2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(2)
2017年全国高中数学联赛模拟试题03
2017全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2014a b +的取值范围是__________．sin cos (,)Z f xa xb x a b 满足00x f x x f f x ，则a 的最大值为 ．1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-，（,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为 ．ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点， 则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________6. 正数列{}n a 满足: 14n nnS a =(n S 为前n 项之和),则2nn a =_____________________．(2,0)M 的直线l 与抛物线24y x =交于点,A B ，与圆229()162x y -+=交于点,C D ，若AC BD =且AB CD ≠，则这样的直线l 的条数是8. 6名男生和x 4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为 ． 二、简答题（本大题共3小题，共56分）}{n a =*n N ∈）， 且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且150DAC ∠=，则0x >时，求()f x xμ=的最小值．11、已知圆222(1)(2)x y R -+-=（0R >）与椭圆2214x y +=有公共点，求圆的半径R 的最小值．2017全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆1O 、圆2O 与圆3O 相交于点P ，圆1O 和圆2O 的另一个交点为A ，经过点A 的一条直线分别交圆1O 、圆2O 于点B 、C ，AP 的延长线交圆3O 于点D ，作//DE BC 交圆3O 于点E ，再作EM 、EN 分别切圆1O 、圆2O 于M 、N ．求证：22EM EN DE BC -=⋅． 二、（本题满分40分）若数列{}n a 是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的*n N ∈，只有有限个正整数m 使得m a n <成立，记这样的m 的个数为*()n a ，则得到一个新数列{}*()n a ，如此可定义数列(){}**()n a 等．求证：()**()n n a a =．三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p ，至少存在一个n N ∈，满足：2|20142014np +． 四、（本题满分50分）平面上有4n （*n N ∈）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个ABCDEMN1O ⋅2O ⋅3O ⋅P圆相交．设这些圆的交点个数为()f n ，求()f n 的最小值．2017全国高中数学联赛模拟试题03一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2014a b +的取值范围是__________． 解：由已知()()f a f b =，作图可知2201,1,log log .a b b a <<>⎧⎨=-⎩∴01,1a b <<>且1.ab =20142014a b a a +=+，令2014()g a a a=+，则()g a 在(0,1)上是减函数.∴()(1)2015g a g >=，从而取值范围为(2015,)+∞．2.函数sin cos (,)Z f x a xb x a b 满足00x f x x f f x ，则a 的最大值为 ． 解：设0,0Ax f x B x f f x．显然A 非空，取0x A ，即0x B ，故0b f f f x ，从而sin ()Z f x a x a．当0a时，显然有A B ．以下设0a ，此时sin 0Ax a x ，sin sin 0sin ,Z B x a a x x a xk k．易知AB 当且仅当对任意R x ，有sin (,0)Z a x k k k ，即a ，故整数a 的最大值为3．3.设复数1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-， （,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=________________ 解：123||||||z z z ++≥123|||129|15z z z i ++=+=，当且仅当63231244233293a a ab b b -+-====-+-，即75,34a b ==时，取到最小值15，此时，3412a b +=．4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为 ．解：取过四棱柱底面正方形相对顶点的轴截面，得一正三角形与其内接矩形，其底边长为2a ，设其高为h ，则得∴ 33－h 33＝2a 6，⇒h ＝33－6a 2，∴ V 四棱柱＝a 2(33－6a 2)＝62a 2(32－a )＝26·12a ·12a (32－a )≤26(12a ＋12a ＋32－a 3)3＝26(2)3＝83．等号当且仅当a ＝22时等号成立．5.在ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________解：PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅()()()()PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA =⋅+++⋅+++⋅222132()3()()33AB AC PA AB AC PA AB AC PA AB AC AB AC +=++⋅+⋅=+-++⋅ 则222min 11125()()33323AB AC AB AC AB AC AB AC μ=-++⋅=-++⋅=-． 6. 正数列{}n a 满足: 14n n n S a =(n S 为前n 项之和),则2nn a =_____________________．解：由已知可得：14()1nn n n S S S --=，令2nn n S b =，则1(2)1n n n b b b --=，且11b =，2112n n nb b b --=，所以2211221111n n n n n b b b b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1n n c b =，则1221n n nc c c -=-，且11c =，设tan (0)2n n n c πθθ=<<，则 1tan tan 2n n θθ-=，从而12n n θθ-=，即12n n πθ+=，所以1cot 2n n b π+=，故11cot 22n n n S π+=，从而11111cot cot 2222n n n n n n n a S S ππ-+-=-=-，即12cot 2cot 22n n n n a ππ+=-．(2,0)M 的直线l 与抛物线24y x =交于点,A B ，与圆229()162x y -+=交于点,C D ，若AC BD =且AB CD ≠，则这样的直线l 的条数是8. 6名男生和x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为 ． 解：若每名男生都至少与另一男生相邻，则必有如下站法之一：,MM MM MM MMMM MM −−−,,,MM MMMM MMM MMM MMMMMM −−.()1考虑站法MM MM MM −−.在每两名男生组成的空档之间安排一名女生，进而，在4个位置安排余下的2x -名女生.因此，这样的排法有31x C +种.()2考虑站法MMMM MM −,MM MMMM −,MMM MMM −.这样将男生分成两个小组，空档之间安排一名女生，进而，在3个位置安排余下的1x -名女生.因此，这样的排法有21x C +种.()3考虑站法MMMMMM .将6名男生视为一个整体，与x 名女生排列站队，有1x +种排法.综上所述，()()2132211216613186100x x x C x x p C C x x x ++++++==≤+++++.故()25925940f x x x =--≥.注意到，()00f <，故所求x 的最小值应满足()()10,0.f x f x -<⎧⎪⎨>⎪⎩易知，()259359359259359410f =-⨯-=-<，()25945945925945945940f =-⨯-=>.从而min 594x =.三、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列}{n a=*n N ∈）， 且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．=4=，设n b =154n n b b +⇒=+，且14b ==． 则11115(1)(1)5151n n n n n b b b b -++=+⇒=+-=-，2111((51)1)5(52)33n n n n n a a +=--=-所以：当n ≥2时，11211112125(52)3n k kn n n n k n n a a a a a a a a ---=--=⋅⋅⋅⋅=-∏，综上：1112125(52)23n n k k n k n a n --==⎧⎪=⎨-≥⎪⎩∏．10.二次函数()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且150DAC ∠=，则0x >时，求()f x xμ=的最小值．