张新戈015中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》_练习_2
中考数学专题训练一元二次方程系数与根的关系(含解析)
2019 中考数学专题训练-一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.、是一元二次方的两根，的值是（）A.-2B. 2C. 3D. 12.一元二次方程x2+3x﹣a=0 的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B. 2C. 4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0 的两个解分别为m，n，则m+n-mn 的值是（）A.-7B.-3C.7D. 34.若关于x 一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0 的两根x1 ， x2 满足（x1﹣1）（x2 ﹣1）=﹣1，则m 的值为（）A. 3B.-3C. 2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0 两根互为倒数有（）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个6.设x1 ， x2 是一元二次方程-2x-3=0 的两根，则=（）A. 6第 1 页B.8C.10D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0 的两根之积是( )A.－1B.－2C. 1D. 28.方程x2+2x-4=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1+x2 的值为（）A. 2B.－2C.D. －9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0 的两根，则矩形的对角线之和为（）A. 5B.7C.8D.1010.如果 a，b 是一元二次方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个根，那么 a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.816 C. -16D.11.如是一元二次方的两个实数根，那的值是（）A.B.C.D.第 2 页二、填空题12.设x1、x2 是方程x2-4x+3=0 的两根，则x1+x2= .13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1*x2= ．14.若x1、x2 是方程2x2﹣3x﹣4=0 的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为．15.若a、b 是一元二次方程x2+2x﹣1=0 的两个根，则的值是．16.写出一个以2 和3 为两根且二项系数为1 的一元二次方程，你写的是．17.若方程x2﹣3x+1=0 的两根分别为x1 和x2 ，则代数式x1+x2﹣x1x2= ．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程 x2﹣6x+4=0 的两根分别是 a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2 的值．四、解答题21.已知关于 x 的方程 x2+x+a﹣1=0 有一个根是 1，求 a 的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ， x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系，．请根据该材料解题：已知x1 ， x2 是方程x2+6x+3=0 的两实数根，+和x12x2+x1x22 的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方的两根分别、，∴==3．故选 C．2.【答案】A【解析】【解答】解：设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣a=0 的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出 m+n 与mn 的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0 的两个解分别为 m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选 D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选 A．【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1 得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1 且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为 1 且△≥0，可得出答案。
一元二次方程的根与系数的关系(八大题型提分练)(解析版)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练）题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．（2024·天津红桥·三模）若一元二次方程22320x x +-=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x +的值为（）A ．32-B ．32C ．1-D ．12．（2024·天津宝坻·二模）若12x x ，是方程2320x x --=的两个根，则（）A ．122x x =-B ．122x x =C ．123x x +=-D ．1223x x +=3．（2024·甘肃兰州·二模）若1x ，2x 是方程2650x x -+=两个根，则（）A ．126x x +=-B ．126x x +=C ．1256x x ⋅=-D ．125x x ⋅=-【答案】B【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住1x ，2x 是一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的两根题型二、利用根与系数的关系求代数式的值4．（2024·山东菏泽·一模）已知m ，n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，则代数式²3m m n ++的值等于()A ．2026B ．2025C ．2024D ．2023【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为()()22mm m n +++是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到2220262m m m n +=+=-，，再把原式变形为()()22m m m n +++，由此代值计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，∴22202602m m m n +-=+=-,，∴222026m m +=，∴²3m m n++()()2222m m m n =+++()()22m m m n =+++()20262=+-2024=，故选C ．5．（2024·山东济宁·一模）设α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a αβ++=.【答案】11【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，得出3αβ+=-，23170αα+-=，再把252a αβ++变形为()232αααβ+++，即可求出答案．【详解】解：∵α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，∴3αβ+=-，23170αα+-=，∴2317αα+=，∴()()225232172311ααβαααβ++=+++=+⨯-=，故答案为：11．6．（2024·江苏盐城·二模）已知：α，β是方程2240x x +-=有两个实数根．求出下列代数式的值(1)()1αβα++；(2)242ααβ++．【答案】(1)6-(2)0【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．