对数函数基础
对数函数法则
对数函数法则
对数函数法则是数学中的一个重要概念。
对数函数的基础思想是将一个数表示为另一个数的幂，即将指数表示为对数。
如果这个数是一个常数，那么对数函数就是一个常数函数，否则对数函数就是一个非常有用的函数。
对数函数法则有三个主要的规则。
第一条规则是指数律，即将幂的积转化为对数的和。
例如，当a，b为正实数且x为任意实数时，有：
loga(xy) = loga(x) + loga(y)
第二条规则是对数律，即将对数的积转化为幂的积。
例如，当a 和b是正实数且x是任意实数时，有：
loga(xb) = b*loga(x)
第三条规则是换底公式，即将对数的底换成任意底转化式中的常数。
例如，当a和b为正实数且x为任意实数时，有：
loga(x) = [logb(x)] / [logb(a)]
对数函数法则在数学和科学中使用非常广泛。
它们有助于解决许多问题，包括求解复杂方程和计算复杂函数的值。
因此，对数函数法则是数学中不可缺少的一个工具。
- 1 -。
基础讲解-对数函数
教学目标：1、掌握对数的概念，以及对数和指数的互化2、掌握对数的基本性质以及运算法则3、理解对数函数的概念4、对数函数的图象与性质教学重点、难点：1、掌握对数的概念以及对数和指数的互化2、掌握对数的基本性质以及运算法则3、理解对数函数的概念4、对数函数的图象与性质教学内容：知识点一：对数的概念、对数和指数的互化※ 一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 就是b a =N 那么数 b 叫做a 为底 N 的对数,记作b N a log ，a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a ≠1②对数的书写格式※ 对数式与指数式的互化log a N幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数 ※ 两个重要对数①常用对数： 以10为底的对数N 10log , 简记为: lgN②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数N e log ，简记为: lnN .随堂练习：1 将下列指数式写成对数式：（1）1624= （2）27133=-（3）205=a（4）45.021=⎪⎭⎫⎝⎛b2 将下列对数式写成指数式：（1）3125log 5= （2）23log 31-=（3）069.1log 10-=a3 求下列各式的值：（1）64log 2 （2）27log 9知识点二：对数的基本性质以及运算法则如果那么：且,0,0,1,0>>≠>N M a a;l o g l o g )(l o g )1(N M N M a a a +=⋅N M N Ma a al o g l o g l o g )2(-=(3))(log log R n M P M a Pa ∈= 换底公式：)0;1,0;1,0(log log log >≠>≠>=bc c a a abb c c a 且且 随堂练习：例1、将下列指数式转化为对数式，对数式转化为指数式：3616)4(105)3(;913)2(;644)1(223====--；m3log )8(;18log )7(;481log )6(;416log )5(5432====N M例2、求下列各式中x 的值。
对数函数-高中数学总复习课件
范围是（
）
A. [－1，2]
B. [0，2]
C. [1，＋∞）
D. [0，＋∞）
解析： 当 x ≤1时，由21－ x ≤2得1－ x ≤1，∴0≤ x ≤1；当 x ＞1
1
时，由1－log2 x ≤2得 x ≥ ，∴ x ＞1.综上， x 的取值范围为[0，＋
2
∞）.故选D.
1
log a （2 a ）＜0，所以0＜ a ＜1，且2 a ＞1，所以 ＜ a ＜1.故 a 的取值
2
范围是
1
，1
2
.
目录
高中总复习·数学
解题技法
求解对数不等式的两种类型及方法
（1）log ax＞log ab：借助 y ＝log ax的单调性求解，如果 a 的取值不确
定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况讨论；
图象如图所示，又 f （ a ）＝ f （ b ）且0＜ a ＜ b ，
∴0＜ a ＜1， b ＞1且 ab ＝1，∴ a 2＜ a ，当 a 2≤ x
≤ b 时，由图知， f （ x ）max＝ f （ a 2）＝｜log2 a
2｜＝－2log
1
1
2 a ＝2，∴ a ＝ 2 ，∴ b ＝2.∴ ＋ b ＝4.
0＜ a ＜1，A正确.
目录
高中总复习·数学
（2）已知函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜，实数 a ， b 满足0＜ a ＜ b ，且 f
1
2
（ a ）＝ f （ b ），若 f （ x ）在[ a ， b ]上的最大值为2，则 ＋
b＝
4 .