解：设2121212()()()()()22x x a x x f x a x x x x a x +-=--=--，12(,0),(,0),A x B x 21212()(,)22x x a x x D +--，则ABC ∆的外接圆圆心1212(,)2x x P ax x +．由||||PC PA =22222212121212()()122x x x x a x x a x x +-⇒=+⇒=220121212()()9022x x a x x ax x PAD --⇒=⋅⇒∠=，则PAC ∆为等边三角形．则2212121123312x x x x x a x +=⇒=⇒=，21111(3()(3))4)(x x x x a x f x a x ax x x xμ==--+-=≥2-此时，二次函数为()(f x a x x =，min 2μ=- 11、已知圆222(1)(2)x y R -+-=（0R >）与椭圆2214x y +=有公共点，求圆的半径R 的最小值． 解：设切点为(2cos ,sin )(0,)2πααα∈， 则2222(2cos 1)(sin 2)63cos 4(sin cos )R ααααα=-+-=+-+36(1cos 2))24παα=++-+153sin(2))2224ππαα=++-+153sin(2))2224ππαα=++-+153sin(cos())244ππαα=-+-+ ⇔求sin (cos )3μββ=-，3(,)44ππβ∈的最小值．又2222sin (cos )3βμλβλ=- R λ+∈ ≤22222sin 32()(cos )9βλλβλ++≤22221321()()92λλλ++当且仅当222sin cos cos 3βλββλ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎩2424219cos 916160232λλβλλ-⇒==⇒+-=即2λβ==时，取到等号．（另解：求导2cos (cos )sin 03μβββ'=-+=cos 6β⇒=）此时max μ=，==，min R =2015全国高中数学联赛模拟试题03加试一证明：连EP 交圆1O 、圆2O 与BC 分别为S 、T 、Q ， 由相交弦定理及切割线定理得：QA QB QS QP ⋅=⋅QA QC QT QP ⋅=⋅ 两式相加得：BC QPQA BC ST QP ST QA⋅=⋅⇒= 又//DE BC ，QP EP AQP DEP QA ED ⇒∆∆⇒= 所以：BC QP EPST QA ED==，22()DE BC EP ST EP ES ET EP ES EP ET EM EN ⇒⋅=⋅=⋅-=⋅-⋅=-．二、证明： 对*k N ∀∈，**(())k a 表示{}*()n a 中，比k 小的项的个数，设**(())k a t =，再由{}*()n a 的定义知，对*n N ∀∈，*1(){}n n a a +=中比1n +小的项的个数{}n a ≥中比n 小的项的个数*()n a =，故A BC DEMN1O ⋅2O ⋅3O ⋅P S T Q{}*()n a 是项为非负整数的不减数列．所以：******1()(()))()(())1)t k t k a k a t a k a t +⎧<<⎨≥≥+⎩否则否则((，即*()t a k <*1()t a +≤又{}n a 是项为非负整数的不减数列，所以：**1(())1(())k t k t a t a k a t a k +⎧≥≥⎨<+<⎩否则否则，k a t ⇒=．综上：**(())k k a t a ==．三、证明：假设结论不成立，设12,,,k p p p 为能整除形如220142014n+这样的数中至少其中之一的全部素数．考虑1k +个数220142014i+，（1,2,,,1i k k =+），由于这些数是有限数，故存在一个*q N ∈，使得这1k +个数中的任何一个都不能被qj p （1,2,,j k =）整除．又220142014n+可以足够大，知存在一个n ，使220142014nqk p +>，其中12max{,,,}k p p p p =，对于这个足够大的220142014n+，将其质因数分解后，知必存在某个j p 的指数大于q ．考虑这个足够大的220142014n+及1222220142014,20142014,,20142014n n n k++++++这1k +个数，由于它们每一个均能被某个qj p 整除， 但是j p 仅有k 个，由抽屉原理知，这1k +个数中必存在两个数被同一个qj p 整除（{1,2,,}j k ∈）， 即2|20142014n rqjp ++，2|20142014n sqjp ++，其中0≤s r <≤k ，所以：222220142014(2014)2014(mod )n rn sr sr s q j p ++---≡=≡2|22014r sq j p -⇒+与q 的选择矛盾． 综上：原结论成立．四、解：记M 为这4n 个圆124,,,n C C C 的集合，N 为这4n 个圆的交点12(),,,f n P P P 的集合．设圆C M ∈和交点P N ∈，若点P 不在圆C 上，定义(,)0F C P =；若点P 在圆C 上，定义1(,)F C P m =，其中m 是过点P 的圆的个数．则对于N 中的任意点P ，有41(,)1ni i F C P ==∑．对于M 中的任意圆C ，选取P N ∈且P C ∈，使得1(,)F C P m=是最小的，记121,,,p p pm C C C -是通过点P 的其它1m -个圆，其中圆pi C （1,2,,1i m =-）与圆C 的另外一个交点为i Q ，又这些圆的半径相同，则1m -个点i Q 两两不同．∴()1(,)f n j j F C P =∑≥11(,)(,)m i i F C P F C Q -=+∑≥11(1)1m m m+-= ∴()()441111()(,)(,)f n f n n n ijijj i i j f n F C P F C P ======∑∑∑∑≥4114n i n ===∑下面说明()4f n n =是可以取到的，如图：每四个圆有4个交点，（本质上所有圆的半径为r ，正PQR ∆这四个圆是,,,PQR SPQ SQR SRP ∆∆∆∆的外接圆）∴min ()4f n n =．。
镇海中学2017学年第一学期高二年级数学试卷
镇海中学2017学年第一学期高二年级数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.1、抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）102A.,⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()01B.,108C.,⎛⎫ ⎪⎝⎭ 102D.,⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、已知a R ∈，则2a >是22aa >的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3、一抛物线拱桥，当水面离桥顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米，这水面宽为（ ）米A. B. 45C.. 9D.4、我国古代数名著《九章算术》中开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而之，所得开立方除之，即立圆径.开立圆术相当于给出了已知求的体积V ，求其直径d 的近似值公式d =根据以上公式，得到π的一个近似值为（ ） 3A. 3142B.. 3375C.. 168D..5、在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是平面11BCC B 的距离与直线1AA 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B.圆C.双曲线D.抛物线6、 命题正确的是（ ）A.若一个平面内由无穷多个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；B.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别垂直，则这两个平面垂直；C.若一个平面内由3条两两不平行的直线与另一个平面所成角均相等，则这两个平面平行；D.若两个平面相交，则一个平面内不存在不共线三点到另一个平面距离相等.7、 命题：“奇函数的图像关于原点对称”的否命题为（ ）A. 不是奇函数的图像不关于原点对称B. 奇函数的图像不关于原点对称C. 图像不关于原点对称的函数不是奇函数D. 没有一个奇函数的图像关于原点对称8、若直线l,m 与平面,,αβγ满足l,l ,m ,m //β⋂γ=⊥α⊂αβ，则（ ）A.,m α⊥γ⊥γ且B.,m l α⊥γ⊥且C.,m //l α⊥β且D.,m //α⊥βγ且9、边长分别为2的两个不透明的正方形纸片ABCD,EFGH 分别在平面,αβ内，满足EF //AC,GF //BD ，现有一大束平行光线照射纸片EFGH 在平面α内的留下阴影，则落在正方形纸片ABCD 内的阴影面积最大值为（ ）A. 2B. 4C. 1D.10、若ABC ∆的边长BC 上存在一点M （异于B,C ）将ABM ∆沿着AM 翻折后使得AB CM ⊥，则内角A,B,C 必满足（ ）90A.B ︒≥ 90B.B ︒< 90C.C ︒< 90D.A ︒<二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分11、已知点()01A x ,在抛物线2y x =上，则点A 与点104,⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为。
2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷
