多自由度系统动力学方程
自由度机械系统动力学分析
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力 学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度 机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、 自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特 别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴 领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
THANK YOU
感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有 特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理 论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
机械原理与机械设计 (上册) 第4版 第11章 机械系统动力学
k
qi
δW Fe1δq1 Fe2δq2
P Fe1q1 Fe2q2
(i 1,2)
3. 动力学方程
J11q1
J12q2
1 2
J11 q1
q12
J11 q2
q1q 2
J12 q2
1 2
J 22 q1
q22
Fe1
J 12 q1
J 22q2
J12 q1
1 2
J11 q2
q12
J 22 q1
q1q 2
dt
等效驱动力矩
等效阻力矩
若 me 与 Je 为常数，则
Fed Fer M ed M er
me Je
dv dt
d
dt
能量形式（积分形式）
s2 s1
Fedds
s2 s1
Ferds
1 2
me 2 v22
1 2
me1v12
阻抗功
损耗功
总耗功
输入功
Wd (Wr Wf ) Wd Wc E2 E1
终止动能
起始动能
第二节 多自由度机械系统的动力学分析(简介）
机械系统的动力学方程:外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式
一、拉格朗日方程
动能
势能
自由度
d dt
E qi
E qi
U qi
Fei
(i 1,2,, N)
J1 1
m2 vc2 Jc2 2
m3v3
d
1 2
J112
1 2
m2vc22
1 2
J
2
c2 2
1 2
m3v32
(M11
P3v3
)dt
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
多自由度机械系统动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4
多自由度机械系统动力学
2021年6月18日
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
本章解决的主要问题及内容
解决的问题： 解决两自由度机械系统的动力学问题。采 用方法为拉格朗日方程的分析方法。
主要的内容：
一、拉格朗日方程；
工程中的非自由质点系，受到的约束大多是稳定的完整 约束（约束方程仅与质点系的位置有关）。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数 目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度数。
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独
立坐标。其自由度 为 N=3n-s 。
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
例：铅直平面内摆动的双摆。
▼确定A、B两点位置（平面问题） 需四个独立坐标 ▼系统受两个完整约束，其约束方程：
x12 y12 a2 , (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
▼系统的自由度：N=2n-s=4-2=2
★两个自由度, 取广义坐标，
Qk 0 (k 1,2,, N )
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
以广义坐标 表示的质点系的平衡条件：
Qk
n
(Xi
i 1
xi qk
Yi
yi qk
Zi
zi ) 0 qk
(k 1,2,, N)
解决质点系的平衡问题的关键是如何计算广义力
※广义力的计算
方法1：计算广义力 Qk 的步骤
N
xi
结构动力学多自由度系统振动
运用功旳互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji， 于是上述刚度矩阵为：
k1 k2
k2
K 0
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0
0 k3 k3 k4 k4
0
0 0 k4 k4 k5 k5
0
0
0
k5
k5
⒉ 柔度法 柔度系数aij定义为：
在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生旳位移。
K12 k2 K22 k2 k3
K32 k3 K42 0 K52 0
K13 0 K23 k3 K33 k3 k4 K43 k4 K53 0
K14 0 K24 0 K34 k4 K44 k4 k5 K54 k5
K15 0 K25 0 K35 0 K45 k5 K55 k5
(a) m1 mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
(a) m1
mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产
2
2
2
1 Mx 2 1 m[x 2 2Lx cos L2 2 ] 1 kx2 mgL(1 cos)
2
2
2
d dt
六关节机械臂拉格朗日动力学方程
六关节机械臂拉格朗日动力学方程六关节机械臂是一种多自由度机械结构，常见于工业制造、医疗器械等领域，具有灵活、高精度的特点。
在进行机械臂运动控制时，拉格朗日动力学方程是一种重要的数学工具，可以描述机械臂的运动学和动力学特性。
本篇文章将详细介绍六关节机械臂拉格朗日动力学方程的推导过程和应用。
**一、机械臂的构造**六关节机械臂由6个关节连接而成，每个关节可以进行转动运动。
机械臂的末端往往安装有工具或夹具，用于完成各种任务。
机械臂上的每个关节都有一个旋转轴和一个驱动器，通过控制驱动器的运动来控制机械臂的姿态和位置。
**二、运动学分析**在进行动力学分析之前，首先需要对机械臂的运动进行数学建模，得到机械臂各关节的运动学方程。
常用的方法是使用旋转矩阵和欧拉角来描述机械臂的姿态。
将机械臂的姿态表示为旋转矩阵，可以得到机械臂末端位姿与各个关节角度之间的关系。
**三、拉格朗日动力学方程的推导**拉格朗日动力学方程是用于描述机械系统的运动学和动力学特性的重要数学工具。
其基本思想是从系统的运动学模型出发，推导出系统的动力学模型。
1.定义广义坐标和广义速度：根据机械臂的运动学模型，引入广义坐标和广义速度来描述系统的状态，广义坐标用于表示机械臂各关节的角度，广义速度用于表示机械臂各关节的角速度。