解析：∵ f （ x ）＝｜log2 x ｜，∴ f （ x ）的
高一数学知识点对数函数
高一数学知识点对数函数对数函数是数学中重要的一类函数，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将对数函数的定义、性质和应用进行探讨，帮助同学们更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义对数函数是指以一个正数为底数，另一个正数为真数，求得的指数称为对数。
对数函数可以表示为y=logₐx，其中a为底数，x 为真数，y为对数。
在对数函数中，底数a通常取常用对数的底数10或自然对数的底数e。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
值域是全体实数集，即y∈R。
2. 对数函数的单调性对数函数随着真数的增大而单调增加。
3. 对数函数的图像特点对数函数的图像是一条逐渐上升的曲线，对数函数在x轴上的渐近线是y=0，对数函数在y轴上的渐近线是x=0。
4. 对数函数的奇偶性对数函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
三、对数函数的应用1. 对数函数在科学计算中的应用对数函数在科学计算中有着广泛的应用。
以常用对数为例，常用对数的底数为10，它可以简化大数的运算。
例如，当我们需要计算10的n次方时，可以利用对数函数的性质，将幂运算转化为乘法运算。
2. 对数函数在指数增长中的应用对数函数在描述指数增长过程中经常被使用。
例如，人口增长模型中常常使用对数函数来描述人口的增长趋势，因为人口的增长一开始是指数级的，但随着时间的推移，增长速度逐渐减缓。
3. 对数函数在音乐与声音领域的应用对数函数在音乐与声音领域具有重要的应用。
在音乐中，音高是以对数函数的形式进行调节的，从而使得音高变化更加连续平稳。
在声音领域，声音强度的测量也可以利用对数函数进行，这是由于人类对声音的感知呈现对数关系。
四、对数函数的解题技巧在解题过程中，对数函数可以利用其性质和公式来简化计算。
常见的计算技巧包括：1. 对数与指数的互化对数函数和指数函数之间可以相互转化，通过利用对数函数和指数函数之间的相互关系，可以简化问题的计算。
对数函数PPT课件
04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
对数函数基础运算法则及例题答案
对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,则1log ()log log a a a MN M N =+; 2 log log log a a a M M N N=-; 3log log ()n a a M n M n R =∈. 4N nN a n a log 1log =例1．已知x =49时,不等式 log a x 2 – x – 2＞log a –x 2 +2x + 3成立,求使此不等式成立的x 的取值范围.解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a 249)49(2--＞log a )3492)49(1[2+⋅+⋅即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜1639. 所以y = log a x 为减函数,故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例2．求证：函数f x =xx -1log 2在0, 1上是增函数.解：设0＜x 1＜x 2＜1,则f x 2 – f x 1 = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1,∴12x x ＞1,2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0, ∴f x 2＞f x 1. 故函数f x 在0, 1上是增函数例3．已知f x = log a a – a x a ＞1.1求f x 的定义域和值域； 2判证并证明f x 的单调性.解：1由a ＞1,a – a x ＞0,而a ＞a x ,则x ＜1. 故f x 的定义域为 -∞,1, 而a x ＜a ,可知0＜a – a x ＜a , 又a ＞1. 则log a a – a x ＜lg a a = 1. 取f x ＜1,故函数f x 的值域为–∞, 1.2设x 1＞x 2＞1,又a ＞1, ∴1x a ＞2x a ,∴1x a a -＜a-2x a ,∴log a a –1x a ＜log a a –2x a ,即f x 1＜ f x 2,故f x 在1, +∞上为减函数.。
对数的概念课件
对数的概念PPT课件
本PPT课件将介绍对数的基础概念、常用对数与自然对数的定义与性质，以及 对数函数的应用等内容。让我们一起探索对数的奥秘吧！
基础概念
什么是对数？
介绍对数的基本概念和定义，以及与指数的关系。
对数的定义与性质
深入探讨对数的性质，如对数运算的法则和几个重要的特性。
对数运算的法则
讲解对数运算的法则，如对数的加法、减法和乘法法则等。
常用对数
常用对数的定义和性质
介绍常用对数的定义和性质，以 及其与自然对数之间的关系。
常用对数与自然对数之间 的转换
讲解常用对数和自然对数之间的 换底公式，以及如何相互转换。
常用对数运算的实际应用
探讨常用对数在实际问题中的运 用，如测量、音量、电磁波强度 等。
自然对数
1
自然对数的定义和性质
介绍自然对数的定义和性质，以及其在
讲解对数函数与指数函数之间的互逆关系，解释两者之间的数学联系。
对数函数的应用
探讨对数函数在实际问题中的应用，如物质衰变、天文学计算等。
练习与总结
课件所涉及的对数知识点， 强化学生对对数的掌握程度。
对数相关练习
提供一些对数相关的练习题，帮助学生 巩固对对数概念和运算法则的理解。
自然对数与常用对数之间的转换
2
数学和科学领域的重要性。
详细讲解自然对数和常用对数之间的换
底公式，以及如何相互转换。
3
自然对数运算的实际应用
探索自然对数在实际生活中的应用，如 复利计算、连续复利、人口增长模型等。
对数函数
对数函数的定义和图像
介绍对数函数的定义和图像特征，探索函数的性质和变化规律。
对数函数与指数函数的关系
高中数学讲义 第6节 对数与对数函数
第六节对数与对数函数课标解读考向预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a >0，且a ≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题．预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以对数或对数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.必备知识——强基础1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数01x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝02log a N ，其中a 叫做对数的03底数，N 叫做04真数．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以0510为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为06lg__N ．②自然对数：以07e 为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记为08ln__N ．2．对数的性质(1)09负数和0没有对数；(2)log a 1＝100；(3)log a a ＝111；(4)对数恒等式：a log aN ＝12N ；log a a b ＝13b (a >0，且a ≠1)．