2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）I.<5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（A.直线y=・x上B.抛物线上C.直线y=x上D.双曲线个，=1上2.（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%.则相同距离的行车时间可节省k%.那么的值是（A.35B.30C.25D,203.（5分）若-\<a<Q.则私a3,缶,右一定是（aA.最小，J最大aB.拓最小，〃最大C.上最小，〃最大aD. {■最小.折最大4.（5分）如图，将八ADE绕正方形A8CD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则卜列结论错误的是（A.AEIAFB.EF：AF=yj2-15.C.A—=FH・FE D・FBz FC=HB：EC（5分）在ZMBC中.点。
.E分别在A&AC上.且CD与BE相交于点F.已知WDF 的而积为10,ZiBCF的而积为20,的面积为16,则四边形区域ADFE的面枳等A.22B.24C.36D.44于（）6.（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到卜.次两人再同班，最长需要的天数是（）A.30B.35C.56D.448二.填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7.（5分）已知NA为锐角且4sin?A-4siMcosA+cos2A=0,则lanA8.（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A, B两艘船相会之后，4船以每小时12海浬的速度往南航行，矿船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过小时后.观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9.（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C三点的抛物线对应的函数关系式是.C10.（5分）桌而上有大小两颗球，相互靠在一起.己知大球的半径为20cm.小球半径攵则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm.11.（5分）物质A与物质B分别由点A（2,0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以I单位/秒等速运动，物质8按顺时针方向.以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是.A(2.0)12.（5分）设G. C2. C3,…为一群圆，其作法如下：G是半径为“的圆，在Q的圆内作四个相等的圆G（如图），每个圆C2和侦IG都内切，旦相邻的两个圆G均外切.再在每一个圆G中，用同样的方法作四个相等的圆G，依此类推作出Cs，C6.则（1）圆G的半径长等于（用«表示）；（2）圆Ck的半径为3为正整数，用"表示，不必证明）Cl三.解答题（本题有4个小题，共60分）13.（14分）如|¥|,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆。
浙江省镇海中学2017-2018学年第二学期期初考试高一数学(解析版)
浙江省镇海中学2017学年第二学期期初考试高一数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知数列，3，，，，那么9是数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】解：由．解之得由此可知9是此数列的第14项．故选：C．令通项公式，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2.的值A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在【答案】A【解析】解：弧度大约等于57度，2弧度等于114度，弧度小于弧度，在第二象限弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限故选：A．根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．本题主要考查三角函数值的符号问题常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．3.在中，A：B：：1：1，则a：b：A. 4：1：1B. 2：1：1C. 3：1：1D. ：1：1【答案】D【解析】解：：B：：1：1，，解得：，，由正弦定理可得：a：b：：：：：：1：1．故选：D．由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.定义一种集合运算，且，设，，则表示的集合是A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：，，，，，且，，或，故选：B．由，，知，，由此利用，且，能求出．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用．5.给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点对称的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数最小正周期是，所以，由选项可知，，所以，排除C．图象关于点对称，所以时，函数值为0显然A，B不满足题意，的对称中心是故选：D．利用周期求出，再利用图象关于点对称，判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，正切函数的奇偶性与对称性，考查推理能力，计算能力，是基础题．6.若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，则：，，解得：，．故选：A．由已知可得，利用同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.设函数，已知，则a的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：时，，或，故；时，．，故；时，无解．综上，a的取值范围是，故选：C．分三种情况讨论：a小于等于时，得到大于1；a大于小于1时，得到大于1；当a大于等于1时，得到大于1，分别求出三个不等式的解集，求出三个解集的并集即为a的取值范围．本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即，故选：C．根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到，整理后答案可得．本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则．9.已知数列满足，，则A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：数列满足，，，，，，是以3为周期的周期数列，．故选：C．由数列满足，，推导出是以3为周期的周期数列，由此能求出的值．本题考查等差数列的第100项的求法，考查数列的周期、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若，则若，则为等边三角形若，，，则必有两解，则的最小角小于其中，正确结论的编号为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，若，即，即，即，故正确；对于，若，由正弦定理，可得，即，即为等腰直角三角形，故错误；对于，若，，，可得，又，即，则必有两解，故正确；对于，，即有，即有，即，，即有A最小，，则的最小角小于，故正确．故选：C．由三角形的边角关系和正弦定理可判断；由正弦定理和同角商数关系，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断；由向量的加减运算和余弦定理、结合余弦函数的性质可判断．本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理和余弦定理的运用、三角形的形状和个数的判断，以及向量的加减运算，考查判断能力、运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共32.0分）11.在等差数列中，，，则通项公式______；______．【答案】【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，通项公式，．故答案为：，．利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出通项公式和前n项和的值．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．【答案】48【解析】解：圆心角，扇形面积．故答案为：，48．由弧长公式可直接得到答案．由扇形面积公式直接得到答案．本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题．13.已知数列则______，______．【答案】【解析】解：数列则可得到，，，，，则，解得，，故答案为：，．根据数列的概念和找到其中的规律即可求出．本题考查了归纳推理和数列的概念，属于基础题．14.已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为______．【答案】【解析】解：，；若与垂直，则：；解得；若与平行，则；解得．故答案为：．可求出，，与垂直时，可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值；与平行时，可得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量加法、减法、数乘和数量积的运算．