邓肯-张模型公式推导高土

邓肯－张模型是一个非线性本构模型，既然是一个本构模型，可想而之他反应的是应力与应变之间的关系。

说它是非线性的，那么反映应力应变关系的模量就不是一个常数Ｅ那么简单。

在介绍该模型之前，先要介绍一个概念，就是反映非线性关系的增量广义胡克定律： 1123()t
t t
v d d d d E E σεσσ=
-+ （1） 1963年，康纳（Kondner ）根据大量土的三
轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线，即：
13a
a
a b εσσε-=
+ （2）
其中，a 、b 为试验常数。

对于常规三轴压缩试验，1a εε=。

邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang ）模型。

在常规三轴压缩试验中，13a
a
a b εσσε-=+可以写成：
1113
a b εεσσ=+- （3）
将常规三轴压缩试验的结果按
11
13
~εεσσ-的关系进行整理，则二者近似成线性关系(见图
1)。

其中，a 为直线的截距；b 为直线的斜率。

在常规三轴压缩试验中，由于
230d d σσ==，所以切线模量为
ε1
/(σ1
-σ3
)
1
-σ3
)ult
图1
1113
~εεσσ-线性关系图
132
11()()
t d a
E d a b σσεε-=
=+ （4） 在试验的起始点，10ε=，t i E E =，则：
1i E a
=
，这表明a 表示的是在这个试验中的起始变形模量E i 的倒数。

如果1ε→∞，则： 131
()ult b
σσ-=
（5） 由此可以看出b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。

在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如
115%ε=）来确定土的强度13()f σσ-，而不可
能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，
这样1313()()f σσσσ--ult <。

定义破坏比R f 为：
1313()()f f R σσσσ-=-ult
（6）
而
13131
()()f f
R b σσσσ==
--ult （7） 将上式与1
i E a
=
代入 132
11()()
t d a
E d a b σσεε-==+ （8） 得到：
塑性力学读书报告
2
113111()t f
i i E R E E εσσ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥
-⎣⎦
（9）
该式表示为应变1ε的函数，使用时不方便，可将t E 表示为应力的函数形式。

由式
1113
a b εεσσ=+- （10）
可以得到13113()
1()
a b σσεσσ-=
--，将该式代入
132
11()()t d a
E d a b σσεε-=
=+得到
22
1313131()1
[][]
1()
1()
t a
E ab a a b b σσσσσσ=
=
-+
----将式13131
()()f f
R b σσσσ=
=
--ult 和1i E a =代入上式得到：
2
1313[1]()t i i
f
E E R σσσσ-=-- （11）
根据莫尔－库仑强度准则，有 3132cos 2sin ()1sin f c ϕσϕ
σσϕ
+-=
- （12）
如果绘制lg(/)i a E P 与3lg(/)a P σ的关系图，可以发现二者近似呈直线关系，所以得式：
3
(
)n i a a
E KP P σ= （13）
其中，a P 为大气压（a P ＝101.4k a P ），量纲与3σ相同；K 、n 为试验常数，分别代表
lg(/)i a E P 与3lg(/)a P σ直线的截距和斜率。

将
3132cos 2sin ()1sin f c ϕσϕ
σσϕ
+-=
- （14）
和3
(
)n i a a
E KP P σ=
代入2
1313[1]()t i i
f
E E R σσσσ-=--，则得到：
1323
3()(1sin )(
)[1]2cos 2sin f n
t a a
R E KP P c σσϕσϕσϕ
--=-
+(15)
可见切线变形模量中包括5个材料常数K 、n 、ϕ、c 、f R 。

2 切线泊松比(poisson's ratio)
Duncan 等人根据一些试验资料，假定在常规三轴压缩试验中轴向应变1ε与侧向应变3ε-之间也存在双曲线关系 ()
3
13f D εεε-=
+- (16)
或者 ()3
331f D f D εεεε-
=+-=- (17)
从上式，试验得到的31
εε-与3ε-的关系可近似为直线关系，从而确定截距f 与斜率D 。

从式上式可见当30ε-→时，
310i f V εε⎛⎫-→== ⎪⎝⎭
i V 即为初始泊松比。

见图 (a)。

D 为
13εε-:关系渐近线的倒数，见图(b)。

试验表明
土的切线
王吉亮(2006631011)
泊松比i V 是与试验的围压3σ有关的。

它们画在单对数坐标中，可假设是一条直线，见图(c)，这样：
()3f=G-Flg Pa i v σ= (18)
G 、F 为试验常数，其确定见图(c)。

将(16)式微分：
()()()
11322
111111i
t D f D f d V v d D D εεεεεε-+-=
==-- (19) 将1ε表达式代入式（19），则得到
()
()()()32
131333lg 11sin 12cos 2sin t n
f G F Pa v D R KPa Pa c σσσσσϕσϕσϕ-=
⎧⎫
⎪⎪
-⎪⎪
-⎨⎬--⎡⎤⎛⎫⎪⎪-⎢⎥ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎣⎦⎩⎭
在切线泊松比式中又引入G 、F 、D 三个材料常数。

加上t E 中五个常数，共有八个常数。

根据弹性理论，
00.5t v <<。