五年级奥数余数问题

五年级奥数-余数问题

余数问题

各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数,以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等.

1.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和. 有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1. 则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛; 126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛; 173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛; 193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛. 所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘. 评注:两个数和的余数,同余与余数的和; 两个数差的余数,同余与余数的差; 两个数积的余数,同余与余数的积.

2.自然数的个位数字是多少【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9 将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积. 有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6; 2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4,除以10的余数为8,除以10的余数为6;…………

也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环. 因为67

÷416……3,所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7. 即的个位数字为7.

评注:n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环.

3.算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是多少【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7的和除以100的余数,即为其末两位数字. 7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1; 而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1. 1990÷4497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余. 497×7+49+43+1+7+4949756,除以100余56.

所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56.

4.1990…1990除以9的余数是多少【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数

加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数. 的数字和为20×1+9+9+0=380,380的数字和又是3+811,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2.5.将1,2,3,...,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少【分析与解】 1,2,3, (30)

30个数从左往右依次排列成一个51位数为:123456...910 (15)

…19202l…25…2930 记个位为第l位,十位为第2位,那么: 它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l115: 它的偶数位数字和为:3+++8+6+4+253; 它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115?53:62.而62除以1l的余数为7. 所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…

910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7. 即这个51位数除以11的余数是7. 评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-BC,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-AC,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数. 如:123456的奇数位数字和为6+4+212,偶数位数字和为5+3+19,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-93,所以123456除以11的余数为3.

又如:654321的奇数位数字和为1+3+59,偶数位数字和为2+4+612,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-93,显然3除以11的余数为3,然后再用11-38,这个8即为654321除以11的余数.

6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位(从左往右数数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少【分析与解】这个数即为,而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数,将这两个新数做差,这个差为13的倍数. 显然有能够被13整除,而1994÷6332……2,即而是13的倍数,所以除以13的余数即为33除以13的余数为

7. 有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0. 200÷633……2,所以除以所得商的第200位为5.除以13的个位即为33除以13的个位,为2.

即商的第200位从左往右数数字是5,商的个位数字是2,余数是7.

7.己知:a.问:a除以13的余数是几【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3663……2.

有a1×1+1×1+1×+1×1 +…+1×1 +19911991

所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8.

8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-75.

9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除. 于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11.

所以这个自然数被26除余数是11.

10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+923n+7,即23n-19m2,将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2mod 19. n最小取10时,才有4n≡2mod 19.所以原来的那个自然数最小为23×lO+7237.

评注:有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解.

11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔少于100个.小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向,