多自由度运动方程的建立

§9.3 轴向力的效应
计入轴向力的动力平衡方程为
fi + fD + fS - fG = p(t)
（9-14）
轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为 （9-15）
或者
fG1
kG11
fG2
kG21
L L
fGi
kGi1
L L
kG12 kG22 L kGi 2 L
kG13 L
f D1
c11
c12
c13 L
c1i L
c1N
v&1
fD2
c21
c22
c23 L
c2i L
c2 N
v&2
L L L L L L L L L L
f L
Di
ci1 L
ci 2 L
ci3 L cii L ciN LLLLLL
Lv&i
或者
fD = cv&
阻尼影响系数
（9-7） （9-9）
mi1 L
mi 2 L
mi3 L mii L miN LLLLLL
Fra Baidu bibliotek
Lv&&i
fI = m&v&
质量影响系数
（9-10） （9-12）
mii 由j自由度单位加速度引起的对应于i坐标的力
（9-11）
§9.2 动力平衡条件 完整的动力平衡方程为
m & v&+ cv&+ kv = p(t) （9-13）
... ...
k1N k2N
v v
1 2
...
fSi
...
ki1
ki 2
...
k i3
...
... ... ...
...
kii
...
... ... ...
kiN
...
vi
...
（9-4） （9-5）
或者 fs = kv
（9-6）
§9.2 动力平衡条件
若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为
§9.1 自由度的选择
离散体系自由度的描述方法 ➢ 自由度方向的位移幅值 ➢ 广义坐标表示的一组位移模式的幅值
采用第一种方法
§9.1 自由度的选择
自由度选择的原则
假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原 则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点 的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一 条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取 决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真 实的动力行为，但是在许多情形中，只用二、三个自由 度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移 分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附 加自由度。
（9-16）
§9.3 轴向力的效应
引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为
m&v&+ cv&+ kv- kGv = p(t) m&v&+ cv&+ kv = p(t)
（9-18） （9-13）
或者
m&v&+ cv&+ kv = p(t)
k = k- k G
（9-19） （9-20）
结构动力学
结构动力学
第九章 多自由度运动方程的建立
第九章 多自由度体系的运动方程
§9.1 自由度的选择 §9.2 动力平衡条件 §9.3 轴向力的效应
§9.1 自由度的选择
单自由度体系两种描述方法 • 单一的坐标 • 一个变形函数——广义坐标
影响近似分析的精度的因素 主要有： ➢ 荷载的空间分布 ➢ 荷载的时间历程 ➢ 结构自身的动力特性——刚度、质量及阻尼
当力向量用矩阵形式表示时也可写成
fI + fD + fS = p(t)
（9-1） （9-2）
§9.2 动力平衡条件
每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例 如在自由度1方向上产生的弹性力分量
fS1 k11v1 k12v2 k13v3 k1N vN
（9-3a）
fS 2 k21v1 k22v2 k23v3 k2N vN 写成一般形式为
§9.1 自由度的选择 梁上每一个节点只取一个位移分量。然而， 每一个节点上可以取几个位移分量，例如 可以取转角和纵向位移作为每一个点上的 附加自由度。
图9-1 一般梁式结构的离散化
§9.2 动力平衡条件
每一个自由度其动力平衡条件可写为 fI1 fD1 fS1 p1(t) fI 2 fD2 fS 2 p2 (t) fI 3 fD3 fS3 p3 (t)
f%2i L
f%2 N
p2
L L L L L L L L L L
Lvi
f%i1
f%i 2
L L
f%i3 L f%ii L f%iN LLLLLL
Lpi
v = f% p
v = f% fs
（10-3）
（10-4） （10-5）
§10.1 弹性特性 刚度系数
cij 由j自由度单位速度引起的对应于i坐标的力 （9-8）
§9.2 动力平衡条件
惯性力可由质量系数表示为
或者
fI1
m11
m12
m13 L
m1i L
m1N
v&&1
fI 2
m21
m22
m23 L
m2i L
m2 N
v&&2
L L L L L L L L L L
Lf Ii
fSi ki1v1 ki2v2 ki3v3 kiN vN
（9-3b） （9-3c）
§9.2 动力平衡条件
刚度影响系数
kij 由j自由度单位位移引起的对应于i自由度的力
用矩阵形式表示全部弹性力的关系为
fS 1
fS
2
k11 k21
k12 k22
k13 k23
... k1i ... k2i
kG1i L
kG1 N
v1
kG23 L
kG2i L
kG2 N
v2
L L L L L L L
k L k L k Gi3
Gii
GiN
LLLLLL
vi L
fG = kGv
（9-17）
§9.3 轴向力的效应
几何刚度影响系数:
kGij
由j自由度单位位移和结构中由轴向力分量 引起的对应于i坐标的力
第十章 结构特性矩阵的计算
第十章 结构特性矩阵的计算
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
弹性特性 质量特性 阻尼特性 外荷载 几何刚度 特性公式的选择
§10.1 弹性特性
柔度系数 f% ij 在j坐标施加单位荷载引起对应 i 坐标的位移 （10-1）
§10.1 弹性特性
图10-1 柔度影响系数的定义 当任意荷载组合下某点1产生的挠度为
v1 f%11 p1 f%12 p2 f%13 p3 L f%1N pN
§10.1 弹性特性
则全部位移可表示为
或者 或者
v1
f%11
f%12
f%13 L
f%1i L
f%1N
p1
v2
f%21
f%22
f%23 L