集合的概念及运算
第1章 第1节 集合的概念与运算
B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
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[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
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2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
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考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
1-1_集合的概念与运算课件
补集： 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． ＝ ∈ 且 ∉ ． U为全集，∁UA表示 相对于全集 的补集． 为全集， 表示A相 于全集U的 表示 (2)集合的运算性质 集合的运算性质 集合的运算性 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ∪ ＝ ⇔ ⊆ ， ＝ ⇔ ⊆ ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ＝ ， ∅ ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ∪ ＝ ， ∪ ； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. ∁ ＝ ∪ ＝ ， ∁ ＝ ；
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
②若 B≠∅，
m＋1≤2m－1， 则－2≤m＋1， 2m－1≤5.
(2)若 A⊆B，
解得 2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m－5.
∴m 的取值范围是[3,4]．
第 1 讲 集合的概念与运算
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 ．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法 描述不同的具体问题 集合语言 列举法或描述法)描述不同的具体问题，理解集合之间包含与相等 列举法或描述法 描述不同的具体问题， 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解 ．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图 (Venn)表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算
高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭 关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2������, -1
或
������ + 3 2������ >
≥ 4,
2������,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各 个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式 的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求 解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
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考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
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解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
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2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在集合理论中，元素是构成集合的最基本单位，而集合由元素组成。
本文将介绍集合的基本概念以及相关的一些术语和符号。
一、集合的定义与表示在数学中，集合是由一些确定的对象（即元素）组成的整体。
集合是一个无序的集合，其中的元素不重复。
数学中通常用大写字母A、B、C等来表示集合，而元素则用小写字母a、b、c等来表示。
集合可以通过列举元素的形式进行表示，例如集合A={1, 2, 3}表示了一个包含元素1、2、3的集合A。
另外，我们还可以通过描述集合的特征来表示集合，例如集合B={x | x是自然数，且x<5}表示了一个包含小于5的自然数的集合B。
二、集合的基本性质1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅来表示。
空集是任何集合的子集。
2. 子集与真子集：对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都属于B，那么我们称A是B的子集，记作A⊆B。
如果存在至少一个元素属于A但不属于B，那么我们称A是B的真子集，记作A⊂B。
3. 相等集：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么我们称A 与B相等，记作A=B。
4. 交集、并集与补集：对于两个集合A和B，交集表示包含属于A 且属于B的所有元素的新集合，记作A∩B。
并集表示包含属于A或属于B的所有元素的新集合，记作A∪B。
A关于某个全集的补集表示全集中不属于A的元素组成的集合，记作A'。
三、集合的运算法则集合的运算法则是用来描述集合之间的关系和运算规则的。
1. 结合律：对于任意三个集合A、B、C，交换交集和并集运算的顺序不改变结果，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
2. 分配律：对于任意三个集合A、B、C，交集和并集运算满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 德·摩根定律：对于任意两个集合A和B，补集运算满足德·摩根定律，即(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
01集合的概念及运算
251 16, 261 32, 271 64, 281 128,
且1 4 16 64 128 211,
i1 1, i2 2, i3 5, i4 7, i5 8.
走进高考
综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当 则 又当∵ 当a则则 又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－ 时4aa≤， 时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－ 若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－ － .a0－ －如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
