高二数学立体几何专题资料：平行与垂直的综合应用
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系知识结构图】第 3 课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行” 、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
基础练习】1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1, l2与同一平面所成的角相等, 则l1,l2互相平行.④若直线l1, l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直。
4. 已知a、b、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r ，α∥r a∥α．其中正确的命题是①④范例导析】例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．求证：AB∥平面EFG．证明：∵面EFGH是截面．∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．∴ EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴ EH∥面ABD．又∵ EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．∴ AB∥面EFG．例2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证 :MN ∥平面 AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法 1：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
即在平面 ABB 1A 1内找一条直线与 MN 平行，如图所示作平行线即可 法 2 ：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
第十一讲 立体几何(一) 平行与垂直.
第十一讲立体几何（一）平行与垂直【内容要点】垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括：三条公理、三个推论、三线平行公理（公理4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。
其中“平行问题”与“垂直问题”是两类重要的证明问题。
【例题剖析】例1. 如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．需经过分别与AB(或CD)共面的直线(例如AD)进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。
(2)在(1)的基础上，不难判断EFGH四边形的类型。
(3)利用(1)、(2)的结果再进一步进行探索。
解：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形。
评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD和ADC是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想得到最后结果的．例2. 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。
证明（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H∴MH∥NK∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形∴它们是全等正方形∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK∴MHKN是平行四边形∴MN∥HK∵HK⊂平面BEC MN⊄平面BEC∴MN∥平面BEC证明（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF∴FN/FB=AP/AB∵AM=FN，AC=BF∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE∴MN∥平面BCE解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。
（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。
题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。
（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。
题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总(一)立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定岀面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.•••ABCD是平行四边形，••• A O = O C.连结0Q，则0Q在平面BDQ内，且0Q是厶APC的中位线，• PC II 0Q.•/ PC在平面BDQ夕卜，• PC I 平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD —A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2 )面AMN I 面EFBD.证明:⑴分别连结B i D i 、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B i D i // BD.•/ E 、F 分别是D i C i 和B i C i 的中点，1i ••• EF // B i D i . A EF // BD.22 •E 、 F 、 B 、 D 对共面. (2)连结A i C i 交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O .•/ M 、N 为A i B i 、A i D i 的中点，• MN // EF ，EF 面 EFBD.• MN //面 EFBD.•/ PQ /A O ,•四边形PA O Q 为平行四边形.• PA // O Q.而O Q 平面EFBD ，• PA //面 EFBD.且 PA n MN=P ，PA 、MN 面AMN ，•平面AMN //平面EFBD.