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：，，，平方可得解得，或，，，，，，；故答案为：由已知条件易得，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得，由两角和的正弦公式可得．本题考查两角和与差的三角函数运算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基本关系，属中档题．16.设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设平面向量与的夹角为，，且，，，相减可得，，，，．则的取值范围是由题意利用两个向量的数量积的定义，基本不等式可得可得，，进而得到，由此得到的取值范围是．本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式，属于中档题．17.对于实数a和b，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______．【答案】，【解析】解：，函数或．由图可知，当，，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是，，故答案为，．根据定义的运算法则化简函数，的解析式，并画出的图象，函数的图象与x轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知是方程的根，是第三象限角，且的值．【答案】解：已知是方程的根，是第三象限角，可得，，．原式．【解析】解一元二次方程的解法，求得，可得的值，再利用诱导公式得到要求式子的值．本题主要考查一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．19.在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．求d，；若，求【答案】解：公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．则：，解得：或，当时，．当时，．当时，．当时，，所以：，故：．当时，，所以：，，，．故．【解析】直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分类讨论思想，对数列的绝对值进行求和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，绝对值在数列的求和的应用．20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．求的值若的面积为9，求a的值【答案】解：．，，，又，得，得，得．，，由正弦定理得，则，的面积为9，，即，即．【解析】由正弦定理进行化简，结合同角的三角函数关系式进行求解利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．21.已知函数为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围设集合，，若，求实数m的取值范围．【答案】解：在上是增函数．，即，由得：，即，当时，恒成立．又时，；【解析】化简函数，然后利用是函数增区间的子集，解答即可．先求中的m的范围表达式，，m大于的最大值，小于的最小值，即可．本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题．22.已知函数，，其中．设函数若在上有零点，求k的取值范围；设函数是否存在k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：，，在上有零点，在上有零点．，解得，或．若在上有唯一零点，则，或，或，或．解得，解得，解得，解可得，或．当时，的零点是，不符合题意所以舍去．若在上有2个零点，则有，解得．综上所述，实数k的取值范围为．函数，即．显然，不满足条件，故．当时，．当时，．记，．当时，在上是增函数，要使，则，且，故；当时，在上是减函数，要使，则，且，故；综上可得，满足条件．故存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得【解析】由题意知在上有零点再由在上有唯一零点和在上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围．根据，知再由当时，在上是增函数，得到；当时，在上是减函数，得到，由此能求出k的值．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题．。
2017年浙江省宁波市镇海中学跨区自主招生数学试卷
2017年浙江省宁波市镇海中学跨区自主招生数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 2．（4分）若，则式子++等于（）A．﹣4x+3B．5C．2x+3D．4x+33．（4分）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b＝（）A．B．C．D．4．（4分）若，则m﹣20072＝（）A．2007B．2008C．20082D．﹣200825．（4分）方程6xy+4x﹣9y﹣7＝0的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个B．2个C．4个D．6个7．（4分）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P（m，n），则点P既在直线y＝﹣x+6上，又在双曲线上的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＞0，②c＜0，③b2﹣4ac ＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．（4分）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．10．（4分）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对二、填空题（每题6分，共30分）11．（6分）已知关于x的不等式mx﹣2≤0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是．12．（6分）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．13．（6分）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为．14．（6分）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．15．（6分）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走个小正方体．三、解答题（共50分）16．（6分）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．17．（8分）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM ＝DC+CM．18．（13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与斜坡的最近距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？19．（13分）如图，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．20．（10分）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f 。
又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为__________.2。
若实数y x ,满足1cos 22=+y x ,则y x cos -的取值范围是__________。
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF 的面积的最大值为__________。
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数".平稳数的个数是 。
5。
正三棱锥P —ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________。
7。
在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。
若3π=∠A ,ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8。
设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值。
2017届高三第二次模拟考试 数学理科试题(含答案)word版
