上海市进才中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题沪教版
上海重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【答案】必要不充分【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.2．已知向量，则向量的坐标为______．()()()3,5,1,2,1,3,1,1,2a b c =-==-- 4a b c -+ 【答案】 ()5,012-，【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.【详解】由题意可知，. ()()()()435121341,125012a b c -+=--+--=- ，，，，，，，故答案为： ()5,012-，3．已知球的体积是，则该球的半径为______． 9π2【答案】## 32 1.5【分析】根据球的体积公式，代入就可求得半径. 34π3V R =【详解】设球的半径为R ,根据球的体积公式,即，解得. 34π9π32V R ==3278R =32R =故答案为：. 324．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为______．【答案】##0.8 45【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况：，()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6，共有15种情况，()()()4,5,4,6,5,6其中数字之积是2的倍数的情况有，()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,6,4,5,4,6,5,6共12种情况，故概率为. 124155=故答案为： 455．用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为______．【答案】16【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，， a O C a ''=1122O A OA a ''==高， 1sin 452A D O A a '=''==∴对应直观图的面积为，故原正方形的面积为16，2a 216a =故答案为:16．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该3cm 2cm 3cm 圆柱的体积为______．3cm 【答案】12π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为，母线长为，2cm r =3cm l =所以该圆柱的体积为2π12πV r l ==3cm 故答案为：．12π7．棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是______．【答案】【分析】设正四面体的顶点在平面中的投影为点，进而得是侧棱与底面所P ABC O PCO ∠PC ABC 成角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，设正四面体的顶点在平面中的投影为点，P ABC O 所以，由正四面体的性质可知，平面，且为等边三角形的中心，OP ⊥ABC O ABC 所以，是侧棱与底面所成角，且是等边三角形的边的中线，PCO ∠PC ABC OC ABC AB 因为正四面体的棱长为，-P ABC 2所以，OC=OP ==所以，在中，，Rt POC △tan OPPCO OC ∠==所以，侧棱与底面所成角的大小是故答案为：8．圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为______． 2π3【答案】27π【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：2π36π⨯=2π3.则扇形面积即圆锥侧面积为：. 6923ππ=21292723ππ⨯⨯=故答案为：27π9．正三棱锥底面边长为4，则二面角的大小为______．-P ABC P BC A --【答案】【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.P BCA --PMA ∠【详解】取的中点，连接，BC M ,PM AM ∵，则，4,PB PC PA AB AC BC ======,PM BC AM BC ⊥⊥故二面角的平面角为，P BC A --PMA ∠由题意可得：，3,4PM AM PA ===∵，且， 222cos 2PM AM PA PMA PA AM +-∠==⋅[]0,πPMA ∠∈故二面角的大小为P BC A --故答案为：10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆雉母线在圆台中的1:4部分）长为9，则原圆锥的母线长______．【答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 14CD AB =//,9CD AB BD =设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， l 914CD ED l AB EB l -===12l =即原圆锥的母线长为.12故答案为：.1211．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中a 1111ABCD A B C D -M N ABCD 11BB C C 心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．A M N2【分析】连接AC ，, ,找到过点A 、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面1B C 1AB M N 边长，即可求得答案.【详解】如图连接AC ，则AC 过点M ,连接,则经过点N ,连接,1B C 1B C 1AB则过点A 、、的平面截正方体的截面为等边，M N 1ACB A 因为正方体棱长为，故， a 1ACBA22)= 212．设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．128,,,x x x ⋅⋅⋅12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【答案】54【分析】设的平均数为，结合的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得128,,,x x x ⋅⋅⋅x 128,,,x x x ⋅⋅⋅到的平均数和方差.12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【详解】设的平均数为，则，且128,,,x x x ⋅⋅⋅x 1288x x x x ⋅⋅+++=⋅，()()()2122288648x x x x x x ⋅⋅⋅-+-+-+=⨯=故的平均数为， 12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+()128128383131313188x x x x x x x +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=++=+方差为()()()8212223131313131318x x x x x x +--++--+⋅⋅⋅++--. ()()()22228194854898x x x x x x ⎡⎤⋅⋅⋅+⎢=-⎦+-+-⎥⨯⎣==故答案为：54二、单选题13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）l r αn l α∥A ．B ． ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,2,3,0,3,2r n =-=C ．D ． ()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()1,3,5,1,0,1r n ==-【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.l α∥l r αn r ⋅n 0=【详解】若，则；l α∥r ⋅n 0=对于A ：，，故A 错误； ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,0,01,0,010r n ⋅-=⋅=-≠ 对于B ：，，故B 正确；()()1,2,3,0,3,2r n =-= ()()1,2,30,3,20r n =-⋅⋅= 对于C ：，，故C 错误；()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()0,1,11,0,110r n -⋅⋅-==-≠ 对于D ：，，故D 错误；()()1,3,5,1,0,1r n ==- ()()1,3,51,0,140r n =⋅-⋅=-≠ 故选：B.14．下列命题中真命题是（ ）A ．四边形一定是平面图形B ．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C ．四边形四边上的中点可以确定一个平面D ．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面A B C ∈αA B C ∈βαβ【答案】C【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．【详解】对于A ，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A 错误；对于B ，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B 错误；对于C ，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C 正确；下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，ABCD E F G H AD AB BC CD 连接，，，BD FE GH 由，为，，则，且，同理，且， E F AD AB FE BD ∥1=2FE BD GH BD ∥1=2GH BD 所以，且，所以四边形为平行四边形．