（1）根据根与系数的关系可得2αβ+=-，4αβ=-，再将所求代数式变形，最后代入求解即可；（2）根据题意可得2240αα+-=，2αβ+=-，推出224αα+=，再将所求式子变形，最后代入求解即可．【详解】（1）解： α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2αβ+=-，4αβ=-，∴(1)246αβαααββ++=++=--=-；（2） α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2240αα+-=，∴224αα+=，∴242ααβ++2(2)(22)αααβ=+++()()222αααβ=+++()422=+⨯-0=题型三、已知代数式的值求参数7．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k 的值为（）A ．5-B ．7C ．1-D ．18．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知1x 、2x 是关于x 的方程2230x x k -+-=的两实数根，且2211221x x x x x x +=+-，则k 的值为．9．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程()22210x m x m +-+=(1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，且121210x x x x ++-=求m 的值．10．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程2102x x m -+=．(1)若方程有实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值．∴0m =．题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）250x x m --=的一个根，则该方程的另一根是（）A ．1-B ．1C ．2D ．312．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x 的方程230x x n --=有一个根是1-，则另一个根为．【答案】4【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为a ，由两根之和等于3，进行求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为a ，则：()13a +-=，∴4a =；即：另一个根为4；故答案为：4．13．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k k -+++=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)已知方程一个根为2，求k 的值．【答案】(1)见解析(2)1k =，或2k =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a ，得到k 的一元二次方程，解方程即得．【详解】（1）解：∵()()2222Δ21414414410k k k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯+=++--=>⎣⎦，故方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的另一根为a ，则22212a k a k k+=+⎧⎨=+⎩，∴2320k k -+=，∴()()120k k --=，∴10k -=，或20k -=，解得，1k =，或2k =．题型五、根与系数的关系与判别式综合问题14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x 的一元二次方程()²00ax bx c ac ++=≠，有以下命题：①若0a b c -+=，则²40b ac -≥②若方程的两根为3-和1，则30a c +=③若上述方程有两个相等的实数根，则²1ax bx c ++=-必有实数根；④若m 是该方程的一个根，则1m一定是²0cx bx a ++=的一个根．其中真命题的个数（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，把131x x x =-==，，代入可判定命题①②；根据根的判别式240b ac ∆=-≥可判15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数x 、y ，可按如下规则进行运算：计算(1)(1)1x y ---的结果，得到的数记为1z ，称为第一次操作．再从x 、y 、1z 中任选两个数，操作一次得到的数记为2z ；再从x 、y 、1z 、2z 中任选两个数，操作一次得到的数记为3z ，依次进行下去．以下结论正确的个数为（）①若x 、y 为方程240m m +-=的两根，则1 2z =-；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，在操作过程中，得到的n z 一定为偶数；③若4,2x y =-=，要使得2024n z >成立，则n 至少为4．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键．①先化简(1)(1)1x y ---，根据根与系数的关系得1x y +=-，4xy =-，即可求解；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，xy 为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算1z ，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解．【详解】解：①x 、y 为方程240m m +-=的两根，∴1x y +=-，4xy =-，∴()()(1)(1)111413x y xy x y xy x y ---=--+-=-+=---=-故说法错误；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，∴xy 为偶数或奇数，∴(1)(1)1x y ---的结果可能为奇数或偶数，∴得到的n z 一定为偶数说法错误；③若4,2x y =-=，则1826z =-+=-，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，则()()()2464634z =-⨯----=()()3346346232z =⨯---=-，()4232342323467690z =-⨯--+=-，16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于x 的一元二次方程22560x x p -+-=．(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两实数根为12,x x ，且满足124x x =，试求出p 的值．17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式2x ，当0x =时，代数式等于0；当1x =时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值A=．与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则0 (1)代数式22x x-的不变值是________，A=_______．(2)已知代数式2x bx b-+，A=，求b的值；①若0②若12A≤≤，b为整数，求所有整数b的和．题型六、根与系数的关系与三角形问题18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x 的方程()2330x k x k -++=．(1)求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；(2)若等腰三角形的三边长分别为a b c ，，，其中1a =，并且b c ，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当b c =时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当1a c ==或1a b ==时，把1x =代入方程求出k 的值，进而求出周长即可．