向量的运算基本定律
三角形向量的运算的所有公式
三角形向量的运算的所有公式哎呀，今天咱们来聊聊三角形和向量，说起这两个小家伙，真是让人又爱又恨。
别看它们在数学课堂上总是乖乖坐着，其实它们可是有着一肚子故事呢。
三角形像极了个小山头，向量就像那爬山的小虫子，一步一个脚印，要把整个山头都搞定。
咱们来看看，这些“山”和“虫”到底是咋一回事！1. 向量的基本概念首先，咱们得弄清楚向量到底是什么。
简单来说，向量就是有大小和方向的“箭头”，就像你跟朋友指路时，要告诉他“往东走三步，再往北转一圈”。
没错，大小和方向缺一不可！在三角形里，向量通常用来表示边的方向和长度。
1.1 向量的表示法向量通常用字母加粗或带箭头的方式来表示，比如 (vec{a)、(vec{b)。
而且，三角形的每条边都可以用两个点之间的向量来表示：比如三角形的顶点A、B、C，那么边AB就可以用向量 (vec{AB = vec{B vec{A) 来表示。
简单吧？1.2 向量的运算接下来，咱还得明白向量应该如何“打交道”。
加法、减法、数乘……这些都是它们的拿手好戏。
比如，如果你有两个向量，咱们可以把它们叠加起来，形成一个新的向量，这就像是把两根不同风味的冰淇淋合在一起，味道立马升级！那么，计算的公式就显得尤为重要了：vec{a + vec{b = begin{pmatrix。
a_x + b_xa_y + b_yend{pmatrix这就是个直白的求和公式，没什么复杂的。
减法也是这么个理儿，直接把一个向量“抹掉”就行了。
2. 三角形的基本性质接下来说说三角形，大家都知道，三角形是最简单、最基础的图形了。
来，咱们八卦一下三角形的那些小秘密吧——比如内角和、外角，嘿嘿。
2.1 内角和一个三角形的内角和永远是180度，这就像一家人聚餐，大家围坐在一起，不能一人吃得太多，不然会撑死的！你想，一个三角形如果偏离了这个定律，那真是要打破天规了。
2.2 外角定理而外角就更有趣了，外角等于不相邻的两个内角之和——就像外面有人悄悄说：“里面的兄弟姐妹真有意思，你们听说了吗？”简单粗暴，直接明了！3. 三角形向量的结合马马虎虎讲完了向量和三角形的基本概念，咱们现在进入最有趣的部分——这二者的结合。
德摩根定律洋葱数学
德摩根定律洋葱数学德摩根定律是数学中一个重要的定律，它的全称是德摩根定理。
这个定律描述了分配律和结合律在向量空间中的性质。
德摩根定律可以应用于向量运算、矩阵运算以及其他数学领域。
德摩根定律的应用广泛，尤其是在向量空间中。
它的基本表述是：对于任意的向量a、b和c，有（a + b）c = ac + bc 和（a - b）c = ac - bc。
这个定律简化了向量运算，使得我们可以更方便地处理向量问题。
洋葱数学是一门在线教育课程，旨在通过有趣、互动的方式教授数学知识。
德摩根定律是洋葱数学中一个重要的知识点。
学习德摩根定律，可以帮助学生更好地理解向量运算，掌握向量运算的规律，从而提高解决实际问题的能力。
在实际问题中，德摩根定律有着广泛的应用。
以下是一个例子：假设有一个三角形ABC，其中角A、角B、角C分别为45°、45°和90°。
我们可以用向量表示三角形的三条边，设向量AB为a，向量BC为b，则向量AC为a + b。
现在，我们在三角形ABC的边上施加一个向量c，那么三角形ABC的面积可以表示为1/2 * |a × b|，其中×表示向量的叉乘运算。
根据德摩根定律，我们可以将向量a和向量b表示为向量AC和向量BC的差，即a = AC - BC，b = BC - AC。
将这两个等式代入面积公式，我们可以得到三角形ABC的面积为1/2 * |(AC - BC) × (BC - AC)|。
这样，我们就利用德摩根定律将向量运算转化为更简单的形式，从而更容易计算出三角形ABC的面积。
总之，德摩根定律是数学中一个重要的定律，它在向量空间、矩阵运算等领域具有广泛的应用。
学习德摩根定律，可以帮助我们更好地理解向量运算，提高解决实际问题的能力。
平面向量平行四边形法则
平面向量平行四边形法则首先，我们定义平面向量为具有大小和方向的箭头。
一个平面向量可以用坐标表示为(x,y)，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y 轴上的分量。
两个向量可以用平行四边形法则进行运算，包括加法、减法和数乘。
平面向量的加法可以使用平行四边形法则来描述。
假设有两个向量a 和b，它们的起点相同，分别指向A和B。
首先，在A点处画一条与向量b平行且长度等于向量b的线段，连接B点和该线段的终点C。
接下来，连接A和C，得到一个平行四边形。
这条连接线段AC表示向量a加上向量b的结果，即a+b。
用公式表示为：AC=a+b向量的减法也可以通过平行四边形法则来计算。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向A和B。
我们可以将向量b取负并标记为-b，然后使用向量加法来计算两个向量的差。
即：AC=a+(-b)这样我们就得到了向量a减去向量b的结果，可以表示为a-b。
这个结果就是连接A和C的线段AC。
除了加法和减法，平面向量还可以进行数乘运算，即一个向量乘以一个标量。
数乘也可以通过平行四边形法则来进行计算。