FE GH A =FE GH EFGH对于D ，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D 错误．A B C αβ故选：C ．15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．B ．C ．D ． 7105838310【答案】B 【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B. 40155408-=【解析】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．16．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A 正确；0.020.040.066%+==该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B 正确；0.040.0230.1010%+⨯==该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D 正确；0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. ⨯频率组距组距三、解答题17．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表：高一 高二 高三 男生（人数）149 x y 女生（人数）143 130z已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16(1)求的值；x (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名?【答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案.（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知. 0.16,128800x x =∴=（2）高三年级人数为，800(149143)(128130)250-+-+=故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 2503210800⨯=18．甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为： 甲乙 1 10 3 33 3 6 7 7 9 92 23 6 68 8 8 8 9如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．【答案】选择甲，理由见解析【分析】分别求出，和，，然后比较大小即可求解. x 甲x 乙2S 甲2S 乙【详解】依题意，， 888893939697979910129493x ++++++++==甲， 8889929293969610310329493x ++++++++==乙 2222212222889488949394939493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣甲 222222222296949794979499941019416633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦2222212222889489949294929493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣乙， 2222222222939496949694103941039423633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦所以，.x x =甲乙22S S <甲乙所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.19．三棱锥中，，分别为，中点，，A BCD -O E BD BC 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求证：平面；AO ⊥BCD (2)求异面直线与所成角的大小．AB CD 【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； OC AO BD ⊥AO OC ⊥（2）取的中点M ，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，AC OM ME OE 、、AB CD 解三角形，即可求得答案.【详解】（1）连接，∵ O 为的中点， OC AB AD ==BD∴，,且, AO BD ⊥112OD BD ==1AO ===又，O 为的中点，2CA CB CD BD ====BD∴，且，CO BD ⊥CO ===在中，，AOC A 2224AO CO AC =+=∴，即，=90AOC ∠︒AO OC ⊥又平面，,,OC BD O OC BD =⊂ BCD ∴平面.AO ⊥BCD （2）取的中点M ，连接， AC OM ME OE 、、由E 为的中点，知，BC ,ME AB OE DC ∥∥∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，OE EM AB CD 在中，，， OMEV 12EM AB ==112OE DC ==由平面，平面,所以,AO ⊥BCD OC ⊂BCD AO OC ⊥∵是直角三角形斜边上的中线，∴, OM AOC 112OM AC ==在中，由余弦定理可得：OEM △222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠=⋅==由于异面直线所成角的范围为， π(0,2所以异面直线与所成角的大小为. AB CD 20．如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，1111ABCD A B C D -112AA =E 1CC 且().1=CE CC λ 0λ>（1）当时，求三棱锥的体积； 1=2λ1D EBC -（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值. BE 1D C 2arccos 3λ【答案】(1) (2) 16λ=【详解】试题分析：（1）正四棱柱中，平面，可得1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC；（2）以为原点，射线、、作轴、11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=D DA DC 1DD x y 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹z ()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 角余弦公式列方程求解即可.试题解析：（1）由，得， 又正四棱柱，则平面， 11=2CE CC 1CE =1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC 则 . 11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如D DA DC 1DD x y z 图），则，，，，()1,1,0B ()0,1,2E λ()10,0,2D ()0,1,0C 即，()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 又异面直线与所成角的大小为， BE 1D C2arccos 3则23化简整理得，又，即. 2165λ=0λ>λ=【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一Rt AOB △2OA OB ==C OB AOB A BO 周．设逆时针旋转至，旋转角为，．OA OD θ[)0,2θ∈π(1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；ABC A V S (2)当时，求点到平面的距离； π3θ=O ABD (3)若，求旋转角．AC BD ⊥θ【答案】(1)， . 4π3V =S =+(3)或. 2π3θ=4π3θ=【分析】(1) 旋转体的体积为圆锥与圆锥的体积之差; 表面积为圆锥与圆锥的侧面BO CO S BO CO 积之和;(2)三棱锥与三棱锥体积相等,使用等积转化法求点到平面的距离；B AOD -O ABD -O ABD (3) 取中点,连接,得,在求得,在中由余弦定理得OD E ,CE AE AC CE ⊥Rt ACE A AE AOE △cos AOE ∠,从而求得旋转角．θ【详解】（1）设底面半径为,圆锥底面面积为,底面周长, 母线R BO 2π4πS R '==4πL =.AB ==圆锥的体积，侧面积. BO 1118π4π2333V S BO '=⋅=⨯⨯=14π22L S AB =⨯=⨯=圆锥的体积 ，CO 1114π4π1333V S CO '=⋅=⨯⨯=AC ==. 24π22L S AC =⨯==旋转一周所得旋转体的体积. ABC A 124π3V V V =-=旋转一周所得旋转体表面积.ABC A 12S S S =+=+（2）,π,3OA OD AD θ=∴== 2AOD S R ∴=A, ∴11233B AOD AOD V S OB -=⋅==A 在中,连接,取的中点,连接, ABD △AD AD M BM,, 2BA BD AD ===BM ===所以11222ABD S AD BM =⋅⋅=⨯=A 设点到平面的距离为，O ABD h，13O ABD ABD B AOD V S h V --∴=⋅=A 13h ∴=h ∴=即点到平面O ABD （3）取中点,连接, OD E ,CE AE, 1//,2CE BD CE BD ∴==,,AC BD AC CE ⊥∴⊥在中,Rt ACE A AC CE ==AE ∴=在中,由余弦定理得, AOE △2,1,OA OE AE ==2224171cos 22212OA OE AE AOE OA OE +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯，， ()0,AOE ∈π∠ 2π3AOE ∴∠=,或. [)0,2θπ∈ 2π3θ∴=4π3θ=。
2013-2014年上海市浦东区高二(上)期中数学试卷及参考答案