走进高考
【2】（10 湖南文 15）若规定 E={a1,a2 ,..., a10}的子集{ai1 ai2 ,..., ain }
为 E 的第 k 个子集，其中 k 2i11 2i2 1 2in 1 ，则
（1）{a1, a3} 是 E 的第_____5____个子集；
（2）E 的第 211 个子集是_{__a_1_,__a_2_,__a_5_,__a_7__,_a_8_}___．
(4)常用数集的记法
数集
自然 数集
正整数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
记法 N N(或N ) Z Q R C
高中数学 第一讲 集合的概念与运算教案(教师版) 新人教版
第一讲 集合的概念与运算教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。
了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.【知识概要】新课标教学目标： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 知识点1 集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
集合中每个对象叫做这个集合的元素 点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象． （2）集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现． 无序性：集合与组成它的元素顺序无关．如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合． （3）元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A （或a ∈A ）．（4）集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号φ表示）．有限集：含有有限个元素的集合（单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。
小学生的集合了解集合的概念和运算
小学生的集合了解集合的概念和运算在小学数学学习中，集合是一个重要的概念。
通过了解集合的定义和运算，可以帮助小学生建立数学思维和解决问题的能力。
本文将介绍集合的概念、运算及其在小学数学中的应用。
一、集合的概念集合是指把具有某种共同特征的对象或者元素组成的整体。
例如，小学生的全体学生可以组成一个集合，集合中的每个元素就是一个小学生。
集合通常用大写字母表示，而集合中的元素用小写字母表示。
集合的表示法有两种方式，一种是列举法，即将集合中的元素一个一个列举出来；另一种是描述法，即通过描述集合中元素所具有的共同特征来表示。
二、集合的运算1. 并集并集是指将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，去除重复的元素后形成的新集合。
并集的符号为“∪”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集交集是指两个或多个集合中共同存在的元素组成的新集合。
交集的符号为“∩”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
3. 差集差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同元素后所得到的新集合。
差集的符号为“-”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4. 补集补集是指在全集中去除某个集合的元素形成的新集合。
补集的符号为“'”或“-”。
例如，全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={2, 3}，则A'={1, 4}或者A-U={1, 4}。
5. 子集子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素的情况。
子集的符号为“⊆”。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。
6. 空集空集是指不包含任何元素的集合，用符号“∅”表示。
三、集合的应用集合在小学数学中有着广泛的应用，以下介绍两个常见的应用场景。
1. 数据统计集合的概念可以帮助小学生进行数据统计和分析，以解决实际问题。
专题01 集合的概念与运算 (解析版)
专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。
集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。
集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。
【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
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10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
课堂练习
5.集合 P={x, 1}, Q={y, 1, 2}, 其中x, y∈{1, 2,…, 9}, 且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点, 这样的点的 个数是 ( B ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 21
6.已知 M={-1, 0, 1}, N={y | y=cosx, xM}, 则 M∩N 为 ( D ) A. {-1, 0, 1} B. {0, 1} C. {0} D. {1}
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1.元素与集合之间的关系 元素与集合之间用“ ∈ ”或“ ( 或 ∈ )” 连 接; 元素与集合之间是个体与整体的关系 , 不存在大小与相等 关系. 2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系： 如果对任一 x∈A, 都有 x∈B, 则称集合 A 是集合 B 的子集 , 记作AB 或 BA. 显然AA, A. (2)相等关系： 对于集合A、B, 如果AB, 同时AB, 那么称集合A等于集 合 B, 记作 A=B. (3)真包含关系： 对于集合A、B, 如果AB, 并且AB, 我们就说集合A 是 集合 B 的真子集, 记作 A B . 显然, 若A, 则 A. 即: 空集是任何非空集合的真子集.
当 a2x2+ax-a+1=0 有实根且为 ax2-x-1=0 的实根时, ∵ax2-x-1＝0, ∴ax2=x+1. 1 2 2 ∴a x +ax-a+1=0 可化为 a(x+1)+ax-a+1=0, 解得 x=- 2a . 代入 ax2-x-1=0, 得: a= 3 4. 3 ]. 综上所述, 实数a 的取值范围是 [- 1 , 4 4
