(精选)多自由度体系的动力响应分析

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多自由度控制水下拖曳体水动力响应分析

ＪｉｎＸｉａｏ — ｄｏｎｇ，ＷｕＪｉａ — ｍｉｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＴｒａｆｉｆｃａｎｄＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖ．ｏｆＴｅｃｈ．，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅａｃｃＯｒｄｉｎｇａｎｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ３Ｄｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ａｎｄｕｓｉｎｇＦ０ＲＴＲＡＮｌａｎｇｕａｇｅｔｏｐｒｏｇｒａｍ．ａｎｄｔｈｒｏｕｇｈｄｏｃｋｉｎｇＦＬＵＮＴｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｃｏｍｅｔｒｕｅｓｉｘ — ｄｅｇｒｅｅｓ — ｆｒｅｅｄｏｍｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ１ｍｏｄｅ１．ＡｂｌｏｗａｎｄＳｃｈｅｃｈｔｅｒｍｏｄｅｌｉＳｕｓｅｄｔｏｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃａｂｌｅ，ａｎｄｄｒａｇｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓｔａｔｅｂｏｄｙｉＳｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙＧｅｒｔｌｅｒａｎｄＨａｒｇｅｎｓｉｘｄｅｇｒｅｅｏｆｒｅｆｅｄｏｍｍｏｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｓｔｕｄｙ．ｔｈｅｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙＦＬＵＥＮＴＳＯｆｌｗａｒｅｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇＮ— Ｓｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔ：ｄｅｐｒｅｓｓｉｎｇａｉｒｆｏｉｌ．ｖｅｒｔｉｃａｌａｉｒｆｏｉｌｃｏｎｔｒｏｌｃａｎｌｅｆｘｉｂｌｙｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ．ｗｈｉｃｈｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｃａｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｓｔａｔｅｏｆｍｏｔｉｏｎｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｗｈｏｌｅｔｏｗｅｄｓｙｓｔｅｍｄｕｒｉｎｇｔｈｅｔｏｗｉｎｇ．Ｎｕｍｅｒｉｃａ１ａｎａｌｙｓｉＳｍｅｔｈｏｄｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｃａｎｂｅｕｓｅｄｆｏｒｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｕｎｄｅｗａｒｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｏｒｆｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙｄｅｓｉｇｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｄｅｗａｒｔｅｒｔｏｗｅｄｖｅｈｉｃｌｅ；ｄｅｐｒｅｓｓｉｎｇａｉｒｆｏｉｌ；ｖｅｒｔｉｃａｌａｉｒｆｏｉｌ；ｍｏｔｉｏｎｒｅｓｐｏｎｓｅ

08-动力响应分析

其中 ω1 = 0.3559
k , m
ω2 = 1.1281
k , m
ω3 = 1.7609
k m
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均为，轴重 kθ ɺ 不计。若已知运动的初始条件θ 0 = (0 0 0) T ，θ 0 = (ω 0 0) T 求系统对初始条件的响应。解：系统的位置可由三圆盘的转角 θ 1 ，θ 2 ，θ 3 确定，运动微分方程是
由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率ω2作谐振动。
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多自由度系统
无阻尼系统对激励的响应设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用
f = F sin pt 它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
0 − θ N (0) = AN1θ 0 = 2 I β − 1 0
0 − θɺN (0) = AN1θɺ0 = 0 0
对于半正定系统，有固有频率 ωi = 0 系统具有刚体运动振型
ɺɺN i = 0 x
ɺ x N i = x N i (0) + x N i (0)t
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newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应知识讲解

用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t t t t t t t u u t u u tu}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

newmark法计算多自由度结构响应

newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。

为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。

本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。

一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。

newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。

newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。

通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。

因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。

二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。

建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。

一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。

多自由度体系地震反应分析

多自由度体系地震反应分析
mn
i+1
mi
i
m2
m1
一.多自由度弹性体系动力分析回顾 1.无阻尼多自由度自由振动分析运动方程
设方程的特解为
利用
不恒为0,有特征方程
3-41
m2 y2 (t) m1 y1(t)
3-42 将3-42，代入3-41
3-43
特征方程存在非0解的充要条件是系数行列式等于0 3-44
取
，则
，所以第二振型向量
（3）验证正交性
学习是一件快乐的事情，且听下回分解！
振型对刚度的正交性:
由3-43得
j振型
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0，体系以一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
振型对性的物理意义
i振型上的弹性力在j振型上作的虚功
等于0，体系以一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
例.求图示体系的频率、振型. 已知:
解:
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
1.618 1
0.618 1
按振型振动时的运动规律按i振型振动时，质点的位移为
质点的加速度为
m2 y2 (t) m1 y1(t)
质点上的惯性力为质点上的惯性力与位移同频同步。
X 21
m2
X
2i
2 i
m1
X
1i
2 i
---3-44为有关ω的多项式称为频率方程
频率方程的每一个根ω，特征方程3-43有一个非0解{X} 称为振型向量，特征向量，模态向量。
3-43 特征方程
---振型方程为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法可以采用下述三种方法之一： ①特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1，其它元素按比例确定； ②最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中的最大值；

