2010《结构动力学》多自由度系统习题
结构动力学习题
第四部分：多自由度系统的振动
1、如图所示弹簧质量系统，当取x 1、x 2和x 3为广义坐标时，求系统各阶固有频率及振型。设m m m m 321===，k k k k 321===。
答案：运动方程为：Q x K x M =?+? m k 445.01=ω， m k 247.12=ω， m
k 802.13=ω；[]000.1802.0445.01=T φ，[]000.1555.0247.12--=T φ，[]000.1247.2802.13-=T φ
2、如图所示弹簧、质量、阻尼系统，当取x 1、x 2和x 3为广义坐标时，试列出系统的运动方程。设m m m m 321===，k ====4321k k k k ，C C C C C ====4321。
答案：运动方程为： F x K x C x M =?+?+?
其中：??????????=m m m M 000000，????
??????----=c c c c c c c C 20202 ??????????----=k k k k k
k k
K 20202，[]T F F F F 321
=，[]T x x x x 321=
3、图示系统，梁AB 的弯曲刚度为EI ，其质量忽略不计。求系统的固有频率和振型，并画出振型图。
答案：316167.0ml EI =ω， 324495.2ml EI =ω，332008.5ml
EI =ω []1415.111=T φ， []1012-=T φ， []1415.113-=T φ
工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应
1.复习模态分析理论 1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等） 系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(ω)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有： i ()()e d t H h t t ωω-∞ =? -∞ 1i () ( )e d 2π t h t H ωωω -∞ =?-∞ ()()e d 0 st H s h t t -∞ =? 1 i () ( )e d i 2πi st h t H s σωσ+∞=? -∞ 复频率响应的实部 2 1(/)R e [()]22 2 [1(/) ](2/)n H n n ωωωωω ξωω-= -+ 复频率响应的虚部 2/Im [()]22 2 [1(/)](2/) n H n n ξωω ωωω ξωω =- -+ 单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1 (w )2H k m w j k η=-+，对频响函数特征的描述 采用的几种表达式 1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线 2）相频图：相位与频率之间的关系曲线 3）实频图：实部与频率之间的关系曲线 4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线 5）矢端轨迹图（Nyquist 图） 1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式 频响函数的基本表达式：11111 ()22222100 H m k k m j k j j ωω ηωωηωη = = ?=? -+-+-Ω+ 频响函数的极坐标表达式：()|()|j H H e ?ωω=，w H （） —幅频特性， a rc ta n 21η?? ? -= ? ? ?-Ω? —相频特性。 频响函数的直角坐标表达式： ()()() R I H H jH ωωω=+， ()() 211()222 1R H k ωη -Ω= ? -Ω+—实频特性， () 1()22 2 1I H k η ωη -=? -Ω+—虚频特性 频响函数的矢量表达式：()()()R I H H ωωω=+H i j 1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征 幅频特性：1|()|0H k ωη = 固有频率：0D ωω= 阻尼比：00 B A ω ωω ηω ω -?== 相频特性
多自由度系统的振动
第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)
newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应 用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应 一、Newmark -β法的基本原理 Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。 Newmark-β法假定： t u u u u t t t t t t ?ββ??]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1) 2]}{}){2 1 [(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ?γγ???+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +?t 时刻的速度不变，取为常数
)}{}({2 1 t t t u u ?++ 。研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。 由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ?+}{及t u }{，t u }{ ，t u }{ 表示的t t u ?+}{ ，t t u ?+}{ 表达式，即有 t t t t t t t u u t u u t u }){121 (}{1)}{}({1}{2 ----=++γ?γ?γ?? (1-3) t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}1()}{}({}{ ?γ β γβ?γβ??-+-+-=++ (1-4) 考虑t +?t 时刻的振动微分方程为： t t t t t t t t R u K u C u M ????++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +?t 的方程 t t t t R u K ??++=}{}]{[ (1-6) 式中 ][][1 ][][2 C t M t K K ?γβ?γ++ = )}{)12(}){1(}{]([)}){121 (}{1}{1]( [}{}{2 t t t t t t t t u t u u t C u u t u t M R R ?γ β γβ?γβγ?γ?γ?-+-++-+++=+ 求解式(2-146)可得t t u ?+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u ?+}{ 和t t u ?+}{ 。 由此，Newmark-β法的计算步骤如下： 1.初始计算： （1）形成刚度矩阵[K ]、质量矩阵[M ]和阻尼矩阵[C ]； （2）给定初始值0}{u ， 0}{u 和0}{u ； （3）选择积分步长?t 、参数β、γ，并计算积分常数 2 01t ?γα=，t ?γβ α=1，t ?γα12=，1213 -=γα， 14-= γβα，)2(25-=γ β ?αt ，)1(6β?α-=t ，t ?βα=7； （4）形成有效刚度矩阵][][][][10C M K K αα++=； 2.对每个时间步的计算：