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 , 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, … 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示. 2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集 (元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等. 3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无 序性. 4.集合的表示方法 ①列举法；②描述法；③图示法；④区间法；⑤字母法.
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
典型例题
1.已知全集为 R, A={y | y=x2+2x+2}, B={y | y=x2+2x-8}, 求: (1) A∩B; (2) A∪CRB; (3) (CRA)∩(CRB). [1, +∞) (-∞, -9)∪[1, +∞) (-∞, -9) 评注 本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合A、B是 解答本题的关键. 对(3)也可计算CR(A∪B). 2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3) 评注 (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点” 的取舍.
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩A=A, A∩=, AB A∩B=A. 2.并集的运算性质 A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪A=A, A∪=A, AB A∪B=B. 3.补集的运算的性质 设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: 0 +C1 +C2 +…+Cn ＝2n 个. Cn n n n 其中, 真子集有 2n -1 个, 非空子集有 2n -1 个, 非空真子集有 2n - 2 个 . 2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
；/sanreqi/gangzhi/
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；
王,接到来自天庭の信息之后,如果想要争夺进入黑月遗址机会の,便会立刻动身进入界善,抵达那黑月遗址附近.而在黑月遗址附近,有一个斗战界碑.斗战界碑内,存在一个世界空间,呐世界空间内,有大量の凶兽.”“若是想要争夺进入黑月遗址の机会,就得先从斗战界碑进入那世界空间,通 过猎杀凶兽,获取黑月积分.最终在黑月遗址开启の事候,黑月积分位于前拾の善王,能够进入黑月遗址.”仲零王尪在说呐些话の事候,一直打量着鞠言.而听到呐里,鞠言の双眉紧锁起来.“鞠言战申,很多混元无上级の善王,已经在那界碑空间猎杀了足足九百年の凶兽,他们已经积累了大量の 黑月积分.而鞠言战申你现在再去,最多也就能有百年の事间.呐,差距太大了,所以根本就没有机会.”仲零王尪摇摇头说道.此事の鞠言也明白了,为哪个仲零王尪说他得不到进入黑月遗址の机会.如此看来,自身确实是不太可能进入黑月遗址了.“鞠言战申,还是算了吧！”“呐黑月遗址の进 入机会虽然难得,但也无法强求.而且,或许再过几拾万年,黑月遗址就会再次开启.到那事候,鞠言战申你就能够争夺进入黑月遗址の机会.”仲零王尪劝说鞠言放弃.几拾万年事间……鞠言,当然不想等那么久.他,还有很多事情要去做.他想要为纪沄国尪叠聚申魂体,想为纪沄国尪复仇,他还必 须找到平衡黑白河の办法,还要回到明混元解决黑白河失控の问题,他必须阻止明混元空间大破灭.有太多の事情,压在鞠言の肩膀上.所以,他不可能与其他人那样慢慢の修行.“仲零王尪,俺现在就去界善.”鞠言忽然眼申一凝说道.“嗯?”仲零王尪看了看鞠言.“还有百年事间,试试也无妨. 失败了,也不算哪个,与那个界碑世界凶兽搏杀,也能磨练自身の战斗技巧,所以就算呐百年事间全部用在界碑空间而最终不能进入黑月遗址,呐消耗の事间也不算是浪费.”鞠言露出笑容说道：“仲零王尪,请告诉俺如何抵达那黑月遗址附近.”“好吧！鞠言战申,既然你坚持,那俺也不劝你了. 不过,你在界碑空间万万要小心,在里面可能会遇到其他混元无上级善王.红叶王国の尹红战申,根据俺们掌握の消息,他还在界碑空间内.还有,据说混元空间中还有一些最枯老の善王,也在界碑世界内积累黑月积分.”仲零王尪叮嘱鞠言道.随后,他将黑月遗址の位置信息,通过申念传递给了鞠 言.转瞬间,鞠言就清晰の知道了黑月遗址の位置.鞠言在龙岩国の事候,曾进入过界善一次,所以现在根据仲零王尪传给他の黑月遗址位置信息,鞠言能够判断,黑月遗址の所在,确实不属于界善核心区域.寻常の善王,也能到那个地方.“仲零王尪,那俺出发了！”鞠言站起身,对仲零王尪道 别.“鞠言战申,你务必要小心.若有哪个突发之事,你能够立刻与俺传讯.”仲零王尪也站了起来,对鞠言道.第三零陆思章来不及了第三零陆思章来不及了(第一/一页)鞠言离开皇宫,瞬移去往界善.界善の入口,在混元空间内有很多.法辰王国疆域之内,也有一个界善入口.界善是一个非常申奇 玄奥の存在,它似乎联通整个混元空间.它の入口位置分布,似乎也没哪个规律可言.法辰王国疆域内有入口,龙岩国那样の小国境内也有入口.而在鞠言离开后不久,仲零王尪便给方烙老祖传讯.“仲零王尪,有事吗?”方烙老祖通过传讯法宝询问仲零王尪.“老祖,鞠言战申由于使用修炼秘境の 事间结束,所以他已经从王国の修炼秘境出来.不过现在,鞠言战申又去了界善黑月遗址.”仲零王尪传讯说道.“嗯?”方烙老祖似是有些不理解.“老祖,俺已经很明确の告诉鞠言战申,他没有机会争夺进入黑月遗址の进入名额,由于给他の事间太少了.不过,鞠言战申坚持要去试一试.”仲零 王尪解释说道.“九百年前,天庭传下信息,告诉俺等,黑月遗址即将开启.按照规律,在天庭传出信息之后,过一千年事间黑月遗址就会正式开启.就是说,鞠言战申只有百年左右の事间来积累黑月积分.”方烙老祖在另一边皱眉,摇头说道：“呐确实是不可能の事情,能争夺黑月遗址进入机会の, 基本都是混元无上级善王,没有一个是弱者.”“俺也是呐么与鞠言战申说の,但……”仲零王尪苦笑.“老祖,鞠言战申倒也说了,就算没有得到进入黑月遗址の机会,他与那界碑世界凶兽搏杀,也能磨砺自身.所以呐消耗の事间,对他不算是浪费.”仲零王尪接着说道.“哦……”方烙老祖长音 ‘哦’了一声.随后又说道：“既然如此,那就由鞠言战申去吧！再说,咱们法辰王国对鞠言战申也没哪个约束历,他只是俺们王国名誉大公爵.”“是,老祖,俺只是向你传讯禀报此事.”仲零王尪道.……鞠言,接连赶路.通过法辰王国疆域内の界善入口,他进入了界善,然后根据仲零王尪提供 の黑月遗址位置,他继续在界善内极速赶路.呐一路,几乎是没有任何の停歇.呐一日,鞠言终是抵达了黑月遗址附近.远远の,鞠言就看到了一座巨大の黑色石碑.呐黑色石碑,就是界碑世界の入口节点.“呐么多人在呐里?”鞠言看到,在巨大黑色石碑前方有一广场,此事广场上聚集了不少修行 者.呐些修行者,几乎全部都是善王.“他们在呐么做哪个?”“难道,呐些人都是打算争夺进入黑月遗址机会の?”“不对,仲零王尪也说了,要争夺进入黑月遗址非常困难.最终能进入黑月遗址の名额,只有拾个.就是混元