例 3 女口图(i )，在直角梯形 P i DCB 中, P i D//BC , CD 丄 P i D ，且 P i D=8，BC=4，DC=4A 是P i D 的中点，沿 AB 把平面P i AB 折起到平面 PAB 的位置(如图(2)),使二面角求证：AF//平面PEC ;证明：如图，设 PC 中点为G ,连结FG,CD — B 成 45 ，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点1 贝U FG//CD//AE ，且 FG= CD=AE , 2•••四边形AEGF 是平行四边形••• AF//EG ,又••• AF 平面PEC , EG 平面PEC ,• AF// 平面 PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于 AB ,在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ //面BCE.证法一：如图（1 ），作PM // AB 交BE于M ，作QN // AB 交BC 于N,连接MN, 因为面 ABCD n 面 ABEF=AB,贝U AE=DB.又••• AP=DQ,• PE=QB. 又••• PM // AB// QN,BQ• PM PE QN "AB AE 'DC BD• PM QN"AB DC• P M /QN.四边形PMNQ 为平行四边形• PQ // MN.又••• MN 面 BCE ，PQ 面 BCE ，• PQ //面 BCE. 证法二：如图（2），连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK.•/ AD // BC,• DQ AQ"QB QK .又•••正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，A（1）A Q A P .则 PQ II EK.QK PE••• EK 面 BCE , PQ 面 BCE.••• PQ //面 BCE.例5、正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线 AC 、FB 上且AM= FN 求证：MN // 平面BCE证明：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作 MQ//AB 交BC 于QCM QM BN NPNP MQAC AB BF EF 又NP 〃AB 〃MQ :「MQPN于 A 、B 、C 、D 、E 、F ，若 GA=9，AB=12，BH=16 ， S AEC 72，求 S BFDG/ \a E 1 1 l0 l /CAF DBHMN // PQ PQ 面BCE MN //面BCE〃，线段 GH 、GD 、HE 交 GD GH G AC // BDHE HA H AE//BFAC GA 9EAC FBDBD GB 21证明:AC // BDBF HB 16 AE II BF AE HA 28S AEC -AC2AE si nA373S BFD-BF BD sin B 7442 S BFD 96立体几何每日一练基础部分线面平行问题(中位线)1.在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，P 、Q 分别是 AD i 、BD 上的点，且 AP=BQ ，求证：PQ II 平面 DCC i D i 。
高中数学-立体几何平行垂直
立体几何位置关系-平行与垂直高中立体几何的学习，重点在于证明和体积表面积求解，难点在于二面角的求解。
考试题型以解答题和选择题为主，高考难度划分属于中档题。
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（9）、如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
（11）、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
（13）、垂直于同一条直线的两个平面平行。
（14）、一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（15）、一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
（16）、如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直 面面垂直三垂线逆定理三垂线定理⑴⑵ ⑷ ⑶ ⑸ ⑹⑾⑿⒀⒁⑼ ⑽⒂ ⒃⑺⑻（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点. 求证：AF//平面PEC；例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.练习1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1。
立体几何最典型的平行与垂直题型归纳(带答案)(1)
专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD＝2AB，点E、F 分别是线段PD、PC 的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O 的位置，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M 为PD 的中点．Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．AD ∥BC ，∠ BAD ＝90°，PA4．如图，△ ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平而ABC，F 是BE 中点，AE＝AB＝2，CD＝1．1）求证：DF ∥平面ABC；2）求证：AF ⊥DE；3）求异面直线AF 与BC 所成角的余弦值．5．如图，在四棱锥A﹣BCDE 中，平面ABC⊥平面BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．（1）证明：D E⊥平面ACD ；2）求棱锥C﹣ABD 的体积．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB ＝1，M 为线段PD 的中点．I）求证：BM ⊥PDII ）求直线CM 与PB 所成角的余弦值．7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，所有棱长都等于2．（1）当点M 是BC 的中点时，求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；专题 :立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M 分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：2）若∠ ABC ＝120°，AE ⊥EC ，AB ＝2，求点 G 到平面 AED 的距离．