绝密★启用并使用完毕前 2017年威海市高考模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合1{1,10,}10A =,{|lg ,}B y y x x A ==∈,则A B = A.1{}10 B. {10} C. {1} D. ∅ 2.复数11i -的共轭复数为A.11+22iB. 1122i -C. 11+22i -D. 1122i -- 3.如图，三棱锥V ABC -底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =,已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为4.若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则tan2ϕ=A.0B.1C.1-D. 1或1- 5.等差数列{}n a 中，10590,8S a ==，则4a =A.16B.12C.8D.66.已知命题p ：函数12x y a +=-恒过（1,2）点；命题q ：若函数(1)f x -为偶函数，则()f x 的图像关于VAB C第3题图直线1x =对称，则下列命题为真命题的是A.p q ∧B.p q ⌝∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ∧⌝7.R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2x f x =，则(2012)f = A. 2- B. 2 C. 12-D. 128.函数2lg ()=xf x x的大致图像为9.椭圆2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为3，若直线kx y =与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为A.1±B.3±D. 10.设6(x 的展开式中3x 的系数为A ,二项式系数为B ,则:A B = A.4 B. 4- C.62 D.62-11.如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅ 的最大值为 A.3 B. 6 D.912.函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈ 且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是 A.[]0,1 B. [)+∞1， C.(],0-∞ D.(][),01,-∞+∞第Ⅱ卷（ 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客C 第11题图A的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1:2:3，则购鞋尺寸在[)39.5,43.5内的顾客所占百分比为______. 14.阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为______.15.将,,a b c 三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有________种.（用数值作答）16.若集合12,n A A A 满足12n A A A A = ,则称12,n A A A 为集合A 的一种拆分.已知: ①当12123{,,}A A a a a = 时，有33种拆分； ②当1231234{,,,}A A A a a a a = 时，有47种拆分； ③当123412345{,,,}A A A A a a a a a = ，时，有515种拆分；……由以上结论，推测出一般结论：当112123{,,,}n n A A A a a a a += 有_________种拆分.三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x ωωω=⋅-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （I ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围. 18.（本小题满分12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）第14题图三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，23，14且各轮次通过与否相互独立． （I ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）对于（I ）中的ξ，设“函数()3sin()2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件D ，求事件D 发生的概率．19.（本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，412=a ，512163=⋅a a ．设22122log 2log 2n n n a a b +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）若对任意的*∈N n ，不等式n n n T )1(2--<λ恒成立，求实数λ的取值范围．20.（本小题满分12分）如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120 ，AD =3，AP =5，PC=（Ⅰ）若F 为BP 的中点，求证：EF ∥平面PDC ； （Ⅱ）若13BF BP =,求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知函数21()ln 12a f x a x x +=++． （Ⅰ）当21-=a 时，求)(x f 在区间],1[e e上的最值；（Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅲ）当10a -<<时，有()1ln()2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围． 22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点()0,F p （0p >）， 直线l :y p =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与x 过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥ 12l l Q = . (Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；F DCB APE（Ⅱ）在直线l 上任取一点M 做曲线C 的两条切线，设切点为A 、B ，求证：直线AB 恒过一定点； (Ⅲ)对（Ⅱ）求证：当直线,,MA MF MB 的斜率存在时，直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.理科数学参考答案一、选择题C B BD D, B A D C A, D D二、填空题13. 55% 14. 0 15. 12 16. 1(21)n n +- 三、解答题17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）11()sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x πωωωω=+==+，-------------------------------------------3分由题意知，最小正周期242T ππ=⨯=，222T πππωω===，所以2ω=， ∴()sin(4)3f x x π=+-----------------------------------------6分（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移个8π个单位后，得到sin(4)6y x π=-的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6y x π=-的图象.()sin(2).6g x x π=-所以 -------------------------9分令26x t π-=，∵02x π≤≤,∴566t ππ-≤≤()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知1122k -≤-<或1k -= ∴1122k -<≤或1k =-. -------------------12分18．（本小题满分12分）解：（I ）ξ可能取值为1，2，3． -------------------------------2分 记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，31(1)()1,44321(2)()()()(1),434P P A P P AB P A P B ξξ===-=====⨯-=321(3)()()().432P P AB P A P B ξ====⨯= --------------------------5分ξ的分布列为：ξ的数学期望123.4424E ξ=⨯+⨯+⨯= -------------------------- 7分（Ⅱ）当1ξ=时，1()3sin =3sin()222x f x x πππ+=+()f x 为偶函数； 当2ξ=时，2()3sin 3sin()22x f x x πππ+==+()f x 为奇函数； 当3ξ=时，33()3sin 3sin()222x f x x πππ+==+()f x 为偶函数； ∴事件D 发生的概率是34. -----------------------------------12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设}{n a 的公比为q ，由5121161552263==⋅=q q a a a 得21=q ， ∴n n n qa a )21(22=⋅=-． ---------------------------------- 2分 22211211()2122()2log 2log 2=log 2log 21111()(21)(21)22121n n nn n a a b n n n n -++=⋅⋅==--+-+∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n 111)22n 121n n =-=++（． -------------------------------------5分（Ⅱ）①当n 为偶数时，由2-<n T n λ恒成立得，322)12)(2(--=+-<nn n n n λ恒成立，即min )322(--<n n λ， ----------------------------------6分 而322--n n 随n 的增大而增大，∴2=n 时0)322(min =--nn ，∴0<λ； ----------------------------------8分 ②当n 为奇数时，由2+<n T n λ恒成立得，522)12)(2(++=++<nn n n n λ恒成立，即min )522(++<nn λ， -----------------------------------9分 而95222522=+⋅≥++nn n n ，当且仅当122=⇒=n n n 等号成立，∴9<λ． ---------------------------------------11分综上，实数λ的取值范围0∞（-，）. ----------------------------------------12分 20.