2.动能和势能的计算：根据机械臂的构造和运动特点，可以计算出机械臂的动能和势能。
机械臂的动能可以分解为各个关节的动能之和，势能可以表示为机械臂的重力势能。
3.拉格朗日函数的建立：定义拉格朗日函数为系统的动能减势能，即L = T - V。
4.拉格朗日方程的推导：根据拉格朗日函数的定义，可以通过对拉格朗日函数求导来得到系统的运动方程，即拉格朗日方程。
拉格朗日方程描述了系统的动力学特性，包括系统的运动学关系和动力学关系。
**四、应用**通过求解六关节机械臂的拉格朗日动力学方程，可以得到机械臂的运动方程。
这些方程可以用于机械臂的运动规划、轨迹跟踪、运动控制等领域。
机械动力学-多自由度系统
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
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作用力方程： M X KX P(t) 固有振动方程： M X KX 0
XRn M、 KRnn
P(t)Rn
在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的同步振动，即系
统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律
都相同的运动。
假设系统的运动为： Xφf(t)
XRn φ Rn
常数列向量 运动规律的时间函数 f (t)R1
l
选取D点的垂直位移及 角位移作为坐标
l1
A
DC
l2 B
选取质心C点的垂直位 移及角位移作为坐标
k1
a1
e
a2
k2
m me
IC
me me2
xD
D
k1 k2a2
k2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xD
D
PD
M
D
m
0
0 IC
xC
C
k1 k2a2
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
X D [xD , D ]T XC [xC , C ]T
FD [PD , M D ]T FC [PC , M C ]T
令： 2 0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
ff((tt))φ φTTM Kφ φ2
f(t)2f(t)0
a、b、 为常数
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
（1）正定系统
主振动
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动
D点和C点的坐标之间的关系：
xCxDeD C D
写成矩阵形式： X D TXC
T
1 0
e
1
F D 和FC 的关系
坐标变换矩阵
在C点加一对大小相等、方向相反的力 PD
得： PC PD MCeD PMD
C
D
C
D
xD xC
e
M D PD PD D C PD
写成矩阵形式： FC T T FD T 非奇异，因此： FD (T T )1 FC
e
1me
IC
me2
0
1
0
I
C
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变
换关系：
X TY
其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：
MX KX P
那么在坐标Y 下的运动微分方程为：
TT MTY T T KTY TT P
X[x1 x2 xn]T φ [1 2 n]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
M X KX 0 Xφf(t)
XRn φRn
代入，并左乘 φ T ： φ TM φ f(t) φ TK φ f(t)0
：常数
f(t) f (t)
φ φTTM Kφ φ
2
M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量 φ： φTMφ0 φTKφ0
正定系统： M X KX 0
XRn M 正定，K 正定
主振动： X φ asi nt () 0 φ [1 2 n]T
将常数a并入 φ 中 Xφ si nt ()
代入振动方程： (K 2M)φ 0
φ 有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零
K2M0 特征方程
FD (T T )1 FC
将 X D TXC 代入D点的方程，并左乘 T T ： T T MDTXC T T K DTXC T T FD FC
得： T T MDT MC
T T KDT KC
验证：
m MD me
me
IC
me2
m 0
MC
0
I
C
1 0 m me 1 e m 0
M C PC
DC
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
X D [xD , D ]T XC [xC , C ]T
FD [PD , M D ]T FC [PC , M C ]T
X D TXC
1 e
T 0
1
FC T T FD
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式：
m me
IC
me me2
xD
D
k1 k2
k2a2
k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xD
D
PD
M
D
存在惯性耦合
存在弹性耦合
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出 现惯性耦合，也不出现弹性耦合？
如果恰巧Y 是主坐标：
T T MT T T KT
对角阵
这样的T 是否存在？如何寻找？
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动
（2）半正定系统
可能出现形如 Xφ asi nt ()的同步运动
也可能出现形如 Xφ(a tb)的同步运动（不发生弹性变形 ）
M X KX 0
Xφf(t)
正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xD
D
PD M D
m
0
0 IC
xC
C
k1 k2a2
k2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xC
CPCຫໍສະໝຸດ MC令：XD
xD
D
,
FD
PD
M
D
令： XC
xC
C
,
FC
PC M C
k2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xC
C
PC M C
讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的 运动微分方程之间有着怎样的联系？
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
m me
IC
me xD
me2
D
k1 k2 k2a2 k1a1
即：
m11
0
0 m22
x1 x2
k11
0
0 k22
x1 x2
P1 P2
若能够，则有：
m11x1 k11x1 P1
m22x2 k22x2 P2
方程解耦，变成了两个单自由度问题
使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程