【详解】（1）证明：∵()()222Δ34136930k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯=-+=-≥⎣⎦，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当b c =时，3k =，方程为2690x x -+=，解得：123x x ==，此时三边长为133，，，周长为1337++=；当1a b ==或1a c ==时，把1x =代入方程得：()1330k k -++=，解得：1k =，此时方程为：2430x x -+=，解得：1231x x ==，，此时三边长为113，，不能组成三角形，综上所述，ABC 的周长为7．19．（2023·四川绵阳·一模）已知关于x 的方程()()2340x x p p ---+=；(1)求证：方程总有实数根；(2)若方程的两根12,x x 为直角三角形的两边长，且25x =，求P 的值及该直角三角形的周长．20．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根．(1)若12(1)(1)28x x --=，求m 的值；(2)已知等腰ABC 的一边长为7，若1x ，2x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【详解】（1）解：根据题意得判别式()()2241450m m =+-+≥，解得2m ≥，122(1)x x m +=+，2125=+x x m ，121)18)(2(x x --= ，即1212()128x x x x -++=，252(1)128m m ∴+-++=，整理得22240m m --=，解得16m =，24m =-，而2m ≥，m ∴的值为6；（2）解：当腰长为7时，则7x =是一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的一个解，把7x =代入方程得24914(1)50m m -+++=，整理得214400m m -+=，解得110m =，24m =，当10m =时，122(1)22x x m +=+=，解得215x =，而7715+<，故舍去；当4m =时，122(1)10x x m +=+=，解得23x =，则三角形周长为37717++=；当7为等腰三角形的底边时，则12x x =，所以2m =，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，则337+<，故舍去，所以这个三角形的周长为17．题型七、根与系数的关系与四边形问题21．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形ABCD 的两邻边的长m ，n 分别是关于x 的一元二次方程21024k x kx -+-=的两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k 为何值时，四边形ABCD 是菱形；(3)当k 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线的长相等，且都等于102，求出这时四边形ABCD 的周长和面积．题型八、新定义及材料探究题22．（2023·江西新余·一模）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程2430x x -+=的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．(1)方程2320x x -+=______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；(2)若关于x 的方程240x x c -+=是“三倍根方程”，求c ；(3)若()20x m n x mn -++=是关于x 的“三倍根方程”，求代数式22mnm n +的值．23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，(1)方程2680x x -+=“2倍根方程”（填“是”或“不是”）；(2)若一元二次方程290x x c -+=是“2倍根方程”，求出c 的值．(3)若()()()300x ax b a --=≠是“2倍根方程”，求代数式32a ba b-+的值．1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x 的方程2230x x k -+=的两根分别为1x 和2x ，若1240x x +=，则k 的值为（）A ．23-B ．2-C ．23D ．22．（2024·湖北黄石·二模）设m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（）A ．2020B ．2022C ．2024D ．2026【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得2220240m m +-=，进而得222024m m +=，由一元二次方程根和系数的关系可得2m n +=-，再把23m m n ++转化为()22m m m n +++，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，∴2220240m m +-=，2m n +=-，∴222024m m +=，∴()2232202422022m m n m m m n ++=+++=-=，故选：B ．3．（2024·江苏南京·二模）若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两根之和为p ，两根之积为q ，则关于y的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根之积是（）A ．1p q ++B ．1p q -+C ．1q p -+D ．1q p --【答案】A【分析】本题考查根与系数的关系，设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，得到1212,x x p x x q +==，换元法，得到()()2110a y b y c -+-+=的两个根为121,1x x ++，再进行求解即可．【详解】解：设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，则：1212,x x p x x q +==，∴关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根为11221,1y x y x =+=+，∴()()()121212121111y y x x x x x x q p =++=+++=++；故选A ．4．（2024·江苏南京·二模）关于x 的方程22x kx +=（k 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根5．（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程2120x x m -+=的两个实数根，且其面积为20，则该菱形的边长为（）A ．B ．C ．4D ．66．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，则12x x -=．【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出121x x m +==，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．【详解】解： 1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，121x x m ∴+==，7．（2024·四川内江·二模）已知实数a ，b 满足251a a -=-，215b b +=，则b aa b+=．8．（2024·山东济宁·三模）若关于x 的方程2220(x x m m m +--=为正整数）的两根分别记为m α，m β，如：当1m =时，方程的两根记为1α，1β，则112220232023111111αβαβαβ++++⋯++=．9．（2024·甘肃天水·三模）已知关于x的方程2220x mx m m+++=有两个不相等的实数根1x，2x．(1)求m的取值范围；(2)若22121240x x x x m++=，求m的值．解得：0m =或1或2m =-，0m < ，2m ∴=-．10．（2024·四川南充·三模）已知关于x 的一元二次方程()221230x k x k -+--=有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围，(2)当2k =时，设方程的两个实数根分别为12,x x ，求32221121243x x x x x -+++的值．