newmark法程序法计算多自由度体系地动力响应

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

1999 多自由度系统动力学响应灵敏度分析与振动控制

加 ,则响应也能表示成脉冲响应的累加 ,于是有
∫t
Xs = H ( t - t1) S ( t1) d t1
(6)
t0
H ( t - t1) = [ hjk ( t - t1) ] N ×N
(7)
式中 N 为系统自由度数 ,脉冲响应矩阵 H 的元素 hjk ( t - t1) 表示系统对于 t1 时刻第 k 个
第 20 卷第 2 期
固体力学学报
Vol . 20 No . 2
1999年 6月 AC TA M ECHAN ICA SOL IDA SIN ICA
J une 1999
多自由度系统动力响应灵敏度分析与振动控制
应祖光吴淇泰
(浙江大学力学系 ,杭州 ,310027)
δJ
(
b
,
t
,
X
,
·
X
,
¨
X)
=
Jb(
b
,
t
,
X
,
·
X
,
¨
X)
δb
(14a)
Jb =
J/
b + ( J/
X) T Y + ( J/
·
X)
T
·
Y+
(
J/
¨
X)
T
¨
Y
(14b)
设性能指标 J1 在 τ1 m时达到极值 J1 m ,则性能指标极值的变分来自设计变量的改变直接引
起的和经由达到极值时间偏移引起的以及它们造成响应变化所致的三部分 ,即
见 ,因设计变量变分导致性能指标达到极值时间的变分不影响相应性能指标极值的变分 ,即
τm 的灵敏度不影响 J m 的灵敏度. 于是 ,可得性能指标极值关于设计变量的灵敏度

newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应知识讲解

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

第三章多自由度机构的动力学分析

1
M3
M6
Q1 M 1 , Q2 M 3 , Q3 M 6
广义力用虚功原理求解
动能均为角速度 (广义速度)的函数，
H1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H2
注：轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。
M 1 (驱)
M3
M6
1 J12 q 2 J13q 3 Q1 J11q 1 J 22 q 2 J 23q 3 Q2 J 21q J q 2 J 33 q 3 Q3 31 1 J 32 q
N
J q
j 1 N
kj j
Jkj 1 J jj 2 1 Jkk 2 j k ( )q q 2 qk 2 qk j 1 q j
Jkk jq k q j 1 q j
j k
N 1 N
j k N
M 1 LM 1 M k Lk
( q
JkM
L

JkL JML M q L )q qM qk
J ij 的下标的含义：与i、j广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。
如
J 23 (mi (ui 2 x ui 3 x ui 2 y ui 3 y ) J is ii 2 ii 3 )
空间任一运动的刚体
三、系统势能
势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用“U”表示。常见势能有
四、广义力
哪些？
广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力
例1：如图，已知各转动惯量、力矩 H z1 z 2 z 4 z5 20 z3 z6 60