2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是．2．（3分）=．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5=．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第行，第列．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．915．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是a n=（﹣1）n．【解答】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列，且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴此数列的一个通项公式是a n=（﹣1）n．故答案为：a n=（﹣1）n．2．（3分）=．【解答】解：==•=．故答案为：．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=8．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a3+a7=2a5=16，∴a5=8．故答案为：8．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=2．【解答】解：∵等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，∴，解得b3=2．故答案为：2．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是（，﹣）．【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴向量=（4，﹣3）同向的单位向量（，﹣）．故答案为：（，﹣）．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=﹣16．【解答】解：∵直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，∴BC==5，∴cosC==，∴•=﹣•=﹣||•||cosC=﹣4×5×=﹣16．故答案为：﹣16．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=6n﹣5．【解答】解：数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，∴a1=S1=3﹣2=1，n≥2时，S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，n=1时，上式成立，∴a n=6n﹣5．故答案为：6n﹣5．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5= 4．【解答】解：在各项都是正数的等比数列{a n}中，∵a2a8+2a5a3+a2a4=16，∴=（a5+a3）2=16，解得a3+a5=4．故答案为：4．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=2n﹣1．【解答】解：∵f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+n=2×+n=n2．∴f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2﹣n2=2n+1．故答案为：2n+1．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是等边三角形．【解答】解：∵在△ABC中，b=c=6，∴△ABC为等腰三角形，又bccosA=36cosA=18，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．【解答】解：∵（）n=0，∴﹣1＜＜1．解得：．故答案为：12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第45行，第77列．【解答】解：由数表中的变化规律，知第n行有2n﹣1个连续自然数，∵1+3+5+…+（2×45﹣1）==2025，1+3+5+…+（2×44﹣1）==1936，2013﹣1936=77，∴2013位于数表中的第45行，第77列．故答案为：45，77．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若S n=an2+bn（a≠0），则当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an+b﹣a，当n=1，a1=S1=a+b满足a n=2an+b﹣a，此时当n≥2，a n﹣a n﹣1=2an+b﹣a﹣2a（n﹣1）﹣b+a=2a为常数，则数列{a n}成等差数列，即充分性成立，若a n=1，满足数列{a n}成等差数列，但数列{a n}前n项的S n=n，不满足S n=an2+bn （a≠0），即必要不充分条件，故数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：数列，，1，3，…的首项为，公比为3，S n==，由S n=＞100，得3n＞1801，∵36=729，37=2187，∴数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是7．故选：B．15．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）【解答】解：∵与所成的夹角是180°，∴=λ（1，﹣2），∵||=，∴λ2+4λ2=45∴λ=±3，∵两个向量方向相反，∴λ=﹣3，∴=（﹣3，6）故选：C．16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选：A．三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q（|q|＜1），依题意得：=①=②两式相除得q=．将q=代入①得a1=32．∴此数列的首项为32，公比为．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【解答】解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵向量⊥向量….1′∴•=0….1′∴﹣3x﹣10=0 ….1′∴x=﹣…1′（2）∵向量与向量的夹角为钝角∴•＜0且•≠﹣1 …2′∴﹣3x﹣10＜0且﹣3x﹣10≠﹣1 ….2′∴x的取值范围是（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞）…2′．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．=S n（n∈N*），且a1=1得【解答】解（1）：由a n+1a2=﹣….1′a3=﹣….1′a4=﹣…..1′（2）：猜想：a n=…2′下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1、n=2时，a1=1，a2=﹣，猜想结论成立…1′（ⅱ）假设当n=k（，k≥2，k∈N*），猜想结论成立．当n=k+1时，a k+1=S k=﹣（S k﹣1+a k）=﹣S k﹣1a k=a k a k===…3′由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立．…1′．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1+1∴a n+1=2a n﹣1+2∴a n+1=2（a n﹣1+1）∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列…2′又∵a1=1，∴a1+1=2∴a n+1=2•2n﹣1，∴a n=2n﹣1….2′（2）解：∵b n===….2′∴T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+﹣+…+=1﹣，∴T n=1 ….2′=100C n（3）解：∵C n+1=2+lgC n， (2)∴lgC n+1∴{lgC n}是以2为公差的等差数列 (1)又∵C1=10，∴lgC1=1lgC n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴C n=102n﹣1，（n∈N*）…1．第14页（共14页）。
上海市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________． 【答案】4π【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径， 1h =1r =则表面积. ()24S r r h ππ=+=故答案为：4π2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、80100人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受12015情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】6【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.120156********⨯=++故答案为：63．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，4212B B 、212W W 、从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____. 2Ω=【答案】（答案不唯一）121121{},,B B BW B W 【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可. 2【详解】从袋中任取个球，2共有如下情况.121112212212,,,,,B B BW BW B W B W WW 其中一个不等可能的样本空间为，121121Ω},,{B B BW B W =此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间. 故答案为：.