913=++13=．11．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：设20x px q ++=的两个根为1x 和2x ，那么22121212()()()x px q x x x x x x x x x x ++=--=-++比较系数，可得12x x p +=-，12x x q =．类比推广，回答问题：设320x px qx r +++=的三个根为1x ，2x ，3x ，那么323123()()()x px qx r x x x x x x x +++=---=+___________（）2x +（___________）x +（___________）．比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：123x x x ++=___________，___________q =，123x x x =___________．【答案】123x x x ---，122313x x x x x x ++，r -，p -，122313x x x x x x ++，r【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，最后得到根与系数关系123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =即可；【详解】解：根据材料提示得，32123()()()x px qx r x x x x x x +++=---，()212123()x x x x x x x x ⎡⎤=-++-⎣⎦，()()32231212312123x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=--++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，32x px qx r +++=，∴123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =-；故答案为：123x x x ---，122313x x x x x x ++，123x x x ，p -，122313x x x x x x ++，-r ．12．（2024·四川南充·二模）已知关于x 的一元二次方程()232100x m x m --+-=．(1)求证：此一元二次方程总有实数根；(2)已知ABC 两边长a ，b 分别为该方程的两个实数根，且第三边长3c =，若ABC 的周长为偶数，求m 的值．13．（2024·四川南充·二模）关于x 的一元二次方程()222120x m x m -+++=有实数根．(1)求m 的取值范围；。
《中考大一轮数学复习》课件 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
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1. 一元二次方程 x －2x－1＝0 的根的情况为( B ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2 2. (2014·甘肃省兰州)一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的 实数根，下列选项正确的是( B ) 2 2 A. b －4ac＝0 B. b －4ac>0 C. b2－4ac<0 D. b2－4ac≥0 3. (2014·广西玉林防城港)x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－mx＋m－2＝0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 1 1 ＋ ＝0 成立？则正确的结论是( x1 x 2
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热点一 一元二次方程根的判别式 热点搜索 运用一元二次方程根的判别式b2－4ac时必须把方程先化为一般形式 再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．如果一元二次方程有实根，那 么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b2 － 4ac≥0，不要丢掉等号．判别式有以下应用：①不解方程，判定一元二次方程根 的情况；②根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；③应 用判别式进行有关的证明．
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b2－4ac>0⇔两个不等实根
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知已知彼
基础知识回顾 1. 一元二次方程根的判别式 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为________． (1)b2 － 4ac>0⇔ 一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 有两个 ________ 实数 根，即x1，2＝________． (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________相等 的实数根，即x1＝x2＝____________． (3)b2－4ac<0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)________实数根． 温馨提示 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次 项系数不为零这个限制条件． 2. 一元二次方程根与系数的关系 若关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，那么 x1＋x2＝________，x1·x2＝________． 温馨提示 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b2－4ac≥0. ②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与 系数的关系． 4
中考真题专题汇编-一元二次方程根的判别式与根与系数的关系(无答案)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识回顾1、根的判别式⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=∆无实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根00042ac b2、根与系数的关系一元二次方程()002≠=++a c bx axacx x a b x x =-=+2121,练习题一、选择题1．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．-42．（2019春•大兴区期末）方程x 2-x+1=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根3．（2019春•延庆区期末）关于x 的方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．49>m B ．49-<m C ．49=m D ．49<m4．（2019春•滨海新区期末）关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） A ．049≠<k k 且 B ．049≠<k k 且 C ．49≤k D ．049≠≤k k 且5．（2019•亭湖区校级模拟）已知x 1，x 2是x 2-4x+1=0的两个根，则x 1+x 2是（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．46．（2019•崇川区校级二模）已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，下列结论正确的是（ ） A ．x 1+x 2=23-B ．x 1•x 2=1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数值是（ ） A ．