3．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ， AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ ．（ 1）求证： PD ⊥平面 PAB ；1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD；AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝90BE ⊥平面 ABCD ．1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．2）若 PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为 ，求该四棱 1）证明： AC ⊥BD ；（2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝BD ，若 E 为棱 BD 上与 D6．如图，在四棱锥 A ﹣EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平面 AEF ⊥平面 EFCB ，EF ＝ 2，四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形， EF ∥BC ，O 为 EF 的中点．AD ＝CD ． 求 O 到平面 ABC 的距离．专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．A ．0 B．1 C． 2 D． 3【解答】解：取AC 的中点E，连接BE，DE，∵∠ ABD＝∠ CBD ，∴ BD 在平面ABC 上的射影在直线BE 上，∵△ ACD 是直角三角形，∴∠ ADC＝90°，设 AB ＝ 2，则 BE ＝ ，DE ＝ AC ＝1，BD ＝2，2 2 2∴DE 2+BE 2＝ BD 2，即 DE ⊥BE ，又 BE ⊥ AC ，DE ∩AC ＝E ，∴ BE ⊥平面 ACD ，∴平面 ABC ⊥平面 ACD ．∵ D 在平面 ABC 上的射影为 E ， B 在平面 ACD 上的射影为 E ，∴平面 ABD 与平面 ABC 不垂直，平面 BCD 与平面 ABC 不垂直，平面 ABD 与平面 ACD 不垂直，平面 BCD 与平面 ACD 不垂直， 过A 作 AF ⊥BD ，垂足为 F ，连接 CF ，由△ ABD ≌△ CBD 可得 CF ⊥BD ，故而∠ AFC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角， ∵ AD ＝＝ ， ∴ cos ∠ ABD ∴ CF ＝ AF ＝∴ cos ∠ AFC ＝∴∠ AFC ≠ 90°，∴平面 ABD 与平面 BCD 不垂直．F 分别是线段 PD 、PC 的中点．证明： EF ∥平面 PAB ；BO ⊥平面 PAC ，若存在，请指出点 O 的位置， 并证明 BO ⊥平面 PAC ；若不存在，请说明理由．2．如图， 在四棱锥 P ﹣ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 为长方形， AD ＝ 2AB ，在线段 AD 上是否存在一点 O ，使得，∴ sin ∠ ABD＝∵EF ∥CD ，∴ EF ∥AB ，∴ EF ∥平面 PAB ． ⋯（6 分）此时点 O 为线段 AD 的四等分点，满足 ，⋯（ 8 分） ∵长方形ABCD 中，∴△ ABO ∽△ ADC ， ∴∠ ABO+∠CAB ＝∠ DAC + ∠CAB ＝90°，∴AC ⊥BO ，（10 分） 又∵ PA ⊥底面 ABCD ，BO? 底面ABCD ， ∴PA ⊥BO ， ∵PA ∩AC ＝A ，PA 、AC? 平面 PACABCD 为长方形，∴CD ∥AB ，∠ BAO ＝∠ ADC ＝ 90°，四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ，∠ BAD＝，PA 又∵ EF? 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ，Ⅱ） 在线段 AD 上存在一点 O ，使得 BO ⊥平面 PAC ，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；（Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．解答】证明：（I ）取PA 的中点E，连接ME 、BE，∵ ME ∥AD，ME AD，∴ ME ∥BC，ME＝BC，∴四边形BCME 为平行四边形，∴ BE∥CM ，∵BE? 平面PAB，CM?平面PAB，∴ CM∥平面PAB；（II ）在梯形ABCD 中，AB＝BC＝1，AD＝2，∠ BAD＝90° 过C作CH⊥AD于H，∴AC ＝CD＝2 2 2∵AC2+CD2＝AD2，∴ CD⊥AC又∵ PA⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD，∴ CD⊥PA∵PA∩AC＝A，∴CD ⊥平面PAC4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1 的中点，证明：A1D⊥平面A1BC．解答】 证明：设 E 为 BC 的中点，连接 A 1E ， DE ，AE ，由题意得 A 1E ⊥平面 ABC ，∴ A 1E ⊥AE ．∵ AB ＝ AC ， AE ⊥BC ，∴ AE ⊥平面 A 1BC ． 由 D ，E 分别为 B 1C 1，BC 的中点，得 DE ∥B 1B 且 DE ＝B 1B ， 从而 DE ∥A 1A 且 DE ＝A 1A ，∴四边形 A 1AED 为平行四边形，∴ A 1D ∥AE ．5．如图，△ ABC 为正三角形， AE 和 CD 都垂直于平而 ABC ，F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝ 1．（1）求证： DF ∥平面 ABC ；（2）求证： AF ⊥DE ；（3）求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取 AC 中点 O ，过 O 作平面 ABC 的垂线交 DE连结 OB ，则 OG ⊥OB ， OG ⊥ OC ，∵△ ABC 是正三角形， O 是 AC 中点，∴ OB ⊥ OC ，以 O 为原点， OB 、OC 、OG 所在直线分别为 x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，又∵ AE ⊥平面 A 1BC ， ∴ A 1D ⊥平面 A 1BC∵F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝1，＝（﹣ ， 1， 0）， ＝（ 0，0， 1），∵CD ⊥平面 ABC ，∴ ＝（0，0，1）是平面 ABC 的一个法向量，又 DF? 