(答案不唯一)121121Ω},,{B B BW B W =4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____. 1cm 22cm π【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案. 1cm 22cm π【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为, r SA l O 如图:12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在中, SOA Rt ∆1cos 2OA SAO SA ∠==∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:.3π故答案为:.3π【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程800度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数80080080表的第行到第行：4632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____. 5636【答案】328【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算， 6253,313457,736,007,328,800故抽到的第名员工的编号是. 6328故答案为：3286．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）8100的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值8683x y +为________.【答案】10【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.【详解】甲班平均分()18678798285868094968x =⨯++++++++解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数， 8x =45即，解得，所以. 8084832y ++=2y =10x y +=故答案为：107．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______. 462【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公23式可得答案.【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l 长为， 2r =3R =2则圆台的高h ===故圆台的体积.()()222211223333V h r rR R =⋅++=+⨯+=ππ8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到369的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占36,36,37,37,40,43,43,44,44(),x s x s -+总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到） x s 1%【答案】56%【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案. 【详解】因为，363637374043434444409x ++++++++==，即，2161699099161610099s ++++++++==103s =， 110130,33x s x s -=+=所以年龄在内的人数为， 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为. 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5100%56%9⨯≈故答案为：56%9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满31111ABCD A B C D -P ABCD足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________. 1D P 1CC π6DP【答案】3π4【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解. 1D P 1DD π6DP =【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为， 11//DD CC 1D P 1CC π6只需与直线所成角的大小为， 1D P 1DDπ6所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 1D P 1DD π6，所以1π6tan DP DD=DP =点的轨迹是以 PD 所以在上扫过的面积为. DP ABCD 213ππ44⨯⨯=故答案为:. 3π410．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】67【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 6634C 所以有个直角三角形， 3412C 48⨯=所以所求的概率为， 486567=故答案为：. 6711．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数 1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数____________ 60P =【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵，1032443460200100+++=故这批电子元件的第60百分位数160. 160180601702P +==故答案为：170.12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其20中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一1010次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________. 【答案】##0.512【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的12话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：①甲红乙两红，概率为；111222⨯⨯②甲白乙先红后白，概率为；111222⨯⨯③甲白乙先白后红，概率为；111222⨯⨯④甲白乙两红，概率为，111222⨯⨯所以乙获胜的概率是.111142222⨯⨯⨯=故答案为：12二、单选题13．现要完成下列项抽样调查：2①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；4②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教3602805525职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ） 72A ．①简单随机抽样，②分层抽样 B ．①简单随机抽样，②简单随机抽样 C ．①分层抽样，②分层抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样 【答案】A【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法. 【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； ②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样． 故选：A.14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为80%41（ ） A ．B ．C ．D ．5126252566251136251625【答案】A【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率1和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为. 1041344414256256512(()()555625625C C ++==故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.15．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1A D 1D BA ．直线与直线垂直，直线平面 1A D 1DB //MN ABCD B ．直线与直线平行，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD BC ．直线与直线相交，直线平面 1AD 1D B //MN ABCD D ．直线与直线异面，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD B 【答案】A【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面1AD ∥MN AB MN ，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.ABCD 1A D ⊥1ABD 11A D D B ⊥【详解】连接，在正方形中，由M 为的中点，可知，且M 为1AD 11ADD A 1A D 11AD A D M = 1A D 的中点，.11AD A D ⊥又∵N 为D ，B 的中点，∴. ∥MN AB ∵平面，平面， AB ⊂ABCD MN ⊄ABCD ∴∥平面.MN ABCD ∵平面，平面， AB ⊥11ADD A 1A D ⊂11ADD A ∴，1AB A D ⊥∵，平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂1ABD∴平面， 1A D ⊥1ABD ∵平面， 1D B ⊂1ABD ∴，故A 正确. 11A D D B ⊥故选：A16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与ABCD CDFE EFC ∆FC EC 所成角的取值范围是（ ）ACA ．