机械设计平面机构自由度习题
一、填空题 [1]决定机构具有确定运动的独立运动参数称为机构的__________________。 [4]形成运动副的两个构件只能在一个平面内相对转动叫_________________________。 [5]房门的开关运动，是____________________副在接触处所允许的相对转动。 [6]在平面机构中，具有两个约束的运动副是___________副。 [7]由于组成运动副中两构件之间的________________形式不同，运动副分为高副和低副。 [8]两构件之间作________________接触的运动副，叫低副。 [9]5个构件组成同一回转轴线的转动副，则该处共有_____________个转动副。 [10]平面运动副的最大约束数为________，最小约束数为__________。 [11]平面机构中若引入一个高副将带入_________个约束，而引入一个低副将带入_________个约束。 [12]机构具有确定运动的条件是_______________________________________________________________________________ ________________。 [13]机构具有确定运动的条件是__________的数目等于自由度数F（F＞0）。 [14]当机构的原动件数目_______________其自由度时，该机构具有确定的运动。 [15]运动副是指能使两构件之间既保持________________接触。而又能产生一定形式相对运动的_____________。 [16]抽屉的拉出或推进运动，是______________副在接触处所允许的相对移动。 [17]两构件之间作______________或____________接触的运动副，叫高副。 [18]组成机构的要素是__________________和________________。 [19]机构中的复合铰链是指________________________________________________________。 [20]在平面机构中，具有一个约束的运动副是__________副。 [21]两构件之间作面接触的运动副，叫______________。 [22]从机构结构观点来看，任何机构是由_________________，_____________________，_____________________三部分组成。 [23]两构件构成低副后，保留___________个自由度。 [24]机构中的局部自由度是指机构中出现的一种与输出构件运动______________的自由度。 [25]机构中的虚约束是指______________________________________________________________________________。 [26]两构件构成高副后，保留__________个自由度。 [27]回转副的两构件之间，在接触处只允许绕孔的轴心线作相对______________。 [28]通过点、线接触的运动副称为______________。 [29]火车车轮在铁轨上的滚动，属于__________副。 [30]低副的缺点：由于是滑动摩擦，摩擦损失比高副__________，效率____________。 [31]计算自由度应注意的三个方面是__________________、______________和_________________。 [32]作平面运动的构件自由度为____________，机构的自由度为________________________________。 [33]移动副的两构件之间，在接触处只允许按给定方向作相对________________。 [34]带动其他构件_____________的构件，叫原动件。 [35]在原动件的带动下，作确定运动的构件，叫______________。 [36]低副的优点：制造和维修容易，单位面积压力小，承载能力____________。
第3章单自由度体系5(直接积分法)
第三章单自由度体系 直接积分法
主要内容 ?两种直接积分方法 （1）中心差分法 （2）Newmark—β法 ?数值积分的稳定性 ?了解算法阻尼（数值阻尼）现象
1. 数值积分概述（直接积分法，逐步积分法） (Direct Integration Methods, Step-by-Step Methods) 运动方程：In direct integration the equations of equilibrium are integrated using a numerical step-by-step procedure, the term ‘direct ’meaning that prior to the numerical integration, no transformation of equations into a different form is carried out. (K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996.)Two ideas: (1)运动方程并不在任何时间t 都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt 的离散时间点上得到满足。 (2)在时间间隔Δt 内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。 ()()()mu c t u k t u p t ++=
1. 数值积分概述 常用的数值积分方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）Runge-Kutta法； （4）Houbolt法； （5）平均加速度法； （6）线性加速度法； （7）Newmark—β法； （8）Wilson —θ法； （9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylor method)； （10）精细积分法； ……
机械工程基础-自由度计算例题(答案)
1. 1.构件数n为7,低副p为9,高副pn为1,局部自由度为1,虚约束为0. E处为局部自由度,C处为复合铰链. F=3n-2p-pn=3*7-2*9-1=2（与原动件数目一致,运动确定） 2. 3.
