均值不等式基础方法15类总结-(原卷版)
均值不等式1
均值不等式1、基本不等式（1）222a b ab +≥(),a b R ∈； 变形：222a b ab +≥（2）a b +≥(),a b R +∈； 变形：2a b +≥（3）22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭(),a b R +∈； （4）2a b b a +≥()0ab >； 变形：12x x+≥()0x >； 以上涉及到a ，b 的不等式都当a b =时取等号。
2、求最值设,x y 为正数，若x y s +=（和为定值），当x y =时，xy 有最大值24s ；若xy t =（积为定值）， 当x y =时，x y +有最小值。
3、利用均值不等式求最值要注意的问题① 不等式（2）的应用时应注意,a b 均为正数；不等式（4）一般也要求为正数； ② 求最值时一定要判断不等式的右边是否为定值；③ 检验等号是否成立。
口诀：一正二定三相等。
考点：求最值例1（1）已知0,0x y >>；且21x y +=，求11x y +的最小值；（2）已知54x <，求14245y x x =-+-的最大值；（3）已知0,0x y >>；且191x y+=，求x y +的最小值。
变式：下列选项中最小值为2的有 。
（12； （2； （3）x y y x +； （4）2221x x x -+-；（5）2212x y xy++； （6）1sin sin x x +； （7）33x x -+； （8）log log a x x a +。
例2（2010重庆）已知0,0x y >>，则228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 。
变式：（2008江苏）已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz 的最小值是 。
例3 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x 元）在5080x <<时，每天售出的件数为()521040P x =-。
高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式公式完全总结归纳非常实用不等式均值公式
均值不等式归纳总结1. （1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+（2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ﻩﻩ(当且仅当b a =时取“=”)2． (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2ﻩ(２)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）３.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“＝”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)4.若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2）求最值的条件“一正,二定，三取等”(３)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例１:求下列函数的值域(1)y=3x２＋错误!（２）y=x+错误!解：（1)y=３x２＋错误!≥2错误!＝错误!∴值域为［错误!,+∞）(2)当ｘ＞0时,y=x+１ｘ≥2错误!＝2；当x<０时， ｙ＝ｘ＋错误!= －（－ ｘ－错误!）≤-2错误!=-２ ∴值域为（-∞,-２]∪[２,＋∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
ﻩ 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
均值不等式及其应用(原卷版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．1103．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A．B．1C．1D．2-4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．125．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．C ．2D ．46．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ）A ．2B ．12x x C ．4D．7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+D ．38．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．39．若正实数满足，则（ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最大值10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ） A ．B ．C ．D ．11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．1512．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 14．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______． 15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.16．若，且，则的最小值为_______．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．19．已知，求证：.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．22．设a>0，b>0，且证明：（1）a＋b≥2；（2）a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)讲解学习
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (3)【题型四】“积定求和”型 (4)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (4)【题型六】“常数”因子法： (5)【题型七】“单分母”构造因子法 (6)【题型八】“双分母”构造法 (6)【题型九】有和有积无常数型 (7)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (8)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (8)【题型十二】多元分离型 (9)【题型十三】反解消元型 (9)【题型十四】换元型 (10)【题型十五】较简单的三元均值 (11)培优第一阶——基础过关练 (11)培优第二阶——能力提升练 (13)培优第三阶——培优拔尖练 (14)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．22.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．3【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ） A ．22B ．222 C ．2 D 2【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。
不必记忆，直接根据结构转化1.．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若1()(2)2f x x x x =+>-在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．1 B ．3 C ．72D ．42.（2022·全国·高一课时练习）若实数1x >，则121x x +-的最小值．．．为（ ） A 21B ．222C 2D ．223.（2021·江苏·高一专题练习）设0x y >>，则41x x y x y+++-的最小值为（ ） A ．32B ．23C ．4 D 310【题型三】“和定求积”型【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ） A ．22B ．4C ．6D ．8【提分秘籍】 基本规律如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)1.（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）若01x <<，则当()43y x x =-取得最大值时，x 的值为（ ） A ．1B ．43C ．34D ．232.．（2021·全国·高一课时练习）若,a b ∈R ，0ab >，21a b +=，则14ab ab -+为（ ）A ．14B ．1516C ．1D ．17163.（2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝4，则(1＋x )(1＋2y )的最大值为（ ） A ．36 B ．4C ．16D ．9【题型四】“积定求和”型【典例分析】（2021·浙江省杭州学军中学高一期中）已知0a >，1b >，且()19a b -=，则a b +的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【提分秘籍】 基本规律如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)1.（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数,x y 满足1xy =，则22x y +的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．82.（2021·新疆·巴楚县第一中学高一期中）已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【题型五】单元（单变量）分离常数型【典例分析】（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【提分秘籍】 基本规律分离常数可以从两方面考虑： 1.以分母为主元构造分子2.直接换元分母（一般式一次型）1.（2021·全国·高一课时练习）若41x -<<，则2221x x x -+-有（ ）A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值2-D ．最大值2-2.（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知x >1，则221x x +-的最小值是（ ）A ．32B ．32C ．3D ．23.（2020·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知0t >，函数221t y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【题型六】“常数”因子法：【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）若正数,x y 满足315x y+=，则34x y +的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．6【提分秘籍】基本规律 利用常数11m m⨯=代换法。
多称之为“1”的代换1.（2022·全国·高一专题练习）已知0a >，0b >，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．202.（2022·全国·高一专题练习）已知0a >，0b >，且12a b +=，则4b a+的最小值是（ ）A ．92B ．2C ．9D ．43.（2021·广东·阳春市第二中学高一阶段练习）已知0x >，0y >，且821x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．10 B ．15 C ．18 D ．23【题型七】“单分母”构造因子法【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）已知正实数,x y 满足24x y +=，则121x y++的最小值是（ ） A ．9 B ．73C ．116D ．95【提分秘籍】 基本规律以分式分母为主元进行构造1.（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若13a ≤≤，则114a a+-的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12.（2021·全国·高一单元测试）若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为（ ） A ．2 B ．98C ．94D ．323.（2021·河南·濮阳一高高一期中）若正实数x 、y 满足1x y +=，且不等式241312m m x y +<++有解，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．3m <-或32m > B ．32m <-或3m >C ．332m -<<D ．332m -<<【题型八】“双分母”构造法【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）已知22a b -=，且02a b <+<，则112a b a b++-的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【提分秘籍】 基本规律一般情况下，可以把分母相加（或者倍系数后再相加），与条件所给的 等式，存在倍数关系1.（2022·全国·高一单元测试）已知0x ≥，2y >，且111224x y +=+-，则x y +的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．322.（2021·浙江·高一期中）若实数124(1)2x y x y +=＞，＞，则11-12-1x y +的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．43 D ．23.（2022·全国·高一课时练习）若0,0x y >>，且11121x x y+=++，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．22C ．12D ．222+【题型九】有和有积无常数型【典例分析】（2021·江苏·赣榆一中高一阶段练习）若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，若不等式234yx m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4- B ．()4,1- C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),30,-∞-⋃+∞【提分秘籍】 基本规律利用同除，可以得到“1”的代换形式均值1.（2022·全国·高一专题练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．112.（2021·黑龙江·铁人中学高一期中）已知0,0,280x y x y xy >>+-=，则x y +和xy 的最小值分别是（ ） A ．16 ，32B ．16 ，64C ．18，32D ．18，64【题型十】有和有积有常数型：求“积”型【典例分析】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设0a >，0b >，45a b ab +=-，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．9C ．16D ．25【提分秘籍】 基本规律求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。