B ．C ．D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，AF AC CF ==3ACF π∠=4ECF π∠=EFC ∆FC ，且，结合线线角的取值范围即得解.CEA ECF FCA ∠≤∠+∠CEF ACF ECF ∠≥∠-∠【详解】如下图所示，连接，因为正方形和，则，，又因为面AF ABCD CDFE AD CD ⊥FD CD ⊥AD DC DF ==面，面面，ABCD ⊥CDFE ABCD ⋂CDFE CD =则面， AD ⊥CDFE 因此.AD DF ⊥因此，，， 222AF AD DF =+222AC AD DC =+222CF CD DF =+则， AF AC CF ==因此 3ACF π∠=因为，4ECF π∠=则当沿着直线旋转一周， EFC ∆FC 712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=，12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 CEF ∠EC AC CEF ∠当为钝角时，直线和所成的角等于的补角CEF ∠EC AC CEF ∠因此直线和所成的角的取值范围是EC AC ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高2 r=OP==所以圆锥的体积为.2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以，OD D PA122OD PA==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O⊥⋂=所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.OC⊥PAB ODC∠在中，，所以.Rt ODC,22COD OD OCπ∠===4ODCπ∠=即直线CD与平面PAB所成角的大小为.4π18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x 、y 的值.【答案】（1）（2）x ＝40，y ＝5 710【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l 人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出10539N =N ，从而能求出x ，y 的值试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2）， （B 2，B 3），（B 1，B 3）.其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）， （S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴ ,解得x ＝40，y ＝5.∴x ＝40，y ＝5.【解析】古典概型及其概率计算公式19．在长方体中，，，，为棱的中点.1111ABCD A B C D -2AB =2BC =14CC =M 1CC（1）求证：平面；BM ⊥11A B M （2）求异面直线和所成的角的大小. BM 1B A【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面22211BB BM B M =+1BM B M ⊥11A B ⊥11BCC B ，可以证明，即得证；11A B BM ⊥（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余'M 1DD '//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠弦定理可得解【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点. 2AB =2BC =14CC =M 1CC故114BM B M BB =====即：222111BB BM B M BM B M =+∴⊥又长方体，故平面 1111ABCD A B C D -11A B ⊥11BCC B 平面，BM ⊂11BCC B 11A B BM ∴⊥又1111A B B M B = 平面BM ∴⊥11A B M （2）取为中点，连接，故 'M 1DD 'MM '////MM CD AB 且'MM CD AB ==故四边形为平行四边形'ABMM 故，即异面直线和所成的角的大小即为'//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠连接，11B D11''B A AM B M======2221111''cos'2'AB AM B MB AMAB AM+-∠==⋅1'B AM∴∠=因此异面直线和所成的角的大小为BM1B A【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件1K2K1L2L3L概率0.6 0.5 0.4 0.5 0.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；1K2K(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；1K2K(3)求在时间T 内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.8； (3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得. i B (1,2,3)i L i =()()()32122P P P B P B P B =+【详解】（1）设表示发生故障， i A (1,2)i K i =则，()()120.6,0.5P A P A ==单位时间T 内，与同时发生故障的概率：1K 2K ．()()1120.60.50.3P P A P A ==⨯=（2）在时间T 内．由于或发生故障而影响电路的概率：1K 2K ． ()()()()()()2121212P P A P A P A P A P A P A =++0.60.50.40.50.60.50.8=⨯+⨯+⨯=（3）设表示发生故障，则i B (1,2,3)i L i =，()()()1230.4,0.5,0.7P B P B P B ===在时间T 内，任一元件发生故障而影响电路的概率：()()()32122P P P B P B P B =+0.80.40.50.7=+⨯⨯．0.94=21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，GDP 把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表： 空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200天数2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？ 附：空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200 200-300300 空气质量指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良91.667100<（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为 .22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为元. 8502100600⨯+⨯=又元，50006004400-=所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．。
上海市2013学年高二年级第二学期期末数学试卷
上海市2013学年高二年级第二学期期末数学试卷（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1．计算：2(12)(32)1i i i+-++＝ 2.ϑ∈(π，23π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 3.一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是 4. 已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 5.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,倾斜角为45°的直线截得的线段长为6. 若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C 的方程为8. 已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －52y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：9.已知a R ∈，且2k παπ≠+，k Z ∈设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠， 给出下列结论：①l 的倾斜角为arctan(tan )α；②l 的方向向量与向量(cos ,sin )a αα=共线；③l 与直线sin cos 0x y n αα-+=()n m ≠一定平行；④若04a π<<，则l 与y x =直线的夹角为4πα-；⑤若4k παπ≠+，k Z ∈，与l 关于直线y x =对称的直线l '与l 互相垂直．其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）10.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a -=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是11.若点P 在曲线C 1：28y x =上，点Q 在曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则||||PO PQ 的最大值是 12.已知A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的公共顶点。