平面 ABC ，∴ DF ∥平面 ABC ．2）证明：∵ ＝（ ）， ＝（ 0，﹣2，1），∴ ＝ 0﹣ 1+1＝0，∴AF ⊥DE ．（3）解：∵ ＝（ ）， ＝（﹣ ，1， 0），设 AF 、 BC 所成角为 θ，cos θ＝ ∴异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值6．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝ 1，M 为线段 PD 的中点．（ I ）求证： BM ⊥PD（ II ）求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值．∴ ＝（ ，0）， ＝（ ）， ＝（0，﹣ 2，1），∵ ＝ ， ∴，D （0，1，1），E （0，﹣1，∴A （0，﹣ 1，0），B（| | ＝【解答】（ I ）证明：连接 BD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1， ∴PB ＝BD ＝∵ M 为线段 PD 的中点，∴BM ⊥PD（II ）解：连接 AC ，与 BD 交于 O ，连接 OM ，则∵ M 为线段 PD 的中点，∴MO ∥PB∴直线 CM 与 PB 所成角的余弦值为7．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，所有棱长都等于 2．（ 1）当点 M 是 BC 的中点时，① 求异面直线 AB 1和 MC 1 所成角的余弦值；② 求二面角 M ﹣AB 1﹣C 的正弦值；（2）当点 M 在线段 BC 上（包括两个端点）运动时， 求直线 MC 1与平面 AB 1C 所成角的∴∠ CMO （或其补角）为直线 CM 与 PB 所成角，在△ MOC中， ∴ cos ∠ CMO＝CM ＝ ＝ ，． ．解答】 解：（1）取 AC 的中点为 O ，建立空间直角坐标系 O ﹣ xyz ，则 ，C （ 0，1，0），当 M 是 BC 的中点时，则 ． ①， 设异面直线 AB 1 和 MC 1 所成角为 θ，则 ＝ ＝ ．＝ ＝ ．② ， ， ，，令 x ＝ 2，∴ ，∴ ．设二面角 M ﹣ AB 1﹣ C 的平面角为 θ，则＝．所以 ．（ 2）当 M 在 BC 上运动时，设 ．设平面 MAB 1的一个法向量为 ，则 ．∴ 设平面 AB 1C 的一个法向量为 ，令 ，则 y ＝﹣ 1，z ＝﹣ 1，∴，，则正弦值的取值范围．设M（x，y，z），∴，∴ ，则，∴ ．设直线MC1 与平面AB1C 所成的角为θ ，则设，设t＝λ+1 ∈[1，2]，所以，t∈[1，2]．设，∴∵ ，∴ ，∴∴直线MC 1与平面AB1C 所成的角的正弦值的取值范围为6．如图，在四棱锥 A ﹣BCDE 中，平面 ABC ⊥平面 BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°， AB ＝CD ＝ 2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ ．（ 1）证明： DE ⊥平面 ACD ；（ 2）求棱锥 C ﹣ ABD 的体积．【解答】 解：（ 1）在直角梯形 BCDE 中，∵DE ＝ BE ＝ 1， CD ＝ 2，∴ BC ＝＝ ， 又 AB ＝2， AC ＝ ，∴ AB 2＝AC 2+BC 2，即 AC ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCDE ，平面 ABC ∩平面 BCDE ＝BC ，AC? 平面 ABC ，∴AC ⊥平面 BCDE ，又 DE? 平面 BCDE ，∴AC ⊥ DE ，又 DE ⊥DC ，AC ∩CD ＝C ，∴ DE ⊥平面 ACD ．1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：S △BCD ?AC ＝V C ﹣ABD ＝V A ﹣BCD ＝1)AM∥平面BDC12)DC1⊥平面BDC ．∴AD ∥ MN ，且 AD ＝ MN ；∴四边形 ADNM 为平行四边形，∴DN ∥AM ；又 DN? 平面 BDC 1，AM? 平面 BDC 1，∴ AM ∥平面 BDC 1⋯（ 6 分）（ 2）由已知 BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，又 CC 1∩ AC ＝ C ，∴ BC ⊥平面 ACC 1A 1，又 DC 1? 平面 ACC 1A 1，∴ DC 1⊥BC ；由已知得∠ A 1DC 1＝∠ ADC ＝45°，∴∠ CDC 1＝ 90°，∴DC 1⊥DC ；又 DC ∩BC ＝C ，∴ DC 1⊥平面 BDC ．⋯（ 12分）【解答】 证明：（ 1）如图所示，取 BC 1 的中点 N ，连接 DN ，MN ．则 MN ∥ CC 1，且 M N ＝ CC 1；又 AD ∥CC 1，且 ADV ＝ ，2．如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE ⊥平面 ABCD ．（ 1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．因为 BE ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，所以 AC ⊥BE ，⋯（ 2 分）又因为 DB ∩BE ＝B ，所以 AC ⊥平面 BED ．⋯（ 3分） 又 AC? 平面 AEC ，所以平面 AEC ⊥平面 BED ．⋯（ 5 分）2）取 AD 中点为 M ，连接 EM ．因为∠ ABC ＝ 120°．，AB ＝2，所以 AB ＝DB ＝ 2，AG ＝ ，DG ＝ 1，因为 AE ⊥EC ，所以 EG ＝＝ ，所以 BE ＝ ，⋯（ 6 分）所以 AE ＝DE ＝ ，又所以 AD 中点为 M ，所以 EM ⊥AD 且 EM ＝ ．设点 G 到平面 AED 的距离为为 h ， 则三棱锥 E ﹣ADG 的体积为求点 G 到平面 AED 的距离．为菱形，所以 AC ⊥BD ，⋯（ 1 分）即，解得 h ＝ ．PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB? 平面 ABCD ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵PD? 平面 PAD ，∴AB ⊥PD ，又 PD ⊥PA ，且 PA ∩AB ＝A ，∴ PD ⊥平面 PAB ；（ 2）解：取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO ⊥ AD ， 又平面 PAD ⊥平面 ABCD ， ∴PO ⊥平面 ABCD ，∵PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AD ＝2，∴ PO ＝1．