31-B ．31C ．-3D ．38．（2019春•舒城县期末）已知关于x 的方程x 2-kx+6=0有两个实数根，则k 的值不可能是（ ）2D．4A．5 B．-8 C．69．（2019春•平潭县期末）对于方程：x（x+1）=0，下列判断正确的是（）A．只有一个实数根B．有两个不同的实数根C．有两个相同的实数根D．没有实数根10．（2019春•惠山区期末）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x-2=0 C．x2+1=0 D．x2-2x-1=011．（2019春•余杭区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx=2（a，b是常数，且a≠0）（）A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根B．若a＞0，则方程可能没有实数根C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根D．若a＜0，则方程没有实数根12．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或3613．（2019•滨州模拟）关于x的方程-2x2+4x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12+x22是（）A．2 B．-2 C．3 D．514．（2019•玉林）若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1-x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．-215．（2019•天门）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．-4则m等于（）A．-2 B．-3 C．2 D．317．（2019•竞秀区二模）m，b，n为常数，且（m-n）2＞m2+n2，关于x的方程mx2+bx+n=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有一根为0C．无实数根D．有两个不相等的实数根18．（2019•荆州）若一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则关于x 的方程x 2+kx+b=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定19．（2019•广州）关于x 的一元二次方程x 2-（k-1）x-k+2=0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1-x 2+2）（x 1-x 2-2）+2x 1x 2=-3，则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．220．（2019•鄂州）关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（ ） A ．47B ．57 C ．67 D ．021．（2019•淄博）若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-3x+2=0B ．x 2+3x-2=0C ．x 2+3x+2=0D ．x 2-3x-2=022．方程2x 2+6x-1=0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2等于（ ）A ．-6B ．6C ．-3D ．323．已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．201924．（2019•潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m=-2 B．m=3 C．m=3或m=-2 D．m=-3或m=2二、填空题25．（2019春•镇原县期中）若α、β是一元二次方程x2+2x-3=0的两个不相等的根，则α2-2β的值是．26．（2019春•北京期末）若关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根，则代数式2m2-16m+5的值为．28．（2019•建邺区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则x1+x2-x1x2= ．31．（2019•包头二模）若关于x的方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0有两个不相等的实根，32．（2019•宿迁模拟）设α，β是方程x2-x-2019=0的两个实数根，则α2+β的值为．33．（2019•铅山县二模）已知方程3x2-x-1=0的两根分别是x1和x2，则3x12-2x1-x2的值= ．34．（2019•邵阳）关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．35．（2019•云南模拟）关于x的一元二次方程ax2+4x-2=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为．36．（2019•咸安区模拟）设x 1，x 2（x 1＞x 2）是一元二次方程x 2-mx-6=0的两个根，且x 1+x 2=1，则x1-x 2= ．38．（2019•眉山）设a 、b 是方程x 2+x-2019=0的两个实数根，则（a-1）（b-1）的值为 ．40．（2019•荆门）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k+1）x+2k 2+1=0的两个不相等实数根，且满足（x 1-1）（x 2-1）=8k 2，则k 的值为 ．。
根的判别式及根与系数关系
根的判别式及根与系数关系一、选择题1.若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则ba =（ ） A.-5 B.-4 C.1 D. 32.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==3.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠4.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20095．已知关于x 的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）（A ）022=--x x （B ）022=-+x x （C ）0122=--x x （D ）0122=-+x x6.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=， 则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．257.设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 08.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x xD ．0442=+-x x9．不解方程，判断方程073122=-+x x 的两个根的符号（ ）（A ） 同号（B ）异号（C ）两个正根（D ）不能确定10．若等于，则的根是n m n n mx x n +≠=++)0(02（ ）（A ）21- （B ）1- （C ）21 （D ）1 11．一元二次方程02=++c bx ax 中，若000<<>c b a ，，，则方程有（ ）（A ）两个正根 （B ）两个负根（C ）一正一负且正根的绝对值大 （D ）一正一负，负根的绝对值大12．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根是另一个根的2倍，则a 、b 、c 之间的关系是（ ）（A ）c b 942= （B ）ac b 922= （C ）a b 922= （D ）082=-ac b二、填空题1.如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．2.关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
人教版初中数学九上 基本功训练(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
＝0，∴方程有两个相等的实数∴根方. 程有两个不相等的实数根.