上海市吴淞中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
一、填空题：1．132111014--的值为 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅= ．5．若||1||2||2a b a b ==-= ，，则||a b +=． 6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是 ．7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量1)b =- ，则2a b - 的最大值是 ． 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则45a b -= ．9．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 ．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为 ．11．已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b的夹角的取值范围是 ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ．14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13 ”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（ ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式．20．如图所示，1OA OB == ，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5= ，且OC m OA n OB =⋅+⋅ ，求实数m n 、的值．21．已知向量(cos sin )a αα= ，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系ka b kb +=-，（k 为正整数）．（1）求将a b表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b，的夹角θ．22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S 整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．上海市吴淞中学2014学年第一学期高二年级数学考试卷一、填空题：1．132111014--的值为5 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为45 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．111102413⎛⎫⎪-⎝⎭4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅=24- ．5．若||1||2||2a b a b ==-= ，，则||a b +=6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是[01)，7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量1)b =- ，则2a b - 的最大值是 4 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则45a b -= 39．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为8-．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为11．已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ．],3[ππ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 10 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是[)21-，； 14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 10 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ B ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13 ”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ B ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ D ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（C ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式． 解答：323n a n =-+．20．如图所示，1OA OB == ，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5= ，且OC m OA n OB =⋅+⋅ ，求实数m n 、的值．解：如图所示，()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 0001,22B ⎛- ⎝⎭，()51OC ,10-,2222mOA nOB m n ⎛⎫⎛=+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即，，1-2.52m m n n n ⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩， OB OA OC 3353310+=∴，m n ∴==21．已知向量(cos sin )a αα= ，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系ka b kb +=-，（k 为正实数）．（1）求将a b表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b，的夹角θ． 解：（1）21()(0)4k f k k k+=> （2）()f k 的最小值为12，此时，3πθ=22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．于是}{n a 是等比数列，公比为21，所以)211(4211])21(1[2n n n S -=---⋅=（3）不等式211<--+m S m S n n ，即21)211(4)211(41<----+mmn n ，整理得6)4(22<-<m n假设存在正整数n m ,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，m -4为整数，则只能是4)4(2=-m n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴14,42;24,22m m n n 或因此，存在正整数21,2,3;1,21<--====+m S m S n m n m n n 使或23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S ．整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由． 分析：（1）2)1()1()2()1(1=+=+=f f f f a631)2()1()3()1()4()3()2()1(12=++=+++=+++=a f f f f f f f f a 3(1)(2)(3)(8)22a f f f f =++++=（2）)2()2()1(11--+++=n n f f f a ，。
2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。
2013年高二期末考试复习练习题(一)
2013年高二期末考试复习练习题（一） 1. 已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为 。 2. 椭圆131222yx的焦点为1F、2F，点P在椭圆上，若线段1PF的中点在y轴上，那
么12:PFPF 。 3. 已知圆22:(1)25Cxy以及定点(1,0)A，Q为圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
4. 椭圆2255xky的一个焦点是)2,0(，那么k 。
5. 双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r . 6. （2009年宁夏海南卷）双曲线24x212y=1的焦点到渐近线的距离为 . 7. （2009年天津卷）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 . 8. （2009年江西卷）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点, 若
12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程为 .
9. （2011年闵行区二模）若直线)0,(022babyax始终平分圆082422yxyx的周长，则12ab的最小值为 .
10. （2011年闵行区二模）已知双曲线22221xyab与抛物线28yx有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，5PF，则双曲线两条渐近线方程为 . 11. （2011年徐汇区二模理）方程22440xyyx所表示的曲线与直线yxb有交点，则实数b的取值范围是 . 12. （2010年浙江卷）设O为坐标原点，12FF、是双曲线22xa－22yb＝１(0,0)ab的焦点，若在双曲线上存在点P，满足1260FPF，OP=7a，则该双曲线的渐近线方程为 . 13. （2010年普陀区二模）在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足 |||3|zizi，则直线l的倾斜角为 .