10 分） 所以点 G 到平面 AED 的距离为AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ ．1）求证： PD ⊥平面PAB ；在△ ACD 中，由 AD ＝2，AC ＝CD ＝ ，可得 ．4．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中， AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝901）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；P ﹣ABCD 中，∠ BAP ＝∠ CDP ＝ 90°，∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又 AB ∥ CD ，∴ AB ⊥PD ，∵PA ∩PD ＝P ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵AB? 平面 PAB ，∴平面 PAB ⊥平面 PAD ．解：（2）设 PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取 AD 中点O ，连结 PO ，∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠ APD ＝90°，平面 PAB ⊥平面 PAD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为由 AB ⊥平面 PAD ，得 AB ⊥ AD ，∴V P ﹣ABCD ＝2）若 PA ＝PD ＝ AB ＝ DC ，∠ APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ ABCD 的体积为求该四棱 ∴ PO ⊥底面ABCD ， O P＝ ＝ ＝ ＝ ， 解得 a ＝2，∴ PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝2 ，PO ＝ ， ∴ PB ＝ PC ＝ ＝2 ，∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝ S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝+1）证明： AC ⊥ BD ；2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝ BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点， ∵△ ABC 是正三角形， AD ＝CD ，∴DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵DO ∩BO ＝O ，∴ AC ⊥平面 BDO ，∵BD? 平面 BDO ，∴AC ⊥BD ． 解：（2）法一：连结 OE ，由（ 1）知 AC ⊥平面 OBD ， ∵OE? 平面 OBD ，∴ OE ⊥ AC ， 设 AD ＝ CD ＝ ，则 OC ＝ OA ＝ 1， EC ＝ EA ，2 2 2 ∵AE ⊥CE ，AC ＝2，∴ EC 2+EA 2＝AC 2，∴ EC ＝ EA ＝ ＝ CD ，∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点，∴ EC ＝EA ＝CD ＝ ，由余弦定理得：AE ⊥＝ 6+2 ．AD ＝CD ．∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴ BE＝ED ，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵ BE＝ED ，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．法二：设AD＝CD＝，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，∴ BO＝＝，∴ BO2+DO2＝BD2，∴ BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），∴ ＝（1，），＝（﹣ 1 ，），∵AE⊥EC，∴＝﹣1+3λ2+ （1﹣λ）2＝0，由λ∈[0 ，1]，解得，∴ DE＝BE，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵DE＝BE，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．AEF⊥平面EFCB，EF＝2，四边形EFCB 是高为的等腰梯形，EF∥BC，O 为EF 的中点．1）求证：AO⊥CF；O 为EF 的中点，所以AO⊥ EF ⋯（ 1 分）又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO? 平面AEF，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ，所以AO ⊥平面EFCB，⋯（ 4 分）又CF? 平面EFCB ，所以AO⊥ CF ⋯（ 5 分）（2）解：取BC 的中点G，连接OG．由题设知，OG⊥BC ⋯（ 6 分）由（1）知AO⊥平面EFCB ，又BC? 平面EFCB ，所以OA⊥BC，因为OG∩OA＝O，所以BC⊥平面AOG⋯（8 分）过O 作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥ OH ，因为AG∩BC＝G，所以OH⊥平面ABC．⋯（10 分）因为，所以，即O 到平面ABC 的距离为．（另外用等体积法亦可）⋯（12 分）10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若∠ BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1 与B1C 所成角的余弦值为（A．0 B．C．。
高中数学2.9空间几何中的平行和垂直的综合应用练习(含解析)新人教A版必修2