3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (MN )＝14log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝15log a M －log a N ；(3)log a M n ＝16n log a M (n ∈R )．4．换底公式：log a b ＝17log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．5．对数函数及其性质(1)概念：函数18y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是19(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域20(0，＋∞)值域21R性质当x ＝1时，y ＝0，即图象过定点22(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是23增函数在(0，＋∞)上是24减函数6.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数25y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线26y ＝x 对称．它们的定义域和值域正好互换．1．对数运算的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0)．2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)只在第一、四象限．4．对于函数f (x )＝|log a x |(a >0，且a ≠1)，若f (m )＝f (n )(m ≠n )，则必有mn ＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .()(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．()(3)log 2x 2＝2log 2x .()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121x的图象重合．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A 必修第一册习题4.3T5改编)设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 1210＝()A.12a ＋bB.1a ＋2bC ．2a ＋bD ．2b ＋a答案A解析log 1210＝1lg 12＝1lg 3＋2lg 2＝12a ＋b.(2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是()A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案D(3)已知实数a ＝log 32，b ＝log 2π，c ＝log 210，则()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a答案A(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y＝log a(x－3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案(4，－1)考点探究——提素养考点一对数的概念与运算例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是()A．log53×log32×log25B．lg2＋12lg5C．log aa2(a>0，且a≠1)D．e ln3－0.125-1 3答案AD解析对于A，原式＝lg3lg5×lg2lg3×lg5lg2＝1；对于B，原式＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12；对于C，原式＝2log a a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－813＝3－2＝1.故选AD.(2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(23)z，则()A.1 x＋1y＝1zB.1y＋1z＝1xC.1 x＋1y＝2zD.1x＋1z＝2y答案C解析令3x＝4y＝(23)z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log23a，故1x＝log a3，1y＝log a4，1z＝log a23，故1x＋1y＝log a12＝2log a12＝2z.故选C.【通性通法】对数运算的一般思路转化利用a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化利用换底公式转化为同底数的对数运算恒等式注意log a1＝0，log a a N＝N，a log aN＝N(a>0，且a≠1)的应用拆分将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算注意：利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.【巩固迁移】1．化简(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92)的值为()A ．1B ．2C ．4D ．6答案B解析2×12log 23＋13log 232＋12log 3＝43log 23×32log 32＝2.故选B.2．(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a ＝4，10b ＝25，则()A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1C ．ab >(lg 2)2D ．b －a >lg 6答案ACD解析由10a ＝4，10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，所以a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；因为b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254<lg 10＝1，故B 错误；因为ab ＝lg 4·lg 25>lg 2·lg 2＝(lg 2)2，故C 正确；因为b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254>lg 244＝lg 6，故D 正确．故选ACD.3．(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳14含量与树龄之间的函数关系式为k ＝k k 0为树木最初生长时的碳14含量，n (单位：年)为树龄，通过测定发现某古树样品中碳14含量为0.6k 0，则该古树的树龄约为________万年．(精确到0.01，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70)答案0.42解析由题意，得0.6k 0＝k ＝35，两边取对数，得n 5730lg 12＝lg 35，变形，得n ＝lg 5－lg 3lg 2×5730＝lg 5－lg 31－lg 5×5730，因为lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，所以n ≈0.70－0.481－0.70×5730＝4202，故该古树的树龄约为0.42万年．