.5三视图、表面积、体积的综合应用练习(含解析)新人教A版必修2
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
高中数学 人教A版 必修2 第一章 空间几何体 高考复习习题(选择题201-300)含答案解析
A． B． C．50πD．200π
14．在菱形 中， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
15．已知球的直径 ， 是该球球面上的两点， ， ，则棱锥 的体积为（）
高中数学人教A版必修2第一章空间几何体高考复习习题（选择题201-300）含答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()
A． ＋1B． ＋3
11．在三棱锥 中，底面 是边长为2的正三角形，顶点 在底面 上的射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， 底面 ，且二面角 的正切值为4，则球 的表面积为
A． B． C． D．
A． B． C． D．
5．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为 ，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (8)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的( )A．12倍B．2√2倍C．2倍D．√24倍2.若长方体三个面的面积分别为√2，√3，√6，则长方体的体积等于( )A．√6B．6C．6√6D．363.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．9πB．22π3C．28π3D．34π34.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为( )A．1B．2C．3D．4 5.已知底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是( )A．√33πB．2√33πC．√3πD．4√33π6.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=√23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A．相交但不垂直B．平行C．垂直D．不能确定7.体积为√3的三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC= 120∘，则球O的体积的最小值为( )A．7√73πB．28√73πC．19√193πD．76√193π8.已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，F为线段CD上一动点（不含端点），现将△ADF沿直线AF进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是( )A．存在某个位置，使直线AF与BD垂直B．存在某个位置，使直线AD与BF垂直C．存在某个位置，使直线CF与DA垂直D．存在某个位置，使直线AB与DF垂直9.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛二、填空题（共6题）11.若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为．12.设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．13.若两条直线a，b无公共点，则两直线的位置关系是．14.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P∣∣ PA∣ ≤1}，则集合Q构成的几何体表面积为．15.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是．16.在三棱椎P−ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA=PB=2，PA⊥AC，则该三棱椎外接球的表面积为．三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，求该棱锥的表面积．19.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AD=AB=CD=1，BC=2，PB=PD=√2．(1) 证明：AC⊥平面PAB；(2) 过PA的平面交BC于点E，若平面PAE把四棱锥P−ABCD分成体积相等的两部分，求此时三棱锥E−PBD的体积．20.画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．(1) 证明：EF∥平面PBC；(2) 证明：AC⊥PB．22.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】设原三角形的底边长为 a ，高为 ℎ，则直观图中底边长仍为 a ，高为 ℎ2⋅sin45∘=√2ℎ4，所以原三角形面积与直观图面积的比值为 12aℎ12a⋅√2ℎ4=√2=2√2，即原三角形面积是直观图面积的2√2 倍． 【知识点】直观图2. 【答案】A【解析】如图，设长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的侧面 AA 1B 的面积为 √2，侧面 AA 1D 的侧面积为 √3，侧面ABD 的侧面积为 √6．再设侧棱 AA 1=a ，AD =b ，AB =c ． 则 {ac =√2,ab =√3,bc =√6, 三式作积得：a 2b 2c 2=6．所以 abc =√6．所以长方体的体积等于 √6．【知识点】棱柱的表面积与体积3. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为 2 的半球，下面为底面半径为 2，高为 3 的半圆柱体． 如图所示：故 V =12×π×22×3+23×π×23=34π3．【知识点】球的表面积与体积、由三视图还原空间几何体、圆柱的表面积与体积4. 【答案】D【解析】①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．【知识点】棱柱的结构特征5. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l，则πl=2π×1，所以l=2，设圆锥的高为ℎ，所以ℎ=√22−1=√3，所以圆锥的体积V=13π⋅l2⋅√3=√3π3．【知识点】圆锥的表面积与体积6. 【答案】B【解析】如图，过点M作MP∥A1B1交BB1于点P，过点N作NQ∥AB交BC于点Q，连接PQ，因为A1M=AN=√23a，且A1B=AC=√2a，所以MP=23A1B1，NQ=23AB，所以四边形MNQP为平行四边形，所以MN∥PQ．又因为MN⊄平面BB1C1C，PQ⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．【知识点】直线与平面平行关系的判定7. 【答案】B【解析】因为V P−ABC=13S△ABC⋅PA=13×12×AB×BC×sin120∘×2=√3，所以AB⋅BC=6．因为PA⊥平面ABC，PA=2，所以O到平面ABC的距离为d=12PA=1．设△ABC的外接圆半径为r，球O的半径为R，R=√r2+d2=√r2+1．由余弦定理可知AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos120∘=AB2+BC2+6≥2AB⋅BC+6=18,当且仅当AB=BC=√6时取等号，所以AC≥3√2．由正弦定理可得2r=ACsin∠ABC ≥√2√32=2√6，所以r≥√6，所以R≥√7．所以当R=√7时，球O的体积取得最小值V=43πR3=28√7π3．【知识点】球的表面积与体积8. 【答案】C【解析】对于A，连接DB，作AF⊥BD于O，交DC与F（如图），此时DO⊥AF，BO⊥AF，将△ADF沿直线AF进行翻折过程中，AF⊥面DOB，可得AF⊥DB．对于B，因为AD⊥DF始终成立，要使直线AD与BF垂直，只需AD⊥DB即可，只需DB=√3即可，显然存在存在某个位置，使DB=√3，对于C，因为AD⊥DF始终成立，要使直线AD与CF垂直，只需AD⊥DC即可，根据勾股定理可得只需DC=2即可，显然不存在存在某个位置，使DC=2，对于D，如图∠DFA<90∘，在翻折过程中，一定存在某个位置使得DF⊥DC，即DF⊥AB．综上，在翻折过程中不可能成立的是C．【知识点】直线与直线的位置关系9. 【答案】B【解析】如图，连接BD，BE．因为N为正方形ABCD的中心，所以N∈BD．又因为M是ED的中点，所以M∈ED．所以M,N∈平面BED．所以由图知BM与EN相交，设ED=DC=a，则BD=√2a，EB=√2a．在△EBD中，由中线定理得EN2=14[2(ED2+EB2)−BD2]=a2，所以EN=a．又因为BM=√72a，所以BM≠EN．【知识点】直线与平面垂直关系的性质10. 【答案】B【解析】设圆锥底面的半径为R尺，由14×2πR=8得R=16π，从而米堆的体积V=1 4×13πR2×5=3203π（立方尺），因此堆放的米约有3203×1.62π≈22（斛）．【知识点】圆锥的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】2π【解析】因为圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，所以圆柱的底面半径r=1，高ℎ=2，所以圆柱的体积V=πr2h=π×12×2=2π．【知识点】圆柱的表面积与体积12. 【答案】√33π【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，所以r=1．所以圆锥的高ℎ=√22−12=√3．所以圆锥的体积V=13πr2h=√33π．【知识点】圆锥的表面积与体积13. 【答案】平行或异面【知识点】直线与直线的位置关系14. 【答案】5π4【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】√26【解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为√32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为√22，所以体积V=13×1×1×√22=√26．【知识点】棱锥的表面积与体积16. 【答案】12π【解析】由于PA=PB，CA=CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB，即O为三棱锥P−ABC外接球球心，又由PA=PB=2，得AC=AB=2√2，所以PC=√22+(2√2)2=2√3，所以S=4π×(√3)2=12π．【知识点】球的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 略．(2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】因为正三棱锥的侧面都是等腰直角三角形，所以侧棱长等于√22a，所以该棱锥的表面积S=√34a2+3×12×(√22a)2=3+√34a2．【知识点】棱锥的表面积与体积19. 【答案】(1) 在等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=AB=CD=1，BC=2，由题意得：∠ABC=60∘，在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=3，则有AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB，在△PAB中，因为PA=AB=1，PB=√2，所以PA⊥AB，同理，在△PAD中，所以PA⊥AD，所以AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD}⇒PA⊥AC，即AC⊥ABAC⊥PAAB∩PA=A}⇒AC⊥平面PAB．(2) 在梯形ABCD中，设BE=a，所以V三棱锥P−ABE =12V四棱锥P−ABCD，所以S△ABE=12S梯形ABCD，所以12×AB×BEsin∠ABE=(BC+AD)×ℎ4，而ℎ=ABsin60∘=√32，所以a=32，所以V三棱锥E−PBD =V三棱锥P−BED=13S△BED⋅PA=13×12×32×√32×1=√38.故三棱锥E−PBD的体积为√38．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积20. 