材料力学-应力与应变分析-强度理论

(3) i 0; j 0 1 i ; 2 0; 3 j
n
y 1
X 0
0
1S cos0 x S coso
x O y
x
xy
tg2
0
2 xy x
y
xyS sin 0
tg 0
x 1 xy
y O
y
3
主 单元体
x
xy10
x
四、最大切应力
令:d 0 d 1
tg212xxy y
mmainx
求主应力及最大切应力
i j
x
y
2
（ x
2
y
）2
2 xy
Ox
2 xy
1 ; 2 0; 3
tg 0
x 1 xy
1 0
45
max
1 3
2
破坏分析
tg212xxy y 010 3
主
单元体 xy
yx 10
低 碳 钢: s 240MPa ; s 200MPa
低碳钢
灰 口 铸 铁: tb 98 ~ 280MPa cb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
第七章 应力应变分析 强度理论
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 三向应力状态简介 §7–5 广义虎克定律 §7–6 复杂应力状态下的变形比能 §7-7 强度理论及应用
§7–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验
低
碳
铸
钢
铁
扭
拉
转
伸
铸
F
铸
铁 扭
铁
转
压
缩
y'
yx
x'
xy
x'y' x'
xy
yx
切中有拉
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横 截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力。
FS
Mz
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x
x
z z
zx zy
xz
yz y
xy
yx
y
x
B
zx
x
xz
x
x
A
§7–2 平面应力状态分析——解析法
由此得两个驻点：
、（ ）和两个极值：
0
02
i
j
x
y
2
±（ x
y
2
2
）
2 xy
y
tg2 0
2 xy x
y
y
x
xy
0 0 极值正应力就是主应力！ O
x
三、主应力大小及方向
(1) i j 0
1 i ; 2 j ; 3 0
(2) 0 i j
1 0; 2 i ; 3 j
n S xScos2 xyScossin ySsin 2 yxSsincos0
y
考虑切应力互等和三角变换，得：
y O
x
y
x
xy
x
图1
y
xy
x
2
y
x
y
2
cos2
xy
sin 2
同理： F 0
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
x y
0
sin202 xycos200
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx C xy
FP
S平面
l/2 l/2
六、主单元体、主平面、主应力：
y
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
应力状态分析的任务：
1.任意斜截面上的应力。
2.主应力的大小及主平面的方位。
3.最大切应力。
y
一、任意斜截面上的应力
x 规定： 截面外法线同向为正；
y
xy
绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
x
y
y
xy
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
Fn 0
x'y' x'
xy
yx
微元平衡分析结果表明：即使同 一点不同方向面上的应力也是各不相
同的，此即应力的面的概念。
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
x 20MPa y 30MPa xy 0 120o
300
20MPa
30MPa
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin2
17.5MPa
x
y
2
sin2
xy cos 2
21.65MPa
例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。
± （x
y
2
）2 x2y
y
3
主 单元体
x
y
xy 1
Ox
' max
' min
i
j
2
空间应力状态：
max min
1
3
2
max
1
3
2
0
1
4
, 即极值剪应力面与主平面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C y
Me
xy yx
解：确定危险点并画单元体
yx
C xy
x y 0
xy
T WP
2 xy
22.5o x
44.14MPa
30 10 2 15.86MPa
2
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§7–3 平面应力状态分析——图解法
y
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
Ox
解：
20MPa
1 44.14MPa 2 15.86MPa 3 0
40MPa
1
arctg
x 1 xy
10MPa
x 40MPa y 20MPa xy 10MPa
arctg 40 44.14 22.5o 10
max
1 3
2
22.07MPa
1
i, j
x
y
2
(
x
2
y
)2
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
的无限小的几何体，常用的是正六面体。
y
y
yx 单元体的性质
z
z
xy x
x
a、任意面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
四、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分
量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相 离。