考点二对数函数的图象及其应用例2(1)已知函数f (x )＝ax ＋b 的图象如图所示，则函数y ＝log a (|x |＋b )的图象可以是()答案D解析由函数f(x)＝ax＋b的图象，可知0<a<1，－1<b<0，函数y＝g(x)＝log a(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且g(－x)＝log a(|－x|＋b)＝log a(|x|＋b)＝g(x)，即函数y＝log a(|x|＋b)为偶函数．又函数y＝log a(|x|＋b)log a(x＋b)，x>－blog a(－x＋b)，x<b所以y＝log a(|x|＋b)在(－b，＋∞)上单调递减，在(－∞，b)上单调递增．故选D.(2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则() A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y＝1e，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3.【通性通法】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【巩固迁移】4．若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a|x ＋k|的大致图象是()答案B解析因为函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝log a|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝log a|－4－x＋2|＝log a|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝log a|0＋2|＝log a2<0，可知A错误．故选B.5．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则1a＋b＝________．答案4解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝12，∴b＝2，∴1a＋b＝4.考点三对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较大小问题例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b答案D解析因为0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故选D.(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝1logπ2＋log3π，则()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a答案B解析因为a＝log23＋log32>2log23·log32＝2，所以a>b.因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.综上，c＞a＞b.故选B.【通性通法】对数值比较大小的四种常见类型(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】6．(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a ＝log 827，b ＝log 916，c ＝log 48，则()A ．a <bB ．a >cC ．b <cD ．b <a答案BCD解析因为a ＝log 827＝log 2333＝log 23，b ＝log 916＝log 34，c ＝log 48＝32，所以a b ＝log 23log 34＝ln 3ln 2·ln 3ln 4＝6ln 3·ln 36ln 2·ln 4＝2ln 33ln 2·3ln 32ln 4＝ln 9ln 8·ln 27ln 16>1，又a ，b 均大于0，所以a >b ，故A 错误，D 正确；因为a ＝log 23>log 222＝32＝c ，所以a >c ，故B 正确；因为16<33，即4<332，所以b ＝log 916＝log 34<log 3332＝32＝c ，即b <c ，故C 正确．故选BCD.考向2解简单的对数不等式例4(1)已知函数f (x )＝log 2x －x ＋1，则不等式f (x )<0的解集是()A ．(1，2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(0，2)D ．(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析依题意，f (x )<0等价于log 2x <x －1，在同一坐标系中作出y ＝log 2x ，y ＝x －1的图象，如图所示，可得log 2x <x －1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D.(2)不等式log 12(x ＋1)－log 12(x －1)<－12的解集是________．答案(1，17＋122)解析因为log 12(x ＋1)－log 12(x －1)<－12可化为log12x ＋1x －1<－12⇒x ＋1x －1>2⇒1<x <3＋22，所以x ∈(1，17＋122)，即原不等式的解集为(1，17＋122)．【通性通法】与对数函数有关的不等式的求解策略【巩固迁移】7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )单调递减，则不等式f (log 13(2x －5))＞f (log 38)的解集为________．答案解析因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f (log 13(2x－5))＞f (log 38)化为|log 13(2x －5)|＞|log 38|，即log 3(2x －5)＞log 38或log 3(2x －5)＜－log 38＝log 318，即2x －5＞8或0＜2x －5＜18，解得x ＞132或52＜x ＜4116.考向3与对数函数有关的复合函数问题例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f (x )＝ln (x 2＋x ＋m )(m ∈R )，则()A ．当m >14时，f (x )的定义域为RB ．f (x )一定存在最小值C ．f (x )的图象关于直线x ＝－12对称D ．当m ≥1时，f (x )的值域为R 答案AC解析对于A ，若m >14，则Δ＝1－4m <0，则二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象恒在x 轴的上方，即x 2＋x ＋m >0恒成立，所以f (x )的定义域为R ，故A 正确；对于B ，若m ＝0，则f (x )＝ln (x 2＋x )的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R ，没有最小值，故B 错误；对于C ，由于函数y ＝ln2＋m ，其图象关于y 轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f (x )＝ln＋m －14＝ln (x 2＋x ＋m )的图象，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝－12，故C 正确；对于D ，若m ≥1，则y ＝x 2＋x ＋m ＋m －14≥34，故f (x )的值域不是R ，故D 错误．故选AC.【通性通法】解决对数函数综合问题的策略(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点．(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径．