【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的xʹ轴和yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘，如图①②所示．（2）在xʹ轴上截取OʹBʹ=OB，在yʹ轴上截取OʹDʹ=12OD，过点Dʹ作xʹ轴的平行线l，在l上沿xʹ轴正方向取点Cʹ，使得DʹCʹ=DC．连接BʹCʹ，如图②．（3）所得四边形OʹBʹCʹDʹ就是直角梯形OBCD的直观图，如图③．【知识点】直观图21. 【答案】(1) 因为四边形ABCD是正方形，F为对角线AC与BD的交点，所以F是BD的中点，又E是PD的中点，所以EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．(2) 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PD，又BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB．【知识点】直线与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的性质22. 【答案】因为MN∩EF=Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以M,N∈平面ABCD，所以MN⊂平面ABCD，所以Q∈平面ABCD．同理，可得EF⊂平面ADD1A1，所以Q∈平面ADD1A1，又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．【知识点】平面的概念与基本性质。
最新人教版高中数学必修2课时同步测题(全册 共236页 附解析)
最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π， 因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5， 解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5， 所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， 所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。
高中数学 第八章 立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积习题(含解析)新人教A版必
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则()A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为22×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A. B. C. D.1D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为()A.8B.12C.16D.20=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3πB.C.πD.1,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()A. B. C. D.,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.6.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.7.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有个.a,高为h,由题意得这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为.侧棱SA=2,高SO=2,∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为 cm.S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).能力提升练1.(2020某某某某检测)我国古代名著《X丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6, 设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3892(立方尺),故选B.2.(2020某某某某检测)如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.∶43.(2020全国高一课时练习)如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面高度为.,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.-4.已知一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱长为4cm,如图所示.因为正三角形ABC和正三角形A'B'C'的高为2cm,所以正三角形ABC的边长AB==4(cm).故三棱柱的侧面积为S侧=4×4×3=48(cm2).5.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,于是OO1=h-PO1=h-x=h.所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.素养培优练在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.AB=10,∴AD=AB=5,OD=AD=.设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.∴DH=OD-OH=x,在Rt△D1DH中,D1D==2x.∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,∴(x+10)×2x,即40=(x+10)(10-x),∴x=2,故上底面的边长为2.。
人教A版高中数学(配套新教材)必修第二册-第八章 -8-3-1棱锥、棱柱、棱台的表面积与体积
高中数学 必修第二册 RJ·A
易错辨析
