函数图像的三种变换平移变换

函数图像的三种变换

一 、平移变换

函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动

比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水

平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？

因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为

11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到

()(0)y f x a a =->的图象。同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动

比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数

()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形

状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

例如，为了得到函数

的图象，只需把函数()2x y f x ==的图象上所有的点

向右平移3个单位得到3(3)2x y f x -=-=（“左加右减”），然后再向下平移1个单位，就得到函数3(3)121x y f x -=--=-（“上加下减”）的图象。

又如， 把函数2

(1)3y x =--的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得

图象对应的函数解析式如何求出呢？首先把已知函数2

()(1)3y f x x ==--图象向右平移1

个

单

位

，

则

有

，

2(1)((1)1)3

y f x x =-=---，得

22(1)((1)1)3(2)3y f x x x =-=---=--，向下平移1个单位，即得22(1)1(2)31(2)4y f x x x =--=---=--，

二、对称变换

图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。

1、一般地，函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图象关于直线2b a

x m

-=对称。(0)m ≠ 证明：在函数()y f a mx =+的图象上任取一点M （00,x y ），则M 关于直线2b a

x m

-=

的对称点为'

M （002,2b a x y m -⨯-），也即（00,b a x y m

--）

。 ∵M(00,x y )在直线()y f a mx =+上 ∴00()f a mx y +=，则有，0[()]b a

f b m x m

---=0()f a mx +=0y ，'M （

00,b a

x y m

--）在函数()y f b mx =-上，同理，在函数()y f b mx =-上任意取一点M ，关于直线2b a

x m

-=的对称点也在函数()y f a mx =+的图象上。上述结论得证。

特别的，如果()()f a mx f b mx +=-，则说明此函数自身关于直线2b a

x m

-=对称，对照偶

函数

2、两个函数图象间的常见的轴对称情况有以下几种情况：对于函数()f x ：

关于y 轴对称的函数解析式为()y f x =-；(0,1)a b m === 关于x 轴对称的函数解析式为()y f x =-；

3、一般地，函数()y f a mx =+与()y f b mx =--的图象关于点(

,0)2b a

m

-对称。(0)m ≠

证明：在函数()y f a mx =+的图象上任取一点M （00,x y ），则M 关于点(

,0)2b a

m

-

的对称点为'M （

002,2b a x y m -⨯--），也即（00,b a

x y m

---）

。 ∵M(00,x y )在直线()y f a mx =+上 ∴00()f a mx y +=，则有，0[()]b a

f b m x m

----=0()f a mx -+=0y -，'M （

00,b a

x y m

---）在函数()y f b mx =-上，同理，在函数()y f b mx =--上任意取一点M ，关于点(,0)2b a

m

-的对称点也在函数()y f a mx =+的图象上。上述结论得证。

特别的，如果()()f a mx f b mx +=--，则说明此函数自身关于点(,0)2b a

m

-对称，对照奇

函数

4、两个函数图象间的常见的点对称情况有以下几种情况：对于函数()f x ：

关于原点对称的函数解析式为()y f x =--。(0,1)a b m ===

三、翻折变换

对于函数()f x

1，|()|y f x =是()y f x =保留x 轴上方的图像，再将x 轴下方的部分依据x 轴对称地向上翻折得到。2，|()|y f x =-是()y f x =保留x 轴下方的图像，再将x 轴上方的部分依据x 轴对称地向下翻折得到。

3，(||)y f x =是()y f x =保留y 轴右方的图像，再将y 轴右方的部分依据y 轴对称地向左翻折得到。4，(||)y f x =-是()y f x =保留y 轴左方的图像，再将y 轴左方的部分依据y 轴对称地向右翻折得到。 小练习1，作函数11y x =

+的图象，可以先做出1

()y f x x

==的图像，然后向左平移1个单位，得出1

(1)1

y f x x =+=+的图像，最后做翻折变换3，得到1

(||1)||1

y f x x =+=

+，即可。 如果先做翻折变换3，得到1

(||)||

y f x x ==

，再左移1个单位，则为