上海市吴淞中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题沪教版
上海市吴淞中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题沪教版一、填空题：1．132111014--的值为 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅= ．5．若||1||2||2a b a b ==-=，，则||a b += ． 6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是 ．7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量(31)b =-，，则2a b -的最大值是 ．8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则45a b -= ．9．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 ．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为 ．11．已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ．14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13?…”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}sts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（ ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式．20．如图所示，1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5=，且OC m OA n OB =⋅+⋅，求实数m n 、的值．21．已知向量(cos sin )a αα=，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系3ka b a kb +=-，（k 为正整数）．（1）求将a b 表示为k 的函数()f k ；（2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b ，的夹角θ．22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S 整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．上海市吴淞中学2014学年第一学期高二年级数学考试卷一、填空题：1．132111014--的值为5 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为45 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．111102413⎛⎫⎪-⎝⎭4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅=24- ．5．若||1||2||2a b a b ==-=，，则||a b +=6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是[01)，7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量(31)b =-，，则2a b -的最大值是 4 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则45a b -= 39．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为8-． 10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为11．已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ．],3[ππ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 10 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是[)21-， ；14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 10 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ B ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13?…”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ B ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ D ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}sts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（C ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式． 解答：323n a n =-+．20．如图所示，1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5=，且OC m OA n OB =⋅+⋅，求实数m n 、的值． 解：如图所示，()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 0001,22B ⎛- ⎝⎭，()51OC ,10-22mOA nOB m n ⎫⎛=+=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即，，1-32.52m m n n ⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩， OB OA OC 3353310+=∴，m n ∴==21．已知向量(cos sin )a αα=，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系3ka b a kb +=-，（k 为正实数）．（1）求将a b 表示为k 的函数()f k ；（2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b ，的夹角θ．解：（1）21()(0)4k f k k k+=> （2）()f k 的最小值为12，此时，3πθ=22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ；（3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．于是}{n a 是等比数列，公比为21，所以)211(4211])21(1[2n n n S -=---⋅=（3）不等式211<--+m S m S n n ，即21)211(4)211(41<----+mmn n ，整理得6)4(22<-<m n假设存在正整数n m ,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，m -4为整数，则只能是4)4(2=-m n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴14,42;24,22m m n n 或因此，存在正整数21,2,3;1,21<--====+m S m S n m n m n n 使或23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S ．整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．分析：（1）2)1()1()2()1(1=+=+=f f f f a631)2()1()3()1()4()3()2()1(12=++=+++=+++=a f f f f f f f f a 3(1)(2)(3)(8)22a f f f f =++++=（2）)2()2()1(11--+++=n n f f f a ，。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析（时间120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B. C. D.2.设双曲线上的点到点的距离为15，则点到的距离是（）A. 7B. 23C. 7或23D. 5或233.命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A. 分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为（0，1）B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为（1，0）D. 开口向右，焦点为5.已知a、b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面．下列选项中说法正确的是（）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a⊥α，b⊥a，则b∥α③若a⊥α，b⊥β，a∥b则α∥β④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bA. ①②B. ③④C. ②③D. ③6.已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.7.已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.8.椭圆+=1上的点到直线（t为参数）的最大距离是（）A. 3B.C. 2D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）A. B. 与所成的角为60°C. D. 与所成的角为60°10.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A. 离心率的最小值为4B. 当m=2时，离心率最小C. 离心率最小时，双曲线的标准方程为D. 离心率最小时，双曲线的渐近线方程为11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）A. 对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等B. 对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形C. 存在点F，使得EF∥平面A1C1DD. 存在点F，使得EF⊥平面BDC112.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A. 点的坐标为B. 若直线过点，则C. 若，则的最小值为D. 若，则线段的中点到轴的距离为三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为．14.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是．15.将边长为的正方形沿翻折成直二面角，若四点在同一个球面上，则该球的体积等于_______________.16.以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程.18.已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点作圆的两条弦，且互相垂直，求的最大值。