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( × ) 2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( × ) 3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) 4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( √ )
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二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，
如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
1
1
3
3
A.4
B.2
C. 6
D. 4
D解析 设三棱锥B1－ABC的高为h，
则
V三棱锥B1－ABC ＝13S△ABCh＝31×
43×3＝
＋3S△DBC＋ S△A1BD ＝ 23a2＋3×12×a2＋3a2＝ 32＋9a2.
几何体 A1B1C1D1－DBC 的体积 V＝V正方体ABCD－A1B1C1D1 －V三棱锥A1－ABD＝a3－13×12×a×a×a＝56a3.
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随堂小测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
解析 V 棱台＝13×(2＋4＋ 2×4)×3 ＝13×3×(6＋2 2) ＝6＋2 2.
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5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点， 则三棱锥A－DED1的体积为__16___.
V V 解析 ＝ 三棱锥A－DED1 三棱锥E－DD1A
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新知学习
知识点一 棱锥、棱柱、棱台的表面积
【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：评估验收卷(三)(含答案解析)
评估查收卷 (三 ) (时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．直线x － y ＝ 0 的倾斜角为( )A ． 45°B ．60°C ． 90°D ． 135°分析：因为直线的斜率为 1，所以 tan α＝1，即倾斜角为 45° .答案： A2．若三点 A(0 ， 8)， B( －4， 0)， C(m ，－ 4)共线，则实数 m 的值是 ()A ． 6B ．－ 2C ．－ 6D ． 2分析：因为 A 、 B 、 C 三点共线，所以 k AB ＝ k AC ，8－ 08－（－ 4），所以 m ＝－ 6.所以0－（－ 4）＝－ m答案： C3．倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－ 1 的直线方程是 ( )A ． x － y ＋ 1＝ 0B ．x － y －1＝ 0C ． x ＋ y － 1＝ 0D ． x ＋ y ＋ 1＝ 0分析：由斜截式可得直线方程为 y ＝－ x － 1，化为一般式即为x ＋ y ＋ 1＝0.答案： D4．已知点 A(0 ， 4)， B(4 ， 0)在直线 l 上，则直线 l 的方程为 ( )A ． x ＋ y － 4＝ 0B ．x － y －4＝ 0C ． x ＋ y ＋ 4＝ 0D ． x － y ＋ 4＝ 0xy分析：由截距式方程可得 l 的方程为 ＋ ＝ 1，即 x ＋ y －4＝ 0.答案： A5．已知直线 l 1：(a － 1)x ＋ (a ＋ 1)y － 2＝0 和直线 l 2：(a ＋ 1)x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 相互垂直，则实数 a 的值为 ()A ．－ 1B ．0C ． 1D ． 2分析：因为l 1⊥ l 2，所以(a － 1)(a ＋ 1)＋ 2a ＋2＝ 0，所以 a2＋2a＋ 1＝ 0，即 a＝－ 1.答案： A6．和直线 5x－4y＋ 1＝0 对于 x 轴对称的直线方程为 ()A． 5x＋ 4y＋ 1＝ 0 B ．5x＋ 4y－ 1＝ 0C．－ 5x＋4y－ 1＝ 0 D ．－ 5x＋ 4y＋1＝ 0分析：设所求直线上的任一点为(x， y)，则此点对于 x 轴对称的点的坐标为(x，－ y)，因为点 (x，－ y)在直线 5x－ 4y＋ 1＝ 0 上，所以 5x＋ 4y＋ 1＝ 0，故所求直线方程为5x＋ 4y＋1＝ 0.答案： A7．已知 A(2 ，4)与 B(3 ， 3)对于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ()A． x＋ y＝ 0 B ．x－ y＝0C． x＋ y－ 6＝ 0D． x－ y＋ 1＝ 0分析：由已知得直线l 是线段 AB 的垂直均分线，所以直线l 的斜率为 1，且过线段 AB中点5，7，由点斜式得方程为 y－7＝ x－5，化简得 x－y＋ 1＝ 0.2222答案： D8．直线 l 过点 A(3 ， 4)且与点 B( － 3， 2)的距离最远，那么l 的方程为 ()A． 3x－ y－ 13＝ 0 B ．3x－ y＋ 13＝ 0C． 3x ＋ y－ 13＝ 0D． 3x＋ y＋ 13＝ 0分析：因为过点 A 的直线 l 与点 B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线 l，直线 l 的斜率为－ 3，由点斜式可得直线 l 的方程为3x＋ y－ 13＝ 0.答案： C9．过点 (3，－ 6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A． 2x＋ y＝ 0 B ．x＋ y＋3＝ 0C． x－ y＋ 3＝ 0D． x＋ y＋ 3＝ 0 或 2x＋ y＝ 0分析：当截距均为0 时，设方程为y＝ kx ，将点 (3，－ 6)代入得 k＝－ 2，此时直线方程为 2x＋ y＝ 0；当截距不为0 时，设直线方程为x＋y＝1，将(3，－6)代入得a＝－3，此时直线方程为a ax＋ y＋ 3＝ 0.答案： D10．