五年级奥数余数问题

余数问题

各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．

1.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．

有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．

则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；

126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；

173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；

193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．

所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．

评注:两个数和的余数,同余与余数的和；

两个数差的余数,同余与余数的差；

两个数积的余数,同余与余数的积.

2?2?2?...?2?1的个位数字是多少?

.自然数267个22?2?2?...?2的个数数字,再减去1 【分析与解】我们先计算即为所求.(特别的如果是O,那么

67个2减去1后的个位数字因为借位为9)

将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．

有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2

除以i0的余数为6；

2,2?2?...?22?2?...?2除以的余数为除以××2×2× 222i0104,10除以的余数为的余数为6个27

个2

1 / 6

2?2?...?2除以10的余数为6；………… 8,8个2也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．

2?2?2...?2以10的余数同余与2×2×2,即除余数为8,67÷4=16……3 因为，所以所以67个

22?2?2...?2?110的余数为7．除以

67个22?2?2...?2?1的个位数字为即

7．

67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循

环．

7?7?...?7计算结果的末两位数字是多少?

3.算式7+7×7+…+1990个77?7?...?7的和除以100【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7的余数,即为其末两位数

字．

1990个77除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以

100的余数等于43×7除以100的余数为1；

7?7?...?77?7?...?7?7的余数,即为7,而除以100的余数等于……

5个74个77?7?...?7除以100所得的余数,4个数一循环这样我们就得到一个规律,依次为

7,49,43,1．

n个7?7?7?...?7的和除以100 1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的余数同

余．

1990个7 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余

56．

7?7?...?7计算结果的末两位数字是所以算式7+7×7+ (56)

1990个7

4.1990…1990除以9的余数是多少?

【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数

加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．1990...1990的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以20个19901990...1990除以9的余数是

2．

20个1990

5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?

【分析与解】 1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)

...19202l...25 (2930)

记个位为第l位,十位为第2位,那么：

2 / 6

它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：

2?2?2?...?21?1?1?...?1+8+6+4+2=53 它的偶数位数字和为:3++；

10个10个它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为

7．

所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l 倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．

评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．

如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数

字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．

又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．

6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?

333...3，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个【分析与解】这个数即为1994个3新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍

数．

33＝333...333333...333?33333333333...3＝ 1994÷6=332……2，即显然有能够被13整除,而2个3332?66个3个36个31994个3332?

333...33300333...3除以13的余数即为33除以13的余数为7 而．是13的倍数，所以

332?6个31994个3333333?13333...33?13?25641025641333...3325641?除以13,而所得的商每

有所以6个,

6个312个3k个3数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、

0．