发时间为8

3秒时，△PQB 是等腰三角形．

(3)分三种情况：

①当CQ ＝BQ 时，如图1所示， 则∠C ＝∠CBQ ， ∵∠ABC ＝90°，

∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°. ∴∠A ＝∠ABQ. ∴BQ ＝AQ.

∴CQ ＝AQ ＝5 cm . ∴BC ＋CQ ＝11 cm . ∴t ＝11÷2＝5.5(秒)．

②当CQ ＝BC 时，如图2所示， 则BC ＋CQ ＝12 cm . ∴t ＝12÷2＝6(秒)．

③当BC ＝BQ 时，如图3所示， 过B 点作BE ⊥AC 于点E ， 则BE ＝AB·BC AC ＝6×8

10

＝4.8(cm )．

∴CE ＝BC 2－BE 2＝3.6 cm .

∴CQ ＝2CE ＝7.2 cm . ∴BC ＋CQ ＝13.2 cm . ∴t ＝13.2÷2＝6.6(秒)．

由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形．

小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题

类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为(A )

A ．1 cm

B ．1.5 cm

C ．2 cm

D ．3 cm

第1题图 第2题图

2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于(B )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为(D )

A .25

2cm

B .152

cm C .25

4

cm

D .154

cm

第3题图 第4题图

4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B )

A ．3

B .154

C ．5

D .152

5．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为(B )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A′D ＝AD ＝5.

在Rt △A ′CD 中，A ′D 2＝A′C 2＋CD 2， 即52＝(5－A′B)2＋32，

解得A′B ＝1.

如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B ＝AB ＝3. ∵3－1＝2，

∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为2. 故选B .

6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为7．

第6题图 第7题图

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm 2．

8．如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C′处，求DE 的长．

解：∵在长方形ABCD 中，∠C ＝90°，DC ＝6，BC ＝8， ∴BD ＝62＋82＝10.

由折叠可得BC ′＝BC ＝8，EC ′＝EC ，∠BC ′E ＝∠C ＝90°， ∴C ′D ＝2，∠DC ′E ＝90°. 设DE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝6－x . 在Rt △C ′DE 中，x 2＝(6－x )2＋22， 解得x ＝10

3.

∴DE 的长为10

3

.

类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题

9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C )

A ．A ?

B ?

C ?G B ．A ?C ?G C ．A ?E ?G

D ．A ?F ?G

10．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m .(精确到0.01 m )

第10题图第11题图

11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.

12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？

解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．

构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，

连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.

∴OD＝OC，

即O为DC的中点．

由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，

∴AC′＝10 cm.

即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.

13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，

爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97；