设点A(3 ，－ 5)， B( －2，－ 2)，直线的斜率 k 的取值范围是 ()A． k≥ 1 或 k≤－ 3 B ．－ 3≤ k≤1l 过点P(1， 1)且与线段AB订交，则直线l C．－ 1≤ k≤ 3D．以上都不对分析：如下图，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB＝ 1， k PA＝－ 3，联合图形可知 k≥1或 k≤－ 3.答案： A11．若 a， b 知足 a＋2b＝ 1，则直线 ax＋ 3y＋ b＝0 必过定点 ()A.－1，－1B.1，－1 2626C.1， 1D. －1，12626分析：采纳赋值法，令a＝－ 1， b＝ 1 或 a＝ 1，b＝ 0，得直线方程分别为－x＋ 3y＋ 1＝0， x＋ 3y＝ 0，其交点为1，－1，此即为直线所过的定点．26答案： B12．如下图，已知两点A(4 ，0) ， B(0 ， 4)，从点 P(2， 0)射出的光芒经直线后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光芒所经过的行程是AB(反射)A．2 10 C．33B ．6 D．25分析：易得AB所在的直线方程为x＋ y＝ 4，因为点P 对于直线AB对称的点为A1 (4，2)，点P 对于y 轴对称的点为A′(－2，0)，则光芒所经过的行程即 A 1(4， 2)与A ′( －2， 0)两点间的距离．于是 |A1A ′ |＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案： A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．直线 (2m2－ 5m＋ 2)x － (m2－ 4)y＋ 5m＝ 0 的倾斜角为45°，则 m 的值为 ________．2m2－5m＋ 2分析：直线的斜率k＝m2－4＝1，解得 m＝2 或 m＝ 3.但当 m＝2 时， m2－ 4＝ 0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以 m＝3.答案： 314．已知斜率为 2 的直线经过点A(3 ，5)， B(a ，7)， C(－1， b)三点，则a，b 的值分别为 ________．k AC＝ 2，b－ 5＝ 2，－ 1－3分析：由题意得即7－ 5k AB＝ 2，＝ 2，a－ 3解得 a＝ 4， b＝－ 3.答案： 4，－ 315．已知直线 l 在 y 轴上的截距是－ 3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为 ______________________________ ．x y分析：设所求的直线方程为a＋－3＝ 1，则此直线与 x 轴交于点 (a，0)，与 y 轴交于点 (0，－ 3)，由两点间的距离公式解得a＝±4，故所求的直线方程为x4＋y＝ 1，即 3x＋ 4y＋ 12±－3＝ 0 或 3x－4y－ 12＝ 0.答案： 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 或 3x－ 4y－ 12＝ 016．已知直线 l1：mx ＋4y－ 2＝ 0 与 l 2：2x－ 5y＋ n＝0 相互垂直，且垂足为(1，p)，则 m － n＋ p 的值为 ________．分析：因为 l1⊥ l 2，所以 2m＋ 4×(－ 5)＝0，解得 m＝10；又因为点 (1， p)在 l1上，所以10＋ 4p－ 2＝0，即 p＝－ 2；又因为点 (1， p)也在 l 2上，所以2－ 5×(－ 2)＋ n＝0，即 n＝－ 12.所以 m－n＋ p＝ 20.答案： 20三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分10 分 )已知直线l 1：ax＋ by＋ 1＝ 0(a，b 不一样时为 0)，l 2：(a－ 2)x ＋y＋a＝ 0，(1)若 b＝ 0，且 l 1⊥l 2，务实数 a 的值；(2)当 b＝ 3，且 l 1∥l 2时，求直线l 1与 l 2之间的距离．解： (1)当 b＝ 0 时，直线 l1的方程为 ax＋ 1＝0，由 l1⊥ l2，知 a－ 2＝0，解得 a＝ 2.a－ 3（ a－ 2）＝ 0，(2)当 b＝ 3 时，直线 l 1的方程为 ax＋ 3y＋ 1＝ 0，当 l 1∥ l2时，有解3a－ 1≠0，得 a＝ 3，此时，直线 l1的方程为3x ＋3y＋ 1＝0，直线 l 2的方程为x＋ y＋ 3＝0，即 3x＋ 3y＋ 9＝ 0.故所求距离为d＝ |1－ 9| ＝ 4 29＋ 9 3.18．(本小题满分 12 分 )在△ ABC 中， BC 边上的高所在直线的方程为x－ 2y＋1＝ 0，∠A 的均分线所在的直线方程为y＝ 0，若点 B 的坐标为 (1， 2)，求点 A 和点 C 的坐标．解：由方程组x－ 2y＋ 1＝ 0，解得点 A 的坐标为 (－ 1， 0)．y＝0又直线 AB 的斜率 k AB＝ 1， x 轴是∠ A 的均分线，所以 k AC＝－ 1，则 AC 边所在的直线方程为y＝－ (x＋ 1)．①又已知 BC 边上的高所在直线的方程为x－ 2y＋ 1＝ 0，故直线所以 BC 边所在的直线方程为y－ 2＝－ 2(x － 1)．②BC的斜率k BC＝－ 2，x＝ 5，解①②构成的方程组得y＝－ 6，即极点 C 的坐标为 (5，－ 6)．19.(本小题满分12 分 )如下图，已知点A(2 ， 3)，B(4 ， 1)，△ ABC是以AB为底边的等腰三角形，点 C 在直线 l ：x－ 2y＋2＝ 0 上．(1)求 AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ ABC 的面积．解： (1)由题意可知， E 为 AB 的中点，1所以 E(3 ， 2)，且 k CE＝－k AB＝ 1，所以 CE 所在直线方程为：y－ 2＝ x－3，即 x－y－ 1＝ 0.x－2y＋ 2＝ 0，(2)由得C(4，3)，所以|AC|＝|BC|＝2，x－ y－ 1＝ 0AC ⊥BC ，1所以 S△ABC＝2|AC|· |BC|＝ 2.20． (本小题满分12 分 )已知点 P(2，－ 1)．(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线方程．(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)能否存在过点P 且与原点的距离为 3 的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明原因．