大物教材参考答案

1.7 一质点的运动学方程为22(1,)x t y t ==-,x 和y 均以为m 单位,t 以s 为单位，试求：

（1）质点的轨迹方程；、

（2）在t=2s 时，质点的速度v 和加速度a 。

解：（1）由运动学方程消去时间t 可得质点的轨迹方程，将t =

代入有

2

1)y = 或1

(2)对运动学方程微分求速度及加速度,即 当t=2s 时,速度和加速度分别是

1.8 已知一质点的运动学方程为22(2)r ti t j =+-,其中, r ,t 分别以 m 和s 为单位,试

求:

(1) 从t=1s 到t=2s 质点的位移； (2) t=2s 时质点的速度和加速度； (3) 质点的轨迹方程；

（4）在Oxy 平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t=2s 时，质点的位矢r ,速度v 和加速度a 。 解： 依题意有

x=2t （1） y= 2

2t - (2)

(1) 将t=1s,t=2s 代入，有(1)r = 2i j +， (

2)

42r i j =-

故质点的位移为 (2)(1)23r r r i j ?=-=- (2) 通过对运动学方程求导可得

当t=2s 时，速度，加速度为 24v i j =- /m s 2a j =-2

/m s

(3) 由（1）（2）两式消去时间t 可得质点的轨迹方程 （4）图略。

1.11 一质点沿半径R=1m 的圆周运动。t=0时，质点位于A 点，如图。然后沿顺时针方向

运动，运动学方程2

s t t ππ=+,其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，试求： （1）质点绕行一周所经历的路程，位移，平均速度和平均速率； （2）质点在第1秒末的速度和加速度的大小。 解： (1) 质点绕行一周所经历的路程为圆周 周的周长，即2 6.28s R m π?==由位移和平 均速度的定义，可知此时的位移为零，平均速度 也为零，即

0r ?=， 0r

v t

?=

=?

令2

()(0)2s s t s t t R πππ?=-=+=。可得质点绕行一周所需时间1t s ?= 平均速率为2 6.28/s R v m s t t

π?=

==?? 由以上结果可以看出路程和位移，速度和速率是不相同的。

（2）t 时刻质点的速度和加速度大小为

当t=1s 时， v=9.42m/s a=89.02

/m s .

1.14 一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为3

24t θ=+，θ的

单位为rad,t 的单位为s ，试求：

（1）在t=2s 时，质点的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当θ等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成0

45。

解：（1）质点的角速度及角加速度为 2

12d t dt

θω== ，2224d t dt θβ==

因此，质点的法向加速度和切向加速度大小为 24

144n a R Rt ω==，24a R Rt τβ== 当t=2s 时，2230.4/n a m s =， 2

4.8/a m s τ=。

（2）设时刻'

t ，a 和半径夹角为 045，此时n a a τ=，即

144R '4t =24R '

t 得'31/6t s = '

'3

()24

2.67t t r a d θ=+=。 4.6 质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a ti b t j ωω=+。

（1）试求质点的动量； （2）试求从t=0到t=

2π

ω

这段时间内质点受到的合力的冲量，并说明在上述时间内，质

点的动量是否守恒？为什么？

解：（1）由质点运动学方程得质点速度v =

d r

dt

=sin cos a ti b t j ωωωω-+ 动量为 sin cos p mv m a ti m b t j ωωωω==-+

（2）根据动量定理，合力的冲量为 2()(0)0

I P

P π

ω

=-= 虽然t=0和t=

2π

ω

时质点的动量是一样的，但在上述时间内，由（1）中动量的表达式可以

看出动量是时间的函数并不守恒。所以质点的动量不守恒。

4.14 一质点M=10kg 的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度

系数k=100N/m 。今有一质量m=1kg 的小球以水平速度04/v m s =飞来，与物体M 相撞后

以12/v m s =的速度弹回，试求:

(1) 弹簧被压缩的长度是多少？

（2）小球m 和物体M 的碰撞是完全弹性碰撞吗？

（3）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M 粘在一起，则（1）（2）所向的结果又如何？ 解： 碰撞过程物体，小球，弹簧组成系统的动量守恒 01mv mv Mu =-+ 小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体M 有作用力，对物体M ，由动能定理得： （1）2211

022

kx Mu -

=-

弹簧被压缩的长度 0.60.06x === m （2）22210111

222k E Mu mv mv ?=

+- = 222

11110(0.6)1214222

??+??-??= 4.2-J 有动能损失说明是非弹性碰撞。

（3）小球与物体M 碰撞后粘在一起，设其共同速度为'

u ，根据动量守恒及动能定理

'

0()mv M m u =+ 即

'2'211

0()22

kx M m u =-+ 此时弹簧被压缩的长度是'

0.04

x =

== m

碰撞后，两物体粘在一起，这种碰撞为完全非弹性碰撞。

3.7 一质量为m ，总长为l 的铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂，试求

铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。

解： 重力所作的功，等于铁链势能增量的负值，取桌面为势能零点，因而有 A=p E -?= 113

()()288

mgl mgl mgl ??----=????

3.8 一沿

x 轴正方向的力作用在一质量为 3.0kg 的质点上。已知质点的运动学方程为

2334x t t t =-+,这里x 以m 为单位，时间t 以s 为单位。试求：

（1）力在最初4.0s 内的功；

（2）在t=1s 时，力的瞬时功率。 解：(1) 由运动学方程可求质点的速度 2383dx

v t t dt

==-+ 质点的动能为 22211

() 3.0(383)22

k E t mv t t =

=??-+ 根据动能定理，力在最初4.0s 内所作的功为

(4.0)(0)52k k k A E E E =?=-=

J