结构动力学中的模态分析和多自由度系统

结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。

而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。

在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。

一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。

模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。

具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。

二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。

首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。

此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。

在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。

三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。

对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。

总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。

通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。

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4
m 0 1 m 0 2 u u 1 2 + k 1 k 2 k 2 k k 2 2 u u 1 2 = p 0 0 sint
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑此体系的稳态运动，即可设
u1(t) u2(t)
=uu1200
sint.
将其代入控制方程，得到
p0sin(t)
11 21 2 2
,
u 1 st 0
12
2 1
12
2 2
u20
1
.
u2st 0
12
2 1
12
2 2
可见，
➢ 体系的运动幅值与/1或/2有关
➢ 当=1或=2时，体系发生共振，其稳态响应的幅值
为无穷大
➢ 当=21/21时，体系的第一个质量的幅值为零，即u10=0
这就是吸振器（调谐质量阻尼器）的工作原理
第七章
多自由度体系的动力响应分析
Dynamic Analysis for Systems of Multiple Degree of Freedom
1
第七章多自由度体系的动力响应分析
主要内容
§1 两自由度无阻尼体系的动力响应 §2 多自由度体系动力响应的振型分析法 §3 振型响应贡献 §4 特殊分析方法
k1
m1
k2
m2
m1
k1
体系中集中质量的受力为
m1
m1ü1
p0sin(t)
-k1u1 k2(u2-u1)
m2
m2ü2
于是，体系的运动控制方程为
-k2(u2-u1)
m 0 1 m 0 2 u u 1 2 + k 1 k 2 k 2 k k 2 2 u u 1 2 = p 0 0 sint.
d e t k 2 m m 1 m 22 1 2 2 2 2 .
同时
m2
u2
ห้องสมุดไป่ตู้
k2
u1
m1
k1
于是 adj k2m k2 k m 22 2 k1k2 k 2m 1 2 ,
u u 1 2 0 0 m 1 m 2 2 1 1 2 2 2 2 k 2 k m 2 22 k 1 k 2 k 2m 12 p 0 0 .
设无阻尼体系的N固有频率为i，相应的振型为fi，令 u(t)q qi(t)fi.
i1
代入运动方程可得
N
N
N
m fiq i(t) cfiq i(t) k fiq i(t)p (t).
i 1
i 1
i 1
两边乘以振型fjT，可得
ff ff ff f N
N
N
jT m iq i(t) jT ciq i(t) jT kiq i(t)jT p (t).
m1.
m2
u1
u2
p0sin(t)
k1
m1
k2
m2
10
第七章多自由度体系的动力响应分析
则根据前面的结果，有
u10
p0 k1
1
2
1
12 2
2
1
212
2
2
1
,
2
u20
p0 k1
1
2
1
2
1
1
212
2
2
1
.
2
可见，当
2
时，主质量m1的振幅为零。
为减少在主质量固有频率1*附近的振动幅值，
9
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑如图所示的单自由度无
阻尼体系，当激振频率接近体系的固有频率0时，质量m1（主
系统）的运动幅值将变得很大
u1 p0sin(t)
k1
m1
为减少主质量的运动幅值，在主质量m1上附加一个弹簧和质量（称为吸振器），构成两自由度体系
记
1
k1, m1
2
k2 , m2
m2
u2
k2
u1
m1
k1
k 1 k 2k 2 m 12 k 2 m k 2 22 u u 1 2 0 0 sint p 0 0 sint.
即
于是
k2muu1200
p0 0
.
u u 1 2 0 0 k 2 m 1 p 0 0 d e t k 1 2 m a d j k 2 m p 0 0 .
i 1
i 1
i 1
利用振型的正交性，并记 Pj fjTp(t),Cji fjTcfi，则有 N
可令
2
1
即吸振器的固有频率被调谐到主系统的固有频率
11
§2 多自由度体系动力响应的振型分析法
Modal Analysis for Dynamic Responses of Undamped Systems
12
第七章多自由度体系的动力响应分析
对于具有粘滞阻尼的多自由度体系，其方程为
m u c u k u p (t).
并且
u 102k1p02 1 1 21 21 1 2 2 2
,
2 2
u202k12
p0
2 1
12
.
2 2
7
u u1 20 0detk1 2m adjk2m p 00
第七章多自由度体系的动力响应分析
记体系的最大静力位移为
u1st02pk0, u2st02pk0.
则
u 10
其中，det[·]和adj[·]分别表示 [·]的行列式和伴随矩阵
5
u u1 20 0detk1 2m adjk2m p 00
第七章多自由度体系的动力响应分析
由于
detk2mk1k 2k2m12
k2
k2m22
p0sin(t)
=m1m24m2(k1k2)m1k22+k1k2.
设其根分别为1和2（固有频率），则
6
第七章多自由度体系的动力响应分析
即
u 1 0 m 1 m 2k 2 2 m 2 1 22p 2 0 2 2,
u 2 0 m 1 m 2 2 k 2 p 1 2 0
. 2 2 2
取 m 1 2 m ,m 2 m ,k 1 2 k ,k 2 k . 则
1
k, 2m
2
2k. m
2
§1 两自由度无阻尼体系的动力响应
Dynamic Analysis of Systems of Two Degree of Freedom without Damping
3
第七章多自由度体系的动力响应分析
考虑如图所示的两自由度无阻尼体系
u1 p0sin(t)
u2 p0sin(t)
m2
u2
k2 u1
8
第七章多自由度体系的动力响应分析
体系幅值与激励频率的响应
4
2
0
1
0
0.5
1
1.5
u 10/(u 1st)0
-2
2
/ 1
2
2.5
3
-4
幅值u 10/(u 1st)0与频率 / 1的关系 4
u 20/(u 2st)0
2
0
1
2
/ 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2
-4 幅值u 20/(u 2st)0与频率 / 1的关系