解： (1)当斜率不存在时，方程x＝ 2 切合题意；当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋ 1＝k(x － 2)，即 kx －y－ 2k－1＝ 0.由题意，得|2k＋1|＝ 2.解得 k＝3. k2＋14所以直线方程为3x－ 4y－ 10＝ 0.所以合适题意的直线方程为x－ 2＝0 或3x －4y－ 10＝ 0.(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－ y－5＝ 0，且最大距离d＝ 5.(3)因为原点到过点P(2 ，－ 1)的直线的最大距离为5，而 3>5，故不存在这样的直线．21． (本小题满分12 分 )设直线 l 的方程为 (a＋ 1)x ＋ y＋ 2－ a＝ 0(a∈ R)．(1)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围；(2)证明：无论 a 为什么值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：无论 a 为什么值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y＝－ (a＋ 1)x ＋ a－2，欲使l 不经过第二象限，－（ a＋ 1）>0 ，－（ a＋ 1）＝ 0，当且仅当或建立．a－2≤0a－ 2≤0，所以 a≤－ 1，故所求a 的取值范围为a≤－1.(2)证明：方程可整理成a(x－ 1)＋ x＋ y＋ 2＝0，当 x＝ 1， y＝－ 3 时方程 a(x－ 1)＋ x＋y ＋ 2＝ 0 对 a∈ R 恒建立，所以，直线恒过点(1，－ 3)．(3)证明：由 (2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－ 3)，所以，无论 a 为什么值，直线恒过第四象限．22． (本小题满分12 分 )在直线 l ：3x － y－1＝ 0 上求一点P，使得：(1)P 到 A(4 ， 1)和 B(0， 4)的距离之差最大；(2)P 到 A(4 ， 1)和 C(3， 4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点 B 对于 l 的对称点为 B′， AB ′与 l 的交点 P 知足 (1)；如图②所示，设点 C 对于 l 的对称点为 C′， AC ′与 l 的交点 P 知足 (2) ．图①图②对于 (1)，若 P′是 l 上异于 P 的点，则 |P ′－A| |P ′＝B| |P′ A| －|P′ B ′|<|AB ′|＝ |PA|－ |PB′|＝|PA|－ |PB|；对于 (2)，若 P′是 l 上异于P 的点，则 |P ′＋A| |P ′＝C||P′ A|＋ |P′ C|>|AC ′|＝ |PA|＋ |PC′|＝|PA|＋ |PC|.(1)设点 B 对于 l 的对称点B′的坐标为 (a， b)，则 k BB′·k l＝－ 1，即b－ 43×＝－ 1，所以 a＋ 3b－12＝ 0①.a又因为线段 BB′的中点坐标为a，b＋4，且中点在直线上，22a b＋ 4所以 3×－－ 1＝ 0，即 3a－ b－ 6＝ 0② .22联立①②得， a＝ 3， b＝ 3，所以 B′(3，3) ．于是直线 AB′的方程为y－1＝x－4，即 2x＋ y－9＝ 0. 3－ 13－ 43x－ y－1＝ 0， x＝ 2，解得2x＋ y－ 9＝0， y＝ 5，即此时所求点P 的坐标为 (2， 5)．3，24 (2)设点 C 对于 l 的对称点为 C′，同理可求出 C′的坐标为5 5 .所以直线 AC′的方程为19x ＋ 17y－ 93＝ 0，113x－ y－1＝ 0x＝7，解，得2619x ＋ 17y－ 93＝ 0，y＝71126故此时所求点P的坐标为7，7 .。
高中数学必修5全册人教A版(2024)
如果集合A是集合B的子集且集合B是集合A的子集 ，那么集合A与集合B相等，记作A=B。
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集合基本运算
01 并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集 合，记作A∪B（或B∪A）。
02 交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的 集合，记作A∩B（或B∩A）。
圆与圆的位置关系
通过比较两圆圆心距$P$与两圆半径 之和$R + r$和之差$|R - r|$的大小关 系，可以判断两圆的位置关系（外离 、外切、相交、内切、内含）。
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空间直角坐标系
空间直角坐标系的概 念
在空间中选定一点$O$作为原点，过 点$O$作三条互相垂直的数轴$Ox, Oy, Oz$，它们都以$O$为公共原点 且一般具有相同的长度单位。这三条 轴分别称作$x$轴（横轴），$y$轴 （纵轴），$z$轴（竖轴），统称为 坐标轴。它们的正方向符合右手规则 ，即以右手握住$z$轴，当右手的四 个手指$x$轴的正向以$pi/2$角度转 向$y$轴正向时，大拇指的指向就是 $z$轴的正向。这样就构成了一个空 间直角坐标系，称为空间直角坐标系 $O-xyz$。定点$O$称为该坐标系的 2024/1/2原9 点。与之相对应的是左手空间直角
空间两点间的距离公 式
在空间直角坐标系中，任意两点 $A(x_1, y_1, z_1)$和$B(x_2, y_2, z_2)$之间的距离公式为
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空间几何体三视图和直观图
01 中心投影与平行投影
02 三视图的形成及其特性 02 由三视图还原成实物图
(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)
第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
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1.5三视图、表面积、体积的综合应用练习
1.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积为().