4. 5. 6. 2. B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0, F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 3.A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 n=6, PL=8, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。
4. 没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PL=5, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 5. 计算自由度：n=4, P L=6, P H=0, F= 3n-2P L -P H=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 6. F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。 n=7, PL=9, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。 运动链没有确定运动，因为原动件数< 自由度数。
单自由度系统.
第1章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.4 求图1-33中标出参数的系统的固有频率。 1.5 求图1-34所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k. 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为A m ，半径为A r ，齿轮B 的质量为B m ，半径为B r ,杆AC 的扭转刚度为A k , ,杆BD 的扭转刚度为B k 。 1.8已知图1-37所示振动系统中，匀质杆长为l ，质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼系数 为C ，求当初始条件00 0==θθ 时
（１）t F t f ωsin )(=的稳态解； （２）t t t f )()(δ=的解； 1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图1-39。设m 、k 、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数sin()y h at =表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。 1.1 2.若流体的阻尼力可写为3x b F d -=,求其等效粘性阻尼。
平面机构自由度计算思考题和习题
平面机构自由度计算思考题和习题 1、思考题 ?什么是构件、运动副、运动链自由度?它们有何异同点? ?什么是运动副约束？平面运动副中最多约束数为多少？为什么？ ?试写出计算平面运动链自由度公式，并从物理概念简述其推演过程。 ?计算运动链自由度的目的何在? ?机构具有确定运动的条件是什么?如果不满足该条件可能会出现哪些情况? ?什么是虚约束?总结归纳出现虚约束的几种情况。 2、习题 1）通过自由度计算判断图示运动链是否有确定运动 （图中箭头所示构件为原动件）。如果不满足有确 定运动的条件,请提出修改意见并画出运动简图。 2）计算下列各运动链的自由度,并指出其中是否有复合 铰链、局部自由度、虚约束。最后判断该机构是否有确定运动(图中箭头所示构件为原动件），为什么? (A） (B) （Ｃ） (D）
３、习题答案 1）计算自由度：n=4，P L=６, ＰＨ＝0, F= 3ｎ-２P L -P H=3×４-2×6-１×０=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 2)答案 （A）没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PＬ=5,ＰH=1, F= 3n-２PL -PH=３×4-２×5-１=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 （B)Ａ处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 ｎ=６，PL=８, PH＝１, F= 3n-2PL -PH=3×6－2×8-1=１。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 (C) F处为复合铰链,因为有３个构件在此处组成成转动副,所以应算2个转动副。 B处为局部自由度,假设将滚子同构件ＣB固结。 移动副Ｍ、Ｎ中有一个为虚约束,属于两构件在多处组成运动副。 ｎ=７, PL=9, PH＝1, F＝ 3ｎ－２PL －PH=３×7-2×9-1=２。 运动链没有确定运动,因为原动件数< 自由度数。 （Ｄ）B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束,属于与运动无关的对称部分。n=5, PL＝7, PH=0, Ｆ＝ 3ｎ-２ＰL -ＰＨ＝3×５-2×7－１×0＝1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。
Newmark法求解单自由度