2.9空间几何中的平行和垂直的综合应用练习1.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:(1)⇒m∥n;(2)⇒n∥α;(3)⇒m⊥n.其中推理正确的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n⊂α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.【答案】C2.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是().A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【解析】∵D∈l,l⊄平面β,∴D∈平面β.∵D∈AB,AB⊄平面ABC,∴D∈平面ABC,∴D在平面ABC与平面β的交线上.∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.【答案】C3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.【解析】由EF∥平面AB1C,可知EF∥AC,所以EF=AC=×2=.【答案】4.如图,正方形的边长为2,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,且PA=2DE=2,F是PC的中点.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)求证:平面PEC⊥平面PAC.【解析】 (1)连接BD交AC于O点,连接FO,∵F是PC的中点,O是AC的中点,∴FO∥PA且FO=PA,又DE//PA,且DE=PA,∴FO ED,∴四边形EFOD为平行四边形,∴EF∥OD ,又EF⊄平面ABCD,OD⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥OD,又OD⊥AC,且PA∩AC=C,∴OD⊥平面PAC,又EF∥OD,∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PAC.5.对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n,下列命题中真命题是().A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,则a⊥αB.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥bD.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α【解析】A中m,n应为相交直线;B中a可能在α上;D中a,b也应为相交直线;故选C.【答案】C6.四面体ABCD中,AD与BC互相垂直,且AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是().A.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高所在直线异面B.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高长度相等C.AB=AC且DB=DCD.∠DAB=∠DAC【解析】作BE⊥AD交AD于点E,连接CE,因为AD⊥AC,所以AD⊥平面BEC,所以AD⊥CE,所以A错误;设AB+BD=AC+CD=m,则BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得:AB=,同理AC=,∴A B=AC,故B,C,D正确.【答案】A7.在正四面体ABCD(棱长均相等的三棱锥)中,O为底面△BCD的中心,M是线段AO上一点,且使得∠BMC=90°,则的值为.【解析】如图,设正四面体ABCD的棱长为2,由∠BMC=90°,得BM=,又可得BO=,在Rt△BOM中,MO=,由勾股定理得AO=,所以=1.【答案】18.三棱锥P-ABC,底面是边长为2的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为PA上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.(1)求证:DO∥平面PBC;(2)求证:BD⊥AC.【解析】(1)连接AO交BC于点E,连接PE,∵O为正三角形ABC的中心,∴AO=2EO,又AD=2DP,∴DO∥PE,∵DO⊄平面PBC,PE⊂平面PBC,∴DO∥面PBC.(2)∵PB=PC,且E为BC中点,∴PE⊥BC,又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC,由(1)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,∴DO⊥AC.连接BO,则AC⊥BO,又DO∩BO=O,∴AC⊥平面DOB,∴AC⊥BD.9.在边长为4 cm的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥,则MN与平面AEF的位置关系是.【解析】如图,由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点(折叠后B、C两点重合),所以MN∥AF,又因为MN⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,所以MN∥平面AEF.【答案】MN∥平面AEF10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;(2)求证:平面PQB⊥平面PAD.【解析】连接AC,交BQ于N,连接MN,∵BC∥AD且BC=AD,即BC AQ,∴四边形BCQA为平行四边形,∴N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN∥PA,∵MN⊂平面BMQ,PA⊄平面BMQ,∴PA∥平面BMQ.(2)(法一)∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ,∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD,∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.(法二)∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点, ∴BC∥DQ且BC=DQ,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ, ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.∵PA=PD,∴PQ⊥AD,∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ,∵AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.。
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平行与垂直的综合应用
[基础要点]
⑴ ⑵ ⑷ ⑶
⑸
⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑾
⑽ ⑿