A.9π
B.9
C.3π
D.3
【解析】由题意设圆锥的底面半径为r,则有2πr=6π,所以r=3,则圆锥的高为h==,所以V=Sh=×π×32×=3π.
【答案】C
2.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是().
A.4
B.
C.
D.6
【解析】由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=(1+4+2)·2=,故选B.
【答案】B
3.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于.
【解析】∵圆M的面积为3π,∴圆M的半径r=.设球的半径为R,由图可知,
R2=R2+3,
∴R2=3,∴R2=4,∴S球=4πR2=16π.
【答案】16π
4.已知几何体的三视图如下,试求它的表面积和体积.
【解析】由图可知此几何体是正三棱柱,高为2,底面边长为4,底面正三角形的高为2, 所以V=S底h=×4×2×2=8,
S表=2S底+S侧=2××4×2+3×4×2=8+24.
5.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为().
A.1∶2∶3
B.1∶3∶5
C.1∶2∶4
D.1∶3∶9
【解析】两个截面截得两个圆锥,与原圆锥共三个,它们的底面半径之比
r1∶r2∶r3=1∶2∶3,它们的母线长之比l1∶l2∶l3=1∶2∶3,所以它们的侧面积之比
S1∶S2∶S3=1∶4∶9,所以S1∶(S2-S1)∶(S3-S2)=1∶3∶5.
【答案】B
6.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,底面是一个两直角边分别为1和2的直角三角形,若三棱柱的外接球的表面积为9,则三棱柱的体积为().
A.1
B.
C.2
D.3
【解析】设三棱柱的外接球的半径为R,则4πR2=9π,解得R=,因为底面是直角三角形,所以底面斜边所在的侧面的对角线恰好是外接球的直径,所以侧棱的长h==2,所以三棱柱的体积为V=×1×2×2=2.
【答案】C
7.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.
【解析】由三视图知,棱长为2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为2,即为球的直径,所以球的表面积为S=4π()2=12π.
【答案】12π
8.在底面半径为R,高为h的圆锥内有一内接圆柱,求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,并求此时侧面积的最大值.
【解析】如图,设圆柱的高为x,
其底面半径为r,则=,∴r=.
圆柱的侧面积S侧=2πrx=·x(h-x)=-(x2-hx)
=-[(x-)2-]=-(x-)2+.
当x=时,S侧最大值=.
即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为,此时侧面积的最大值为πRh.
9.把圆柱延轴截面剖开,取其中一块为底座,并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具,直观图和正(主)视图如图所示,则该小玩具的体积为.
【解析】根据三视图数据可知底座半圆柱的半径为2,母线长为8,四棱锥的底面是边长为4和8的矩形,高为4,所以体积V=π×22×8+×4×8×4=16π+.
【答案】16π+
10.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m (底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积.
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积.
(3)哪个方案更经济些?
【解析】(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积
V1=Sh=×π×()2×4=π m3.
如果按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积V2=Sh=×π×()2×8=96π m3.
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.
棱锥的母线长l==4,则仓库的表面积S1=π×8×4=32π m2.
如果按方案二,仓库的高变成8 m.
棱锥的母线长为l==10,则仓库的表面积S2=π×6×10=60π m2.
(3)∵V2>V1 ,S2<S1,∴方案二比方案一更经济.。