（3）x2－x＝－2. 解：移项，得x2－x＋2＝0. a＝1，b＝－1，c＝2. Δ＝b2－4ac＝（－1）2－4×1×2 ＝－7＜0，∴方程没有实数根.
2.已知关于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0. （1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 解：a＝2，b＝－（4k＋1），c＝2k2－1. Δ＝b2－4ac＝[－（4k＋1）]2－4×2（2k2－1）＝8k＋9.
基本功训练（二） 一元二 次方程根的判别式及根与系
数的关系
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2－10x＋25＝0；
（2）x2＋2x－5＝0；
解：a＝1，b＝－10，c＝25. 解：a＝1，b＝2，c＝－5.
Δ＝b2－4ac＝（－10）2－4×1×Δ＝25b2－4ac＝22－4×1×（－5）＝
（2）若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根. 解：（2）由题意，得x1＋x2＝2k＋1＝3，解得k＝1. 将k＝1代入方程，得x2－3x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝1.
5.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根. （1）求k的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ≥0， 即（－4）2－4（k＋1）≥0，解得k≤3. （2）是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由. 解：（2）不存在.理由如下： ∵x1x2＝k＋1，x1＋x2＝4，x1x2＞x1＋x2， ∴k＋1＞4，解得k＞3. 由（1）知k≤3，∴不存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立.
（2）当k取何值时，方程有两个相 等的实数根？
（3）当k取何值时，方程没 有之和与两根之积：
（1）－2x2＋3＝0；
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习(基础)(含答案)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•昆明）一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（）A．240b ac -=B．240b ac ->C．240b ac -<D．240b ac -≥3．（2015•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（）A．﹣1B．0C.1D.24．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（）A.122x x += B.123x x +=- C.122x x +=- D.无实数根5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（）．A．3B．6C．18D．24二、填空题7．（2015•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是．8．（2016•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+=．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是。
10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为．三、解答题13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．15．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．2.【答案】B；【解析】20ax bx c ++=(a≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .5.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．6.【答案】A；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k≥﹣6；【解析】当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx 2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=∙=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-= ，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴1a =，(21)b k =--，223c k k =--．∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴134k >-．(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解：令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵方程有两等根，∴△＝0，∴222c a b =+，∴△ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．。
专题四+一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2024-2025学年北师大版九年级数学+上册+
专题四一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2024-2025学年九年级上册数学北师大版考点一一元二次方程根的判别式(一)由根的判别式判断一元二次方程根的情况1.一元二次方程x2−2√3x+5=0的根的情况为 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.下列一元二次方程有实数解的是 ( )A.x²+2=0B.2x²−x+1=0C.x²−2x+2=0D.x²+3x−2=03.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是 ( )A.x²−2x=0B.4x²−4x+3=0C.x²+4x+4=0D.2x²+5x=−24.已知函数y= kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x²+x+k−1=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.不确定5.已知关于x的方程(m−1)x²+4x−3−m=0.(1)求证：方程总有实根；(2)若方程的根都为正整数，求整数m的值.(二)由一元二次方程根的情况求字母的值或取值范围1.若关于x的一元二次方程. x²+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( )A. q≤16B. q>16C. q≤4D. q≥42.若关于x的一元二次方程(k−2)x²+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )A. k≤1B. k≤1且k≠2C. k≥1且k≠2D. k≥23.若关于x的一元二次方程kx²−2kx+4=0有两个相等的实数根，则k 的值为( )A.0或4B.4或8C.0D.44.若关于x的一元二次方程mx²−2x−1=0无实数根，则一次函数y= mx+m的图象不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知关于x的一元二次方程. x²+mx−m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为6.关于x的方程x2−√mx+m−1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是7.已知关于x的一元二次方程. x²−(3k+1)x+2k²+2k=0.若等腰三角形ABC的一边长a =6cm，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则此三角形的周长为 cm.8.已知关于x的一元二次方程x²+(2a+1)x+a²=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根.9.已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程一实数根为-3，求实数m的值.考点二一元二次方程的根与系数的关系(一)利用根与系数的关系求代数式的值1.