(3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键．【巩固迁移】8．已知函数f (x )＝lg (x 2－4x －5)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)答案D解析由x 2－4x －5＞0，解得x ＞5或x ＜－1，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f (x )＝lg (x 2－4x －5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a ≥5.故选D.9．已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min ＝________．答案5解析≤x ≤9，≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1，3]，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t ＝0，即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1，即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时作业一、单项选择题1．lg 4＋2lg 5＋log 28＋823＝()A ．8B ．9C ．10D ．1答案B解析因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg100＝2，log 28＝log 223＝3，823＝(23)23＝22＝4，所以lg 4＋2lg5＋log 28＋823＝2＋3＋4＝9.故选B.2．函数f (x )＝x log 2|x |2x ＋2－x的部分图象大致是()答案A解析易知f (x )＝x log 2|x |2x ＋2－x的定义域为{x |x ≠0}，因为f (－x )＝－x log 2|－x |2－x ＋2x＝－x log 2|x |2x ＋2－x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ，D ；又f (2)＝222＋2－2>0，排除C.故选A.3．(2023·广东三校高三联考(二))若函数f (x )＝x 3ln (x 2＋2a －x )为偶函数，则a ＝()A.14B.12C ．1D ．2答案B解析易得，函数f (x )的定义域为R ，因为函数f (x )＝x 3ln (x 2＋2a －x )为偶函数，且y ＝x 3为奇函数，故g (x )＝ln (x 2＋2a －x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即ln [(－x )2＋2a ＋x ]＋ln (x 2＋2a －x )＝0，即ln (x 2＋2a －x 2)＝0，即2a ＝1，解得a ＝12.故选B.4．若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，图象的对称轴为直线x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，(1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，所以a 的取值范围为[1，2)．故选A.5．(2024·湖南名校高三模拟)已知a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝log 85，则下列结论正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．b <c <a答案A 解析因为log 32＝log 338<log 339＝log 3323＝23＝log 5523＝log 5325<log 5327＝log 53，所以a <b ；因为ln 3·ln＝(ln 24)2<(ln 5)2，所以ln 3ln 5<ln 5ln 8，所以log 53<log 85，所以b <c ，所以a <b <c .故选A.6．若函数f (x )＝log 2＋32x a ＞0，且a ≠1)f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)答案A 解析令M ＝x 2＋32x ，当x＋，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )＞0，所以a ＞1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M－916，所以M－34，＋又x 2＋32x >0，所以x ＞0或x ＜－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.7．函数f (x )的定义域为D ，若满足如下两个条件：①f (x )在D 内是单调函数；②存在m 2，n2⊆D ，使得f (x )在m 2，n2上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f (x )为“希望函数”．若函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a >0，且a ≠1)是“希望函数”，则t 的取值范围是()－14， B.－14，0－12， D.－12，0答案A解析∵函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a >0，且a ≠1)是“希望函数”，∴f (x )在m 2，n 2上的值域为[m ，n ]．易知函数f (x )单调递增，a (a m2＋t )＝m ，a (a n2＋t)＝n ，m2＋t ＝a m ，n2＋t ＝a n ，∴m ，n 为方程a x －a x2－t ＝0的两个不相等的实数根，令p＝a x2，则p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t>0，－t>0，得－14<t<0.故选A.8．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，则a的取值范围是()A．(0，1)B．(1，2)C．(1，2]答案C解析设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x 的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，所以log a2≥1，解得1＜a≤2.二、多项选择题9．在同一直角坐标系中，函数y＝a x与y＝log a(x－2)的图象可能是()答案BD解析当a>1时，y＝a x在(－∞，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝a x在(－∞，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD.10．已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则()A．