（本小题满分12分）解（Ⅰ）取PC 的中点为O ，连FO ,DO ， ∵F ,O 分别为BP ，PC 的中点， ∴FO ∥BC ，且12FO BC =, 又ABCD 为平行四边形,ED ∥BC ，且12ED BC =, ∴FO ∥ED ，且FO ED =∴四边形EFOD 是平行四边形 ---------------------------------------------2分即EF ∥DO 又EF ⊄平面PDC∴EF ∥平面PDC ． --------------------------------------------- 4分 （Ⅱ）以DC 为x 轴，过D 点做DC 的垂线为y 轴，DA 为z 轴建立空间直角坐标系， 则有D (0 ,0 , 0)，C （2，0，0）,B （2，0，3），P（-，A （0，0，3） ------------------------------6分设(,,)F x y z，14(2,,3)(1)33BF x y z BP =--==--∴2(2),3F则2(1)3AF =- -----------------------------8分 设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =P则1100n CB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3040z x =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =得1(2n = -----------------10分2cos ,AF n AF n AF n+⋅<>====⋅ ∴AF 与平面PBC. -------------------------12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）当21-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ， ∴xx x x x f 21221)(2-=+-='． ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ． ---------------------------2分 ∴)(x f 在区间],1[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f ef f 取到，而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==，∴45)1()(,421)()(min 2max==+==f x f e e f x f ． ---------------------------4分（Ⅱ）2(1)()(0,)a x af x x x++'=∈+∞，． ①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；-------------5分 ②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； ----------------6分③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a a x a ax 或1+--<a ax （舍去） ∴)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a上单调递减； --------------------8分 综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a上单调递减． 当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； -----------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当01<<-a 时，min ()f x f =即原不等式等价于1ln()2af a >+- ---------------------------10分即111ln()212a a aa a a +-⋅+>+-+ 整理得ln(1)1a +>- ∴11a e>-， ----------------------------11分 又∵01<<-a ，所以a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ---------------------------12分 22. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ---------------------------------------2分 ∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)x py p =>． -----------------------------------4分 （Ⅱ）设(,)M m p -，两切点为11(,)A x y ，22(,)B x y 由24x py =得214y x p =，求导得12y x p'=． ∴两条切线方程为1111()2y y x x x p-=- ① 2221()2y y x x x p-=-② -------------------6分对于方程①，代入点(,)M m p -得，1111()2p y x m x p --=-，又21114y x p= ∴211111()42p x x m x p p--=-整理得：2211240x mx p --= 同理对方程②有2222240x mx p --=即12,x x 为方程22240x mx p --=的两根.∴212122,4x x m x x p +==- ③ -----------------------8分设直线AB 的斜率为k ，2221211221211()4()4y y x x k x x x x p x x p--===+--所以直线AB 的方程为211211()()44x y x x x x p p-=+-，展开得：12121()44x x y x x x p p =+-，代入③得：2my x p p=+ ∴直线恒过定点(0,)p . -------------------------------------10分 (Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设(,)M m p -， 11(,)A x y ，22(,)B x y且有212122,4x x m x x p +==-， ∴1212,MA MB y p y pk k x m x m++==-- ----------------------------11分 ∴11MA MBk k +=1212122222221212124()4()4444x m x m x m x m p x m p x m x x y p y p x p x p p p p p------=+=+=+++++++ =1212212221122121212124()4()4()4()44()4p x m p x m p x m x p x m x pm pm mx x x x x x x x x x x x p p-----+====-------------------------------13分 又∵12MFm mk p p p==---，所以112MA MB MF k k k +=即直线,,NA NM NB 的斜率倒数成等差数列. ----------------------------14分。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
高级中学2017届高三仿真模拟考试（二）数学（理）试题+Word版含答案