已知方程x²−5x+2=0的两个根分别为x₁，x₂，则. x₁+x₁−x₁,x₁的值为( )A.-7B.-3C.7D.32.若a，b是一元二次方程. x2−2√5x+1=0的两根，则1a +1b=¯.3.设x₁，x₂是一元二次方程x²−3x−1=0的两个实数根，则x12−4x1x2+x22的值为.4.设x₁，x₂是一元二次方程x²−3x−4=0的两个实数根，则(x₁+2)(x₁+2)的值为 .5.已知a，b是方程. x²+2x−5=0的两个实数根，则a²b−10+ab²的值为 .6.设x₁,x₂是方程x²−x−2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2−2=¯.7.已知一元二次方程x²−3x+1=0的两根为x₁,x₂,则x12−5x1−2x2的值为 .8.已知一元二次方程. x²−3x−2=0的两根分别是m，n，则m³−3m²+2n=.的值为 .9.已知a²−2a−1=0,b²+2b−1=0,且ab≠1,则ab+b+1b10.若关于x的方程. x²+2mx+m²+3m−2=0有两个实数根x₁，x₂，则x1(x2+x1)+x22的最小值为 .(二)利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x的一元二次方程. x²−2mx+m²+m−1=0有两个不相等的实数根，且x₁+x₁−x₁⋅x₁=−5,则实数m= .2.已知关于x的一元二次方程. x²−kx+4=0的两个实数根分别是. x₁,x₁,且满足x12+ x22−2x1−2x2−7=0,则k的值为 .3.若α²−2a+k=0,β²−2β+k=0,且α²−α+β=5,α≠β,则k=.4.已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程. x²−5x+a=0的两个实数根，且|x₁−x₁|=5,则a= .5.设关于x的方程x²−2x−m+1=0的两个实数根分别为α,β,若|α|+|β|=6,那么实数m的值是 .6.已知关于x的一元二次方程. x²−(2m+2)x+m²−4m+4=0有两个实数根x₁，x₂,则m 的取值范围是 ;若x₁,x₂满足x₁x₁−1=|x₁+x₁|,则m=.7.已知关于x的一元二次方程mx²+2(m+1)x+m−1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为. x₁,x₁,且x12+x22=8,求m的值.8.【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理.根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程.【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根x₁，x₂满足：x₁,x₁①x₁+x₁=−3,x₁⋅x₁=2方程: ;②x₁+x₁=A,x₁⋅x₁=B,方程：【应用) m=2+√2,n=2−√2,若( (3m²−12m+a)(4n²−16n−7)=30求a的值. 【推广】若实数a,b,c 满足( a+b+c=0,abc=2,求正数c的最小值.9.如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根.且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程x²−4x+3=0的两个根是1 和3，则这个方程就是“三倍根方程”.(1)方程x²−3x+2=0(填“是”或“不是”)“三倍根方程”；(2)若关于x的方程. x²−6x+c=0是“三倍根方程”，求c的值：的值.(3)若x²−(m+n)x+mn=0是关于x的“三倍根方程”.求代数式mnm2+n2。
中考数学专题训练一元二次方程系数与根的关系(含解析)
2019中考数学专题训练-一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A. -2B. 2C. 3D. 12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A. ﹣2B. 2C. 4D. ﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A. -7B. -3C. 7D. 34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ， x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A. 3B. -3C. 2D. -25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ， x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A. 6B. 8C. 10D. 127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是( )A. －1B. －2C. 1D. 28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ， x2 ，则x1+x2的值为（）A. 2B. －2C.D. －9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A. 5B. 7C. 8D. 1010.如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（）A. -8B. 8C. -16D. 1611.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________ .13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ， x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________ ．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是________ ．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ， x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请根据该材料解题：已知x1 ， x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴= =3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
九年级数学中考一轮复习基础训练 课题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 同步练习含答案解析
专题3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点考点考点1 运用判别式判断一元二次方程的根的情况1．（2020新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )A ．2104x x -+= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -= 2．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关考点2运用判别式求值或取值范围3．（2020怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A . 4k =B . 4k =-C . 4k =±D . 2k =±4．（2020通辽）若关于x 的方程kx 2﹣6x +9=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A . k ＜1B . k ≤1C . k ＜1且k ≠0D . k ≤1且k ≠05．关于z 的一元二次方程x 2-(k +3)x +2k +2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围．考点3 运用根与系数的关系求值6．（2020黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+ 5x -m =0的一个根是2，则另一个根是 ．7．（2020邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是12,x x ，则12x x +的值为 ．8．(2020天门) 关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为 ．9．（2020南通）若x 1，x 2是方程x 2-4x -2020=0的两个实数根，则代数式x 12-2x 1+2x 2的值等于 ．考点4根的判别式及根与系数的关系的综合运用10．（2020孝感）已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值．