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1 上海市进才中学2013学年第一学期期终考试高二数学试卷 一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1．计算： 22lim()1000nnnn 。 2. 已经抛物线方程24yx，则其准线方程为 。 3. 若2331A，1104B，则AB 。
4.已知(2 1)a，，(1 2)b，， 则a在b上的投影为 。 5．若111111111123456abcaAbBcC，则1B化简后的最后结果等于______________。
6．已知向量(2,2)a，(5,)bk，若||ab不超过5，则k的取值范围是 。
7．若点(2,1)P平分椭圆221128xy的一条弦，则该弦所在的直线方程为 。（结果写成一般式） 8．在ABC中，1AB，2AC，()2ABACAB，则ABC面积等于 。
9．已知R，则直线sin310xy的倾斜角的取值范围是 。 10．直线mxy与曲线21xy有两个不同的交点，则m的取值范围为 。
11．如图，O为直线02013AA外一点，若0123452013,,,,,,,AAAAAAA 中任意相邻两点的距离相等，设0OAa，2013OAb，用,ab表示
0122013OAOAOAOA，其结果为 。
12．在xOy平面上有一系列的点111222(,),(,),,(,),nnnPxyPxyPxy，对于
所有正整 数n，点nP位于函数2(0)yxx的图像上，以点nP为圆心的圆nP与x轴相切，且圆nP
第一题 第二题 第三题 总分 17 18 19 20 21
学校
班级 姓名 准考证号 密 封 线 内 不 要 答
题
A1
O
A2
A0
A2013 2
与圆1nP又彼此外切，且1nnxx。则limnnnx等于 。 二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
13. 已知两条直线11:3(1)lykx，22:3(2)lykx，则下列说法正确的是 ( ) （A） 1l与2l一定相交 （B） 1l与2l一定平行
（C） 1l与2l一定相交或平行 （D）以上说法都不对
14．已知抛物线方程24yx，过点(1,2)P的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有 （ ） （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条
15．已知方程2200mxnymnmn（），则它所表示的曲线的焦点坐标为 （ ） （A）(,0)nm （B）(0,)nm （C）(0,)nm （D）(,0)nm
16．直线2x与双曲线22:14xCy的渐近线交于AB、两点，设P为双曲线C上的任意一点，若 OPaOAbOB(,abR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 （ ）
（A）222ab （B）2212ab （C）222ab （D）2212ab
三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤） 17．（满分8分）
在ABC中，已知2,3AB，1,ACk，且ABC中有一个内角为直角,求实数k
的值。
18．（满分8分，每小题各4分） 已知动圆过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切；
（1）求动圆圆心M的轨迹方程； （2）设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长。 3
19．（满分10分，第1小题6分，第2小题4分） 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑。 （1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程； （2）求支柱A2B2的高度(精确到0.01米)。
20．（满分10分，第1小题4分，第2小题6分） 已知椭圆C以双曲线2213xy的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线:lykxm与椭圆C相交于点M,N两点（M,N不是左右顶点），且以线
段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
A B O P B2 B3 B4 B1
A2 A3 A4 A1 4 21．（满分16分，本题有3个小题．第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 如图，已知双曲线1C：2212xy，曲线2C：||||1yx．P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有公共点，则称P为“1C2C型点”． （1）在正确证明1C的左焦点是“1C2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“1C2C型点；
（3）求证：圆2212xy内的点都不是“1C2C型点”．
密 封 线 内 不
要
答 题 5 上海市进才中学2013学年第一学期期终考试
（时间90分钟，满分100分） 高二数学试卷 （2014年1月）
学校 班级 姓
名
准考证号
密 封 线 内 不 要 答
题 6
第一题 第二题 第三题 总分 17 18 19 20 21
一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上） 1．计算： )10002(lim2nnnn 1000 , 2. 已经抛物线方程24yx，则其准线方程为____________。1x 3. 若1332A，4011B，则AB 73102
4.已知)12( ，a，(1 2)b，， 则a在b上的投影为________。455 5．若111111111123456abcaAbBcC，则1B化简后的最后结果等于_______6_______。 6．已知向量(2,2)a，(5,)bk，若||ab不超过5，则k的取值范围是[6,2]。 7．若点)1,2(P平分椭圆181222yx的一条弦，则该弦所在直线的方程为43110xy。 （结果写成一般式） 8．在ABC中，1AB，2AC，()2ABACAB，则ABC面积等于32。
9.已知R，则直线sin310xy的倾斜角的取值范围是5[0,][,)66。 10. 直线mxy与曲线21xy有两个不同的交点，则m的取值范围为(2,1]。
11．如图，O为直线02013AA外一点，若0123452013,,,,,,,AAAAAAA 中任意相邻两点的距离相等，设0OAa，2013OAb，用,ab表示 0122013OAOAOAOA，其结果为1007()ab。 12．在xOy平面上有一系列的点111222(,),(,),,(,),nnnPxyPxyPxy，对于所有正整数n， 点nP位于函数2(0)yxx的图像上，以点nP为圆心的圆nP与x轴相切，且圆nP与圆1nP 又彼此外切，且1nnxx。则limnnnx等于 12 。 二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内） 13. 已知两条直线11:3(1)lykx，22:3(2)lykx，则下列说法正确的是 ( D ) A1 O A2
A0
A2013 7
（A） 1l与2l一定相交 （B） 1l与2l一定平行 （C） 1l与2l一定相交或平行 （D）以上说法都不对 14．已知抛物线方程24yx，过点(1,2)P的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有 （ C ） （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条 15．已知方程）（0022nmnmynxm，则它所表示的曲线的焦点坐标为 （ C ） （A）)0,(mn（B）),0(mn（C）),0(mn （D）)0,(mn
16．直线2x与双曲线22:14xCy的渐近线交于AB、两点，设P为双曲线C上的任意一点，若 OPaOAbOB(,abR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 （ B ）
（A）222ab （B）2212ab （C）222ab （D）2212ab
三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤） 17. （8分）在ABC中，已知2,3AB，1,ACk，且ABC中有一个内角为直角,求实数k的值。 解：(1)若90,BAC即,ABAC故0ABAC,从而230,k解得23k; (2)若90,BCA即BCAC,也就是0BCAC,而1,3,BCACABk故22||||AFBF,
解得3132k； (3)若90,ABC即BCAB,也就是0,BCAB而1,3BCk,故2330k,解得11.3k
综合上面讨论可知,23k或3132k或113k。
18．（满分8分，每小题各4分） 已知动圆过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切； （1）求动圆圆心M的轨迹方程； （2）设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长； 解：（1）因为动圆M过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切，所以由抛物线定义知：圆心M
的轨迹是以定点(1,0)P 为焦点，定直线:1lx为准线的抛物线，所以 圆心M的轨迹方程为24yx ------4分 （2）由题知，直线AB的方程为3(1)yx ------5分
所以23(1)4yxyx解得：123(,),(3,23)33AB ------6分（或用弦长公式或用定义