⾼级中学2017届⾼三仿真模拟考试（⼆）数学（理）试题+Word版含答案浠⽔实验⾼中2017年⾼考仿真模拟考试（⼆）数学（理科）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 若复数z 满⾜232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 2. 已知集合A ＝{x |x 2－x ＞0}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则( )A 、A ∩B ＝? B 、A ∪B ＝RC 、B ?AD 、A ?B 3.下列说法正确的是（） A 、a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B 、“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C 、命题“x R ?∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ?∈，2230x x ++>” D、命题:",sin cos p x R x x ?∈+≤，则p ?是真命题 4. 如图是⼀个空间⼏何体的三视图，则该⼏何体的表⾯三⾓形中为直⾓三⾓形的个数为（）A ．2B ． 3 C. 4 D ．5 5. 在区间0,2π??上任选两个数x 和y ，则sin y x <的概率为( ) A. 221π-B.22π C. 241π-D.24π6. 将函数cos 26y x π??=+图象上的点,4P t π??向右平移 ()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则( ) A.12t =-，m 的最⼩值为6πB. t =，m 的最⼩值为12πC. 12t =-，m 的最⼩值为12πD. t =m的最⼩值为6π7. 已知正项⾮常数等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且B第10题图13711,,37S S S 成等⽐数列，则2017201420172014a a a a -=+ （）A.20142017 B. 20174029 C. 34029 D. 340318. ⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法可以设计如图所⽰的程序框图，若输⼊的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是( ) A 、0.6 B 、0.1 C 、0.01D 、0.059. 甲、⼄、丙、丁、戊五位同学站成⼀排照相留念，则在甲⼄相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（） A 、110 B 、23 C 、13 D 、1410. 如图，扇形AOB 中，1,90OA AOB =∠= ，M 是OB中点，P 是弧AB 上的动点，N 是线段OA 上的动点，则PM PN ?的最⼩值为 ( ) A ．0BCD ．111. 已知三棱锥P ABC -中，,,3PA ABC BAC π⊥∠=平⾯且2,1,AC AB PA ==3BC =，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( )12.已知函数())f x x R =∈，若关于x 的⽅程211()()1022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A．(2,2)e + B．(1,1)e + C.1)2e + D ．(2,2)2e+⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+= 相切，则实数b = ． 14. 24(2)(1)x y -+的展开式中，满⾜3m n +=的mnx y 的系数之和为．|b －a |＜m ？x频率图415. 已知正项数列{}n a 满⾜122n n n a a a ++=+，且2211n n S a ++=，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，若正实数k 使得不等式1(6)n n a n k++≥恒成⽴，则正实数k 的最⼤值为． 16. 斜率为k 的直线l 经过抛物线2:8C y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两个不同的点，与y 轴交于点P ，若,PA AF PB BF λµ==,则λµ+= ．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本⼩题满分12分）已知△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab ．（Ⅰ）若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；（Ⅱ）若λ＝4，AB 边上的⾼为3c6，求C ．18、（本⼩题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平⾯ABC ，∠ACB ＝90 ，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别为AB ，A 1C 的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平⾯BB 1C 1C ；（Ⅱ）若平⾯CMN ⊥平⾯B 1MN ，求直线AB与平⾯B 1MN 所成⾓的正弦值．19. （本⼩题满分12分）某地政府拟在该地⼀⽔库上建造⼀座⽔电站，⽤泄流⽔AC 11CBMNA 1量发电．图4是根据该⽔库历年的⽇泄流量的⽔⽂资料画成的⽇泄流量X （单位：万⽴⽅⽶）的频率分布直⽅图（不完整），已知)120,0[ X ，历年中⽇泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，⼀年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直⽅图补充完整；（Ⅱ）该⽔电站希望安装的发电机尽可能运⾏，但每30万⽴⽅⽶的⽇泄流量才够运⾏⼀台发电机，如60≤X <90时才够运⾏两台发电机，若运⾏⼀台发电机，每天可获利润为4000元，若不运⾏，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以⽔电站⽇利润的期望值为决策依据，问：为使⽔电站⽇利润的期望值最⼤，该⽔电站应安装多少台发电机？20、（本⼩题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离⼼率为22，点Q (b ， ab)在椭圆上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；（Ⅱ）已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平⾏四边形，判断四边形OPMN 的⾯积S 是否为定值，如果是定值并求出该定值，如果不是，说明理由.21、（本⼩题满分12分）已知函数f (x )＝sin x ＋tan x －2x ．（Ⅰ）讨论函数f (x )在(－π 2，π2)上的单调性；（Ⅱ）若x ∈(0，π 2)，f (x )＞mx 2，求m 的取值范围．请考⽣在第（22），（23）两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时⽤2B 铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的题号涂⿊． 22、（本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程已知直线l 的参数⽅程为??x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ（t 为参数，0≤φ＜），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程为ρ＝1，l 与C 交于不同的两点P 1，P 2．（Ⅰ）求φ的取值范围；（Ⅱ）以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数⽅程．23、（本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y ．（Ⅰ）求1x＋1y的最⼩值；（Ⅱ）是否存在x ，y ，满⾜(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．参考答案1—12 BBACD CDBDD AA ；13、2和12； 14、4-； 15、20； 16、1- （17）解：（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得： 4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±24． …4分因为0＜A ＜π 6，所以sin A ＜ 12，取sin A ＝6－24…6分（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312c 2，得：1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从⽽有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (C ＋ 6)＝1⼜ 6＜C ＋ 6＜7 6，所以，C ＝ 3．…12分（18）.解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，⼜∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，⼜BC 1 平⾯BB 1C 1C ，MN 平⾯BB 1C 1C ，故MN ∥平⾯BB 1C 1C ．…4分（Ⅱ）由A 1A ⊥平⾯ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1．以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设CC 1＝2λ（λ＞0），则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)．取平⾯CMN 的⼀个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平⾯B 1MN 的⼀个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分∵平⾯CMN ⊥平⾯B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0 解得λ＝22，得n ＝(22，1，322)，⼜AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平⾯B 1MN 所成⾓为θ，则sin θ＝|cos n ，AB → |＝|n ·ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.msw.w.w.k.s.5.u.c.o.mup5(→)||n ||AB →|＝66．x所以，直线AB 与平⾯B 1MN 所成⾓的正弦值是66． …12分（19）. 