% 单位：N/mm/s/ton function res=Newmark(alpha,C) % 系统设置； T=0.1/alpha; K=(2*3.1415926/T)^2; M=1; % C=0; % 定义参数 h=0.0002; beta=0.25; gamma=0.5; con=zeros(1,7); con(1)=1/(beta*h^2); con(2)=gamma/(beta*h); con(3)=1/(beta*h); con(4)=1/(2*beta)-1; con(5)=gamma/beta-1; con(6)=0.5*h*(gamma/beta-2); con(7)=h*(1-gamma/(2*beta)); % 有效刚度 Ke=K+con(1)*M+con(2)*C; % 定义矩形荷载 t=0:h:1; f=zeros(1,size(t,2)); for i=1:size(t,2) if t(i)==0 f(i)=0; else if t(i)>0 && t(i)<=0.1 f(i)=1000*(3.1415926)^2; else f(i)=0; end end % plot(t,f); % 系统初始条件 u0=0; du0=0; ddu0=0; U=zeros(3,size(t,2)); % 求解 for i=1:(size(t,2)-1) fe=f(i+1)+M*(con(1)*u0+con(3)*du0+con(4)*ddu0)+C*(con(2)*u0+con(5)*du 0+con(6)*ddu0); u1=fe/Ke;
du1=con(2)*(u1-u0)-con(5)*du0+con(7)*ddu0; %计算速度和加速度； ddu1=(f(i+1)-C*du1-K*u1)/M; U(:,i+1)=[u1;du1;ddu1]; u0=u1; du0=du1; ddu0=ddu1; end res=[U;t]; end
单自由度系统
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
平面机构自由度计算例题及答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1.构件数n为7,低副p为9,高副pn为1,局部自由度为1,虚约束为0. E处为局部自由度,C处为复合铰链. F=3n-2p-pn=3*7-2*9-1=2（与原动件数目一致,运动确定） 2. B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0, F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 3.A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 n=6, PL=8, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 4. 没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PL=5, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 5. 计算自由度：n=4, P L=6, P H=0, F= 3n-2P L -P H=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 6. F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。 n=7, PL=9, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。 运动链没有确定运动，因为原动件数< 自由度数。
自由度计算习题
1 指出图示机构中的复合铰链、局部自由度和虚约束，并计算机构自由度。 解：第2、3、4三个构件构成2个回转付。(这是复合铰链) 构件6、7构成一个回转付。 加上A、B、D三处三个回转付总共6个回转付。 构件4和机架，3和5各构成一个移动付。 构件7和机架，6和5各构成一个移动付共有4个移动付。 共计有10个低付，没有高付。∴ 共有8个构件，其中7个活动件。 n=7 由计算自由度的公式： F=3n-2-=3*7-2*10-0=1 ∴该机构的自由度为1。即只要一个原动件，机构即可有确定的运动。
2 求机构的自由度，并判断机构是否有确定的相对运动。 解：构件3、4、5构成2个回转付 共7个回转付，2个移动付。=7+2=9 一个高付PH=1。(凸轮与滚子从动件接触处) n=7 ∴F=3n-2- =3*7-2*9-1=2 该机构自由度为2 ∴必须要有二个主动件，机构才能有确定的运动。
3、计算图示机构的自由度，并判断机构是否具有确定的运动。（作业）（如有复合铰链、虚约束、局部自由度须指出）
4、计算如图所示机构的自由度（若有复合铰链、局部自由度、虚约束必须明确指出）（作业）
5. 在图示机构中， 已知 ω110= rad/s ， l l l AB BC BD ===01. m 。用图解法求 v D 以及全部瞬心。（本题10分）（作业） （1） 求 v D Q r r r v v v C B C B 22=+， v l B AB ==?=ω110011. m/s r r r v v v C C C C 2323=+， v C 30= ∴=+r r r v v v C C B C B 232 作 速 度 多 边 形， 利 用 影 像 法 求 d ， v v D B =≈21414. m/s （瞬心。。。略）
第七节多自由度系统中的阻尼
第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材6.14） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）
因 [][][][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 { }{}{ }12 3111, 0,111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00 011 1000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??
