高等数学课件--第十二章 微分方程12-8 常系数齐次线性微分方程
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常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
x
(n)
a1 x
( n 1)
an1 x an x 0
1、复值函数 定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根 方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
高等数学 第十二章 微分方 第九节 常系数非齐次线性微分方程
0 λ ± iω不是根 , k= 1 λ ± iω是单根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例2 求方程 y ′′ + y = 4 sin x 的通解 . 解 对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x , 作辅助方程
∵ λ = i 是单根 ,
y′′ + y = 4e ix ,
故 y* = Axe ix ,
∴ A = 2i ,
代入上式
2 Ai = 4,
∴ y* = 2ixe ix = 2 x sin x ( 2 x cos x )i ,
(取虚 部) 原方程通解为 y = C1 cos x + C 2 sin x 2 x cos x .
所求非齐方程特解为 y = 2 x cos x ,
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ), y * = x 2Qm ( x )e λx .
综上讨论
0 λ不是特征根 k λx * 设 y = x e Qm ( x ) , k = 1 λ是特征单根 , 2 λ是特征重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数).
可设 Q ( x ) = Qm ( x ),
y = Qm ( x )e ;
*
λx
( 2) 若λ是特征方程的单根,
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p ≠ 0,
可设 Q ( x ) = xQm ( x ),
y = xQm ( x )e ;
*
λx
( 3) 若λ是特征方程的重根,
λ2定系数法.
Pm ( x )e λx cos βx ,
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
2
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
完美版课件常微分方程
例
思2 一阶微分方程
8.2.3 一阶线性微分方程
形如 y′+p（x）y=Q（x） （8-3） 的方程称为一阶线性微分方程，其中p（x）和Q（x）是已知连续函数.
注意:所谓线性是指其中对未知函数y和y′都是一次的.
当Q（x）≡0时，有y′+p（x）y=0（8-4）
注意:在求解非齐次方程时，可以用常数变易法求解， 也可以直接由式（8-7）求解.
8.2 一阶微分方程
例 例8-9】求解方程(dy)/(dx)-ycotx=xsinx.
解 方法一 常数变易法.首先对齐次线性方程 (dy)/(dx)-ycotx=0 分离变量，得(dy)/y=cotxdx 积分，得ln｜y｜=ln｜sinx｜+C1, 因此，齐次方程的通解为y=Csinx（C=±eC1） 将上式中的C变易为C（x），再把y=C（x）sinx代 入原方程，得C′（x）sinx+C（x）cosx-C（x） sinxcotx=xsinx,即C′（x）=x 因此C（x）=(1/2)x2+C 于是原方程的通解为 y=C（x）sinx=（(1/2)x2+C）sinx
8.2 一阶微分方程
微分方程研究的主要问题就是如何求解，但并不是所有的微分方程都能用初等积分的方 法求出.因此，我们不能奢求能够解出所有的微分方程，但是对于某些特殊类型的方程， 是可以用初等积分的方法求解的.
8.2.1 可分离变量的微分方程 在一阶方程中，如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至 方程两边，然后就可以分别对y和x积分求解. 形如 (dy)/(dx)=f（x）g（y）［g（y）≠0］ （8-1） 的方程称为可分离变量的微分方程. 对式（8-1），可以将关于y和x的式子分开，得(dy)/g（y）=f（x）dx 然后两边积分得∫(dy)/g（y）=∫f（x）dx+C
高等数学课件微分方程D129常系数非齐次微分方程
1 b 1, b 0 1 3
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2 x 例2. 求方程 的通解. y 5 y 6 y x e 2 解: 本题 2, 特征方程为 r 5 r 6 0 ,其根为 r 2 , r 3 1 2
2 x 3 x 对应齐次方程的通解为 Y C e C e 1 2 2 x 设非齐次方程特解为 y * x ( b x b ) e 0 1
1
1 2
x
由初始条件得
2019/3/12
C C C 0 1 2 3 1 C 2 C 2 3 2
C 4 C 0 2 3
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解得
C1 3 4 C 2 1 C 1 3 4
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2 1 x 2 x ( 3 2 x 4 e e ) 4
k x 特解 y * x Q ( x ) e ( k 0 , 1 , 2 ) m
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此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
2019/3/12
例1. 求方程 的一个特解. y 2 y 3 y 3 x 1 2 解: 本题 0, 而特征方程为 r 2 r 3 0 ,
于是所求解为
2019/3/12
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~ x ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 型 二、 f l n
2019/3/12 高等数学课件
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高数第八节 常系数非齐次线性微分方程
y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
y py qy f ( x)
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解：( x) C1 cos x C2 sin x
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 方法二、作辅助方程 y y 4eix ,
sin x 是 ei x 的虚部, Pm ( x) 4, i
i 是单根, 故 y* Axeix ,
综上讨论，方程的特解总可设为
0 不是根
y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
其中： Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm b0 , b1,, bm 可用待定系数法确定。
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)