指出每个箭头方向表示的定理：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑽
⑾ ⑿
题型一、平行关系的综合应用
例1、如图示，正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，点E、F分别是
棱上11,CCBB的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2
（1）当点M在何位置时，MB∥平面AFE
（2）若MB∥平面AFE，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求
MB与EF所成角的余弦值。
变式:如图示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，
试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
题型二、垂直关系的综合应用
例2、如图示，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是菱
形，且11CCBCCDBCD
（1）求证：1CCBD
线面平行
面面平行 线线平行
线面垂直
线线垂直 面面垂直
AB
C
1
A
1
B
1
C
E
F
N
M
B
H
C
A
D
G
F
E
AB
C
D
1A1
B
1C1
D
（2）当1CDCC的值为多少时，能使1AC平面1CBD?请给出证明
变式：平面内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面，在半圆上任取一点M，连
SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影
（1）求证：NH⊥SB
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？
（3）这个图形中有多少个直角三角形？
（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？
题型三、空间角的问题
例3、如图示，在正四棱柱1111ABCDABCD中，
1
1,31ABBB
，E为1BB上使11BE的点，平面
1
AEC
交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：
（1）异面直线AD与1CG所成的角的大小
（2）二面角11ACGA的正弦值
变式：如图示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，SB
⊥面ABCD，SB=AB,设Q为SD的中点，M为AB的中点，
（1）求证：MQ∥平面SBC
（2）求证：平面SDM⊥平面SCD
（3）求锐二面角S－M－C的大小
题型四、探索性、开放型问题
例4、已知正方体中1111ABCDABCD，E为棱1CC上的动点，
（1）求证：1AE⊥BD
(2) 当E恰为棱1CC的中点时，求证：平面1ABD⊥平面EBD
（3）在棱1CC上是否存在一个点E，可以使二面角1ABDE的大小为45？如果存在，
C1A1DBCB1
GFAE
D1
A
BCDSMQA
试确定E在棱1CC上的位置；如果不存在，请说明理由。
变式:已知△ABC中，90,1BCDBCCD,AB⊥平面BCD，60ADB,E、F分
别是AC、AD上的动点，且(01)AEAFACAD
（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC
（2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
[自测训练]
1、若直线a与平面,所成的角相等，则平面与的位置关系是（ ）
A、// B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确
2、在斜三棱柱111ABCABC,90BAC,又1BCAC,过1C作1CH⊥底面ABC，垂足
为H ，则H一定在（ ）
A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC的内部
3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线②垂直于同一个平面
的两条直线是平行直线③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直，基中真命题的个
数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
4、如图示，平面⊥平面，,,ABAB与两平面,所
成的角分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为
,AB
，则:ABAB（ ）
A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3
5、已知平面,和直线,lm，使//的一个充分条件是（ ）
A、//,//,//lmlm B、,//,//lmlm
C、//,,lmlm D、,//,lmlm
6、正三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
（ ）
A、１：３ B、1:(33) C、(31):3 D、(31):3
B`
A`
B
A
7、如图示，正四面体ABCD的棱长为１，平面过棱AB，且CD∥，
则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积为
8、如图示，直三棱柱11ABBDCC中，190,4ABBAB,
12,1BCCCDC上有一动点P，则△1
APC
周长的最小值是
9、在正棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，AM⊥MN，
若SA3，则此正三棱锥的外接球表面积为
10、PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC
的中点，
（１）求证：MN∥平面PAD
（２）若二面角P－DC－A为4，求证:
平面MND⊥平面PDC
11、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A
且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE
⊥SB,AG⊥SD
12、四棱锥P－ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD，
CD=2AB,PA⊥面ABCD，E为PC中点，
（１）求证：平面PDC⊥平面PAD
（２）求证：BE∥平面PAD
（３）假定PA=AD=CD,求二面角E－BC－C的平面角的正切值
A
B
C
D
A
B
C
D
1
B
1
C
A
B
C
S
M
N
D
C
B
A
P
E
D
C
B
A
S
G
E
F
C
B
A
D
P
E
M
N