f(ln2)＝ln52B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2答案ACD解析f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝ln 52，故A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln e x＝ln e2x＋1e x＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(e x＋e－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B 错误；y＝e x＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此f(x)＝ln(e x＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln2，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2024·江苏名校高三联考)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)＝________．①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定义域上单调递增．答案log2x(满足log a x(a>1)均可)解析log a(MN)＝log a M＋log a N，且f(x)＝log a x(a>1)单调递增．故答案为log2x(满足log a x(a>1)均可)．12．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．答案(－∞，0)解析因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以y＝f(x)＝log5x在定义域(0，＋∞)上为增函数，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．13．已知f(x)＝ln(x2＋2x＋m)．若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，1]解析因为f(x)的值域为R，所以x2＋2x＋m≤0有解，则4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]．14．(2024·湖北黄冈中学高三模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，3a＋b＝18，则1x＋1y的最大值为________．答案3解析因为a x＝b y＝3，所以x＝log a3，y＝log b3.又log a3·log3a＝lg3lg a·lg alg3＝1，log b3·log3b＝lg3 lg b ·lg blg3＝1，所以1x＝log3a，1y＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以1x＋1y的最大值为3.四、解答题15．(2024·山东潍坊高三模拟)定义在(－1，1)上的函数f(x)和g(x)，满足f(x)＋g(－x)＝0，且g (x )＝log a1＋x2，其中a >1.(1)若2，求f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )>1－13，m －a 的值．解(1)由题意知，f (x )＝－g (－x )＝log a 21－x，又2，所以log a 4＝2，即a ＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝log 221－x (－1<x <1)．(2)由f (x )>1，得21－x>a ，由题意知1－x >0，所以1－2a <x <1，－2a ＝－13，＝1，＝32，＝1，所以m －a ＝－12.16．(2024·山东聊城高三期中)已知函数f (x )＝log a (2－ax )．(1)当x ∈[0，1]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝2－ax ，则t (x )＝2－ax 为减函数，当x ∈[0，1]时，t (x )的最小值为2－a ，当x ∈[0，1]时，f (x )恒有意义，即当x ∈[0，1]时，2－ax >0恒成立，所以2－a >0，所以a <2.又a >0且a ≠1，所以实数a 的取值范围为(0，1)∪(1，2)．(2)t (x )＝2－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为增函数，所以y ＝log a t 为减函数，所以0<a <1.当x ∈[1，2]时，f (x )的最大值为f(2)＝log a(2－2a)＝1，a<1，a(2－2a)＝1，即a＝23.故存在a＝23，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1.17．(多选)已知正实数x，y满足log2x＋log12y，则()A.1x<1yB．x3<y3C．ln(y－x＋1)>0D．2x－y<12答案BC解析由题意得log2x<log2y.设函数f(x)＝log2x，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)<f(y)，得0<x<y，故1x>1y A错误；x3<y3，B正确；由x<y，得y－x＋1>1，故ln(y－x＋1)>ln1＝0，C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC. 18．(多选)(2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列关系式中正确的是()A．log23>log34B．2022lg2023＝2023lg2022C．2lg2＋2lg5<22D．ln3＋4ln3>2ln2＋2ln2答案ABD解析对于A，log23>log222＝log2232＝32＝log3332＝log333>log34，故A正确；对于B，由于lg2022lg2023＝lg2023·lg2022，lg2023lg2022＝lg2022·lg2023，所以lg2022lg2023＝lg2023lg2022，则2022lg2023＝2023lg2022，故B正确；对于C，因为lg2＋lg5＝lg 10＝1，又lg2≠lg5，所以2lg2＋2lg5>22lg2·2lg5＝22lg2＋lg5＝22，故C错误；对于D，2ln2＋2ln2＝2ln2＋42ln2＝ln4＋4ln4，令f(x)＝x＋4x，由对勾函数的性质可知f(x)在(0，2)上单调递减，因为1＝ln e<ln3<ln4<ln e2＝2，所以f(ln3)>f(ln4)，即ln3＋4ln3>ln4＋4ln4，即ln3＋4ln3>2ln2＋2ln2，故D正确．故选ABD.19．(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝lg(ax－3)的图象经过定点(2，0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3，4]上有解的k的最大值是________．答案1解析由已知可得f (2)＝lg (2a －3)＝0，则2a －3＝1，解得a ＝2，故f (x )＝lg (2x －3)，由2f (x )>lg(kx 2)得lg (2x －3)2>lg (kx 2)，因为x ∈[3，4]，则kx 2<4x 2－12x ＋9，可得k <9x 2－12x ＋4，令t ＝1x ∈14，13，g (t )＝9t 2－12t ＋4，则函数g (t )在14，13上单调递减，所以g (t )max ＝＝2516，所以k <2516.因此正整数k 的最大值是1.。
对数函数常用公式
对数函数常用公式对数函数是数学中的一种重要函数，它在科学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
下面介绍一些对数函数常用公式。
1. 对数的定义对数是指一个数在某个底数下的指数，即：如果a^x = b，那么x就是以a为底数，b的对数，记作loga b。