解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=---------------1分 31==73070?频率组距，----------2分，设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=?+++a ，解得2101=a ，--------------3分补充频率分布直⽅图如右；----------------------------6分（Ⅱ）记⽔电站⽇利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运⾏发电机的概率为71，恰好运⾏⼀台发电机的概率为73，恰好运⾏⼆台发电机的概率为72，恰好运⾏三台发电机的概率为71，①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=?+?-；---------------8分②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-?+?+?=；------------------10分③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=?+?+?+?-；∵345003350023500777>> ∴要使⽔电站⽇利润的期望值最⼤，该⽔电站应安装3台发电机．---------12分（20）解：（Ⅰ）由e 2＝c 2 a 2＝ 1 2，得 b 2a 2＝ 1 2，将Q 代⼊椭圆C 的⽅程可得b 2＝4，所以a 2＝8，故椭圆C 的⽅程为x 28＋y 24＝1．…4分（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN ⽅程为：x ＝2或x ＝－2，从⽽有|PN |＝23，所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 12×23×22＝26．…5分当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN ⽅程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将PN 的⽅程代⼊C 整理得：(1＋2k 2 )x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，…6分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →得：M (－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k2)，将M 点坐标代⼊椭圆C ⽅程得：m 2＝1＋2k 2． …8分点O 到直线PN 的距离d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26．综上，平⾏四边形OPMN 的⾯积S 为定值26．…12分（21）解：（Ⅰ）f (x )＝cos x ＋1cos 2x－2…2分因为x ∈(－π 2，π2)，所以cos x ∈(0，1]，于是 f (x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1cos 2x－2≥0（等号当且仅当x ＝0时成⽴）．故函数f (x )在(－π 2，π2)上单调递增． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(0，π2)上单调递增，⼜f (0)＝0，所以f (x )＞0，（ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2成⽴． …5分（ⅱ）当m ＞0时，令p (x )＝sin x －x ，则p (x )＝cos x －1，当x ∈(0，π2)时，p (x )＜0，p (x )单调递减，⼜p (0)＝0，所以p (x )＜0，故x ∈(0，π2)时，sin x ＜x ．（*）…7分由（*）式可得f (x )－mx 2＝sin x ＋tan x －2x －mx 2＜tan x －x －mx 2，令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g (x )＝tan 2x －2mx由（*）式可得g (x )＜x 2cos 2x －2mx ＝xcos 2x (x －2m cos 2x )，…9分令h (x )＝x －2m cos 2x ，得h (x )在(0，π2)上单调递增，⼜h (0)＜0，h (π 2)＞0，所以存在t ∈(0，π2)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0，所以x ∈(0，t )时，g (x )＜0，g (x )单调递减，⼜g (0)＝0，所以g (x )＜0，即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2⽭盾．综上，满⾜条件的m 的取值范围是(－∞，0]．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 的直⾓坐标⽅程为x 2＋y 2＝1，将??x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代⼊x 2＋y 2＝1得t 2－4t sin φ＋3＝0（*）,由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞32，⼜0≤φ＜，所以，φ的取值范围是( 3，23)；…5分（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 22＝2sin φ，代⼊??x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ中，整理得P 1P 2的中点的轨迹⽅程为x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ(φ为参数， 3＜φ＜2 3)…10分（23）解：（Ⅰ） 1x ＋ 1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成⽴．所以1x＋1y的最⼩值为2． …5分（Ⅱ）不存在．因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )，⼜x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．从⽽有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1) 2]2＝4，因此不存在x ，y ，满⾜(x ＋1)(y ＋1)＝5．…10分。
浙江省宁波市2017年高考模拟考试数学试卷
宁波市2017年高考模拟考试高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 P n (k )=k n C p k(1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 212()13V h S S =球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{|06}U AB x Z x ==∈≤≤，(){1,3,5}U AC B =，则B =（▲）A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{0,2,4,6}D ．{|06}x Z x ∈≤≤ 2．把复数z 的共轭复数记作z ，若(1+)1i z i =-，i 为虚数单位，则z =（▲）A ．iB ．i -C ．1i -D ．1i + 3．()612x +展开式中含2x 项的系数为（▲）A ．15B ．30C ．60D ．120 4．随机变量X 的取值为0,1,2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（▲） A ．15 B ．25CD5．已知平面,αβ和直线12,l l ，且2l αβ=，则“12//l l ”是“1//l α,且1//l β”的（▲）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设2,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，．则函数(())y f f x =的零点之和为（▲）A ．0B ．1C ．2D ．47．从1,2,3,4,5是奇数的三位数个数为（▲）A ．12B ．18C ．24D ．308．如图，12,F F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 的离心率之和为（▲）A． B ．4 C． D． 9．已知函数()=sin cos 2f x x x ，则下列关于函数()f x 的结论中，错误．．的是（▲） A ．最大值为1 B ．图象关于直线2x π=-对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 10．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆，CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到 1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能．．．成立的是（▲） A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行 B ．//CD 平面1A BE C ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直 D ．1BC A B ⊥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。