(结构动力学)多自由度体系运动方程
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fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时百度文库 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 m
为柱的质量线密度。
6.1 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式：
f D1 c11 c12
fD
fD2 f DN
c21
cN1
c22 cN 2
c1N u1
c2N
cNN
6.1 直接平衡法
首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，
外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, …, N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。
6.1 直接平衡法
应用d’Alember原理
fI i fDi fsi pi (t), i 1, 2, N
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。
fI1
p1(t)
fI
fI 2
p(t
)
p2 (t)
f IN
pN (t)
共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。
fI fD fs p(t)
6.1 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为：
mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力
即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
6.1 直接平衡法
对于三层结构，
m1 0 0
忽略柱的质量，
M
0
m2
0
体系的质量矩阵为：
0 0 m3
6.1 直接平衡法
如果柱的质量不能忽略，则{M}的非对角线元素将不恒为
第六章 多自由度体系的运动方程
虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多
自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层 结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。 对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，
(z) 1 cos z
2H
u(t) (z)q(t)
化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的 高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数 取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单
p1(t)
p(t
)
p2 (t)
pN (t)
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
k3
k3
6.1 直接平衡法
对于惯性力也可以用矩阵的形式表达：
f I1 m11
fI
f I 2 f I 3
m21
mN1
m12 m22
mN2
m13 u1
m2N
mNN
uuN2
M
u
其中{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü}为加速 度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质 量系数或质量，它的含义是：
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
fs1 k11 k12
f
s
fs2 fsN
k21
kN1
k22 kN2
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
k1N u1
k2N
k NN
uuN2
K
u
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
u2
uN
C
u
其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{ú}为速度 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义：
cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力
结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 与刚度成正比等。
6.1 直接平衡法
外荷载向量可写成 ：
结构动力学
（2010）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需 一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以 上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等 等。
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时百度文库 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 m
为柱的质量线密度。
6.1 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式：
f D1 c11 c12
fD
fD2 f DN
c21
cN1
c22 cN 2
c1N u1
c2N
cNN
6.1 直接平衡法
首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，
外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, …, N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。
6.1 直接平衡法
应用d’Alember原理
fI i fDi fsi pi (t), i 1, 2, N
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。
fI1
p1(t)
fI
fI 2
p(t
)
p2 (t)
f IN
pN (t)
共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。
fI fD fs p(t)
6.1 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为：
mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力
即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
6.1 直接平衡法
对于三层结构，
m1 0 0
忽略柱的质量，
M
0
m2
0
体系的质量矩阵为：
0 0 m3
6.1 直接平衡法
如果柱的质量不能忽略，则{M}的非对角线元素将不恒为
第六章 多自由度体系的运动方程
虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多
自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层 结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。 对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，
(z) 1 cos z
2H
u(t) (z)q(t)
化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的 高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数 取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单
p1(t)
p(t
)
p2 (t)
pN (t)
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
k3
k3
6.1 直接平衡法
对于惯性力也可以用矩阵的形式表达：
f I1 m11
fI
f I 2 f I 3
m21
mN1
m12 m22
mN2
m13 u1
m2N
mNN
uuN2
M
u
其中{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü}为加速 度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质 量系数或质量，它的含义是：
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
fs1 k11 k12
f
s
fs2 fsN
k21
kN1
k22 kN2
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
k1N u1
k2N
k NN
uuN2
K
u
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
u2
uN
C
u
其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{ú}为速度 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义：
cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力
结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 与刚度成正比等。
6.1 直接平衡法
外荷载向量可写成 ：
结构动力学
（2010）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需 一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以 上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等 等。