单自由度体系杜哈梅积分
function y=kst(t0,t1,t2,ts,m,b0,b1,w0,c) t0=input('请输入起始时间:t0= ');t1=input('请输入荷载消失时间:t1= ');t2=input('请输入想要的时间:t2= '); ts=input('请输入时间步长:ts= '); m=input('请输入质量:m= ') ;b0=input('请输入荷载截距:b0= ');b1=input('荷载消失时的荷载:b1= ');k=input('请输入刚度:k= ') ; c=input('请输入阻尼比:c= '); w0=sqrt(k/m);w1=w0*sqrt(1-c^2); t=t0:ts:t2; for i=1:(length(t)) x=linspace(t(1),t(length(t))) p=interp1([t0 t1],[b0 b1],t); p(find(isnan(p)==1)) = 0; px=linspace(p(1),p(length(t))); a=px.*exp(c*w0*x).*cos(w1*x); A=trapz(x,a); b=px.*exp(c*w0*x).*sin(w1*x); B=trapz(x,b); y=exp(-c*w0*t).*(A.*sin(w1*t)-B.*cos(w1*t))./(m*w1) v=diff(y) a0=diff(y,2) end ymax=max(y)
figure plot(t,y); 此程序为复合梯形法计算冲击荷载作用下的杜哈梅积分。 以P(t)=-1250000*(t+0.08)的冲击荷载为例，质量：m=6.4；阻尼比c=0.05；刚度：k=34847.77 N/m.将参数输入程序得到以下结果：
01-02 2013机构自由度计算试题答案
一、填空题 1. 平面运动副的最大约束数为____2_____，最小约束数为_____1_____。 2.平面机构中若引入一个高副将带入_____1____个约束，而引入一个低副将带入 _____2____个约束。平面机构中约束数与自由度数的关系是_约束数+自由度数=3_。 3. 在机器中，零件是最小制造的单元，构件是最小运动的单元。 4. 点或线接触的运动副称为高副，如齿轮副、凸轮副等。5．机器中的构件可以是单一的零件，也可以是由多个零件装配成的刚性结构。6．两个构件相互接触形成的具有确定相对运动的一种联接称为运动副。7．面接触的运动副称为低副，如转动副、移动副等。8．把两个以上的构件通过运动副的联接而构成的相对可动的系统称为是运动链，若运动链的各构件构成了首末封闭的系统称为闭链，若运动链的构件未构成首末封闭的系统称为开链。 9．平面机构是指组成机构的各个构件均在同一平面内运动。10．在平面机构中，平面低副提供 2 个约束，平面高副提供 1 个约束。 11．机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目称为机构的自由度。 12．机构具有确定运动的条件是机构的原动件数等于自由度数。 二、简答题 1. 机构具有确定运动的条件是什么？ 答：1.要有原动件；2.自由度大于0；3.原动件个数等于自由度数。 2. 何谓复合铰链、局部自由度和虚约束？在计算机构自由度时应如何处理？ 答：复合铰链是三个或更多个构件组成两个或更多个共轴线的转动副。 在有些机构中, 其某些构件所能产生的局部运动并不影响其他构件的运动, 我们把这些构件所能产生的这种局部运动的自由度称为局部自由度。 虚约束是在机构中与其他约束重复而不起限制运动作用的约束。 在计算机构自由度时, K个构件汇交而成的复合铰链应具有（K-1）个转动副，同时应将机构中的局部自由度、虚约束除去不计。
第七节多自由度系统中的阻尼
第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）
因 [][] [][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 {}{}{}12 31112, 0,2111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? m 1 m 2m 3 k 3 k 1 2 x 1 x 3 k 2 k 4 c 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00011 21000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??
1 单自由度体系的自由振动
y s y(t) s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y §1 单自由度体系的自由振动 一、无阻尼的自由振动： 如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =， 梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相 应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。 1、建立运动方程 建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。 今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+
上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。 而 1y s W k =? 即 y s W k =? 因此，将()s k y y s =-+和y s W k =?代入式（1）得 ()0 F t ky =-+ （2） 上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。 将2 2 ()d y F t m dt =-代入式（2）得： 2 2()0d y m ky t dt += 令2 k m ω= dy y dt = （速度） 2 2 d y y dt = （加速度） 则 2 2 ()0d y m ky t dt += 可变为 2 y y ω+= （3） 此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。 若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m 处除惯性力2 2()d y F t m dt =-这个假想的 外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为