2. 对数的性质（1）loga (mn) = loga m + loga n（2）loga (m/n) = loga m - loga n（3）loga m^n = n loga m（4）loga 1 = 0（5）loga a = 1（6）loga b = 1/logb a3. 常用对数函数常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数是以e为底数的对数函数，记作ln x。
其中e是一个无理数，约等于2.71828。
常用对数函数是以10为底数的对数函数，记作log x。
4. 对数函数的图像自然对数函数和常用对数函数的图像如下所示：自然对数函数的图像是一个上升的曲线，它在x轴上的截距为1，y轴上的截距为0。
常用对数函数的图像也是一个上升的曲线，它在x轴上的截距为1，y轴上的截距为0。
5. 对数函数的应用对数函数在科学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
例如：（1）在化学中，pH值是以10为底数的负对数函数，它用来表示溶液的酸碱度。
（2）在物理中，声音的强度和光的亮度都是以10为底数的对数函数。
（3）在经济中，利率的计算也是以对数函数为基础的。
对数函数是一种非常重要的数学工具，它在各个领域中都有广泛的应用。
掌握对数函数的常用公式和性质，对于学习和应用对数函数都非常有帮助。
根据对数函数知识点总结归纳
根据对数函数知识点总结归纳
对数函数是数学中重要的函数之一，它在各个领域中都有广泛
的应用。
以下是对数函数的一些重要知识点总结：
1. 对数函数的定义：对数函数是指以某个固定的正数为底的幂
函数的反函数。
常用的对数函数有以10为底的公式，记作log(x)，以自然常数e（欧拉数）为底的公式，记作ln(x)。
2. 对数函数的性质：
- 对数函数的定义域是正实数集，值域为实数集。
- 对数函数的图像在x轴右侧无界，左侧有一个垂直渐近线，
交y轴时值为0。
- 对数函数的图像随着x的增大而上升，但增长趋势逐渐减缓。
3. 对数函数的特殊性质：
- 对数函数满足对数乘积公式：log(a * b) = log(a) + log(b)。
- 对数函数满足对数商公式：log(a / b) = log(a) - log(b)。
- 对数函数满足对数幂公式：log(a^b) = b * log(a)。
4. 对数函数的应用：
- 对数函数广泛应用于科学和工程领域，特别是在测量、数据分析、信号处理等方面。
- 对数函数在金融领域中也有重要的应用，用于计算复利、评估投资风险等。
根据对数函数的知识点总结归纳，我们可以更好地理解对数函数的性质和应用，为更深入的数学研究打下基础。
以上是根据对数函数知识点的总结归纳，希望对您有所帮助。
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对数函数(1) 一、选择题： 1．已知3a=5b= A，且a1＋b1= 2，则A的值是( )．
(A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a＞0，且10x= lg(10a)＋lga1，则x的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x1，x2是方程lg2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x1x2的值是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)．61 4．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，那么a的取值范围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x =31log121＋31log151，则x的值属于区间( )．
(A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1 = 0的两个根，则(lgba)2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a，b，c∈R，且3a= 4b= 6c，则( )． (A)．c1=a1＋b1 (B)．c2=a2＋b1 (C)．c1=a2＋b2 (D)．c2=a1＋b2 8．已知函数y = log5.0(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是( )． (A)．0≤a≤1 (B)．0＜a≤1 (C)．a≥1 (D)．a＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M，则M为( )． (A)．20 (B)．19 (C)．21 (D)．22 10．若log[ log( logx)] = 0，则x为( )． (A)． (B)． (C)． (D)． 11．若0＜a＜1，函数y = log[1－()]在定义域上是( )． (A)．增函数且y＞0 (B)．增函数且y＜0 (C)．减函数且y＞0 (D)．减函数且y＜0
12．已知不等式loga(1－21x)＞0的解集是(－∞，－2)，则a的取值范围是( )．
(A)．0＜a＜21 (B)．21＜a＜1 (C)．0＜a＜1 (D)．a＞1 二、填空题 13．若lg2 = a，lg3 = b，则lg54=_____________． 14．已知a = log7.00.8，b = log1.10.9，c = 1.19.0，则a，b，c的大小关系是_______________． 15．log12(3＋22) = ____________． 16．设函数)(xf= 2x(x≤0)的反函数为y =)(1xf，则函数y =)12(1xf的定义域为________． 三、解答题 17． 20．已知log2[ log21( log2x)] = log3[ log31( log3y)] = log5[log51( log5z)]
= 0，试比较x、y、z的大小． 18．已知a＞1，)(xf= loga(a－ax)． ⑴ 求)(xf的定义域、值域； ⑵判断函数)(xf的单调性 ，并证明； 19．已知)(xf= log21[ax2＋2(ab)x－bx2＋1]，其中a＞0，b＞0，求使)(xf＜0的x的取值范围．
对数函数（2） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1．对数式baa)5(log2中，实数a的取值范围是 （ ）
A．)5,( B．(2,5) C．),2( D． )5,3()3,2( 2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ）
A．x=a+3b－c B．cabx53 C．53cabx D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （ ） A．M∪N=R B．M=N C．MN D．MN
4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ）
A．43,0 B．43,0 C．43,0 D．,43]0,( 5．下列函数图象正确的是 （ ）
A B C D 6．已知函数)(1)()(xfxfxg，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x) （ ） A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数 7．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( ) A．10% B．16．4% C．16．8% D．20%
8．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是 （ ） A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a2 D．21a 二、填空题：请把答案填在题中横线上. 9．函数)2(log221xy的定义域是 ，值域是 .