11．（2020鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．微专题3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点精练精练1 运用判别式判断一元二次方程的根的情况1．（2020新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( D )A ．2104x x -+= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -=2．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（A ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关陟精练2运用判别式求值或取值范围3．（2020怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ C ）A . 4k =B . 4k =-C . 4k =±D . 2k =±4．（2020通辽）若关于x 的方程kx 2﹣6x +9=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A . k ＜1B . k ≤1C . k ＜1且k ≠0D . k ≤1且k ≠0【答案】B5．关于z 的一元二次方程x 2-(k +3)x +2k +2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围．解：（1）证明：∵在方程x 2-（k +3）x +2k +2=0中，Δ=[-（k +3）]2-4×1×（2k +2）=k 2-2k +1=（k -1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2-（k +3）x +2k +2=（x -2）（x -k -1）=0，∴x 1=2，x 2=k +1．∵方程有一根小于1，∴k +1＜1，解得：k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0．精练3 运用根与系数的关系求值6．（2020黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+ 5x -m =0的一个根是2，则另一个根是 -7 ．7．（2020邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是12,x x ，则12x x +的值为 3 ．8．(2020天门) 关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为 1 ．9．（2020南通）若x 1，x 2是方程x 2-4x -2020=0的两个实数根，则代数式x 12-2x 1+2x 2的值等于2028．精练4根的判别式及根与系数的关系的综合运用10．（2020孝感）已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值．(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++⎪⎝⎭()2217k =++， ∵无论k 为何实数，()2210k +≥，∴()22170k +∆=+>，∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=，∴()2129x x -=，∴()2121249x x x x +-=，∴()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=， 解得0k =，2-．11．（2020鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+ 由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去），经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．。
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中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是中考数学必考题，需
要一定的阅读理解能力和计算能力，合理利用已知条件，构建参数（方
程中的字母常数）方程，通过严密的思维完整的解决问题。
一 、【典型示例】
例、（2014湖北十堰调研考试第21题7分）已知关于x的方程
x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0,
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若方程的有两个实数根为x1、x2 ，且x2+x2=32, 求a的值。
例．（河南2015）（9分）
已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝m．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
二、 【课前热身】
1． 一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围
是 .
3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则2111xx ，
x12＋x
2
2
＝ .
4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根
互为倒数；当m＝ 时，两根互为相反数.
5、若x1 =23是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方
程的另一个根x2 = .
三、【针对练习】解答题
1．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
,4171221
xxx
x
求k的值。
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2、（2013• 日照）已知，关于x的方程x2－2mx = －m2＋2x的两个实
数根1x、2x满足12xx，求实数m的值.
3．已知关于x的一元二次方程23(1)230mxmxm ()m为实数
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.
4.（本7分）已知关于x的一元二次方程222(23)41480xmxmm
（1）若0,m求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．
5.已知：关于x的一元二次方程2220kxxk．
（1）若原方程有实数根，求k的取值范围；
（2）设原方程的两个实数根分别为1x，2x．
①当k取哪些整数时，1x，2x均为整数；
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6.已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
7、（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0
有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出
k的值；若不存在，请说明理由．
8、（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且│x1－x2│=2,求k的值.
9、（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程
以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比
数的图象上，求满足条件的m的最小值．
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10、已知关于x的方程x2－2x－2n=0有两个不等的实数根。
（1）求n的取值范围；
（2）若n<5，且方程的两个实数根都为整数，求n的值。
11、如图，平行四边形 ABCD中，两条对角线交于O点，且AO、BO的长
分别是关于x的方程 03)12(22mxmx 的根。
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD为矩形；
（2）当m为何值时，平行四边形ABCD周长为40的菱形。
12、在等腰ΔABC中，
∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，已知a=3，b和c
是关于x的方程x2 +mx+2－12m =0的两个实数根，求Δ
ABC的周长。
13、已知实数a、b分别满足2222,220aabb 求11ab的值。