10．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 . 11．将函数xy2的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 . 12．函数y=)124(log221xx 的单调递增区间是 .
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知函数)(log)1(log11log)(222xpxxxxf. (1)求函数f (x)的定义域； (2)求函数f (x)的值域.
14．设函数)1lg()(2xxxf. (1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性； (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数； (4)求函数f(x)的反函数.
15．已知函数)1,0)((log2aaxxya的单调区间.
16. 已知函数)4(log)(22aaxxxf (1).若a =-2, 求函数f (x)的值域 (2)若f (x)在,2上单调递增，求实数a的取值范围
17. 已知函数18log)(223xnxmxxf的定义域为R,值域为2,0，求m,n的值.
参考答案：（1） 一、选择题： 1．(B)．2．(B)． 3．(D)．4．(C)．5．(D)．6．(C)．7．(B)．8．(A)． 9．(A)．10．(D)．11．(C)．12．(D)． 二、填空题 13．21a＋23b 14．b＜a＜c． 15．－2． 16．21＜x≤1 三、解答题
17．由log2[ log21( log2x)] = 0得，log21( log2x)= 1，log2x =21，即x = 221；
由log3[ log31( log3y)] = 0得，log31( log3y) = 1，log3y =31，即y =331； 由log5[ log51( log5z)] = 0得，log51( log5z) = 1，log5z =51，即z = 551． ∵y =331= 362= 961，∴x = 221= 263= 861，∴y＞x， 又∵x = 221= 2105= 32101，z = 551= 5102= 25101，∴x＞z． 故y＞x＞z．
18．为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a，当注意到a＞1时，所求函数的定义域为(－∞，1)， 又loga(a－ax)＜logaa = 1，故所求函数的值域为(－∞，1)．
⑵设x1＜x2＜1，则a－a1x＞a－a2x，所以)x(1f－)x(2f= loga(a－a1x)－loga(a－a2x)＞0，即)x(1f＞)x(2f．所以函数)(xf为减函数． ∴a)2(2x＜ax，即x2－2＜x，解此不等式，得－1＜x＜2， 再注意到函数)(xf的定义域时，故原不等式的解为－1＜x＜1．
19．要使)(xf＜0，因为对数函数y = log21x是减函数，须使ax2＋2(ab)x－bx2＋1＞1，即ax2＋2(ab)x－bx2＞0，即ax2＋2(ab)x＋bx2＞2bx2， ∴(ax＋bx)2＞2bx2， 又a＞0，b＞0，∴ax＋bx＞2bx，即ax＞(2－1)bx，所以(ba)x＞2－1． 当a＞b＞0时，x＞logba(2－1)；当a = b＞0时，x∈R； 当b＞a＞0时，x＜logba(2－1)． 综上所述，使)(xf＜0的x的取值范围是： 当a＞b＞0时，x＞logba(2－1)； 当a = b＞0时，x∈R； 当b＞a＞0时，x＜logba(2－1)．
参考答案（2） 一、DCCB BDBD 二、9． 2,112， ,0； 10．0； 11．1)1(log2xy； 12． )2,(； 三、13． 解：(1)函数的定义域为(1，p). (2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p3时，f (x)的值域为(－，1+log2(p+1)). 14．解： (1)由010122xxx得x∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2∈R，且x1＜x2， 则11lg)()(22221121xxxxxfxf. 令12xxt，
则)1()1(22221121xxxxtt.=)11()(222121xxxx =11))(()(2221212121xxxxxxxx=1111)((222121222121xxxxxxxx
∵x1－x2＜0，01121xx，01222xx，0112221xx， ∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴1021tt， ∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数. (4)反函数为xxy1021102(xR). 15．解：由2xx>0得0因为0<2xx=4141)21(2x，所以，当0函数)(log2xxya的值域为,41loga;