假设有一个向量a 和一个标量k，我们可以通过将向量a的长度按比例缩放k倍来计算数乘的结果。
即：AC=k*a这样我们就得到了原向量a的长度增加或缩小k倍的新向量AC。
为了证明平面向量的平行四边形法则，我们可以使用数学中的向量运算定律。
我们首先考虑两个向量相加的情况。
根据表示向量的坐标形式，我们可以将两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)相加，并对它们的x和y分量分别进行求和。
即：a+b=(x1+x2,y1+y2)这个结果的坐标表示为AC=(x1+x2,y1+y2)，根据平行四边形法则，我们可以得到向量a和向量b的和。
然后，我们考虑向量的减法情况。
根据向量的坐标表示和向量加法的性质，我们可以将向量的减法转化为向量的加法，并使用一个取相反数的向量进行计算。
即：a-b=a+(-b)=(x1,y1)+(-x2,-y2)=(x1-x2,y1-y2)同样，根据平行四边形法则，我们可以得到向量a减去向量b的结果。
平面向量的基本定理及坐标表示(教学设计)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示[教学目标]一、知识与能力：1． 了解平面向量基本定理。
2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？.在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2.把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。
2.3.1平面向量基本定理(教学设计)
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》） 1 / 6 2．3．1平面向量基本定理（教学设计）
[教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理．
一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律 结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb 3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2
的向量表示呢？.
在平面内任取一点O，作OAe1，OBe2，OCa，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得OM1e1，ON2e2. 由于OCOMON，所以a=1e1+2e2，也就是说任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.
1． 平面向量基本定理
（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得 SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》） 2 / 6 a=1e1+2e2.
平面向量十个需要牢记的重点知识
平面向量十个需要牢记的重点知识1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.①用有向线段表示；2.向量的表示方法：②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
22a x y=+ ；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；4.平行向量：②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a - b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b + ),(2121y y x x ++=，a b - ),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8.向量共线定理:向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
向量积的右手法则
向量积的右手法则向量积（也称为叉乘或矢量积）是向量运算中的一种重要运算，用来求得两个向量的叉积向量。
在三维空间中，两个非零向量的叉积结果是另一个向量，它与已知两个向量垂直。
要理解向量积的右手法则，需要首先了解向量的方向和正负。
在三维空间中，我们可以用右手法则来确定向量的方向以及向量积的方向。
右手法则基于右手的形状和方向。
我们先将右手伸直，然后将大拇指、食指和中指相互垂直，并保持它们之间的角度不变。
这时，大拇指指向的方向被定义为正方向，食指和中指的方向被定义为自然方向。
在应用右手法则时，我们需要确定两个向量的方向。
首先，我们将拇指指向第一个向量的方向，然后将食指指向第二个向量的方向。
接下来，我们需要用手掌的方向指向向量积的方向。
如果手掌的方向与大拇指的方向相反，那么向量积的方向就是正方向；反之，如果手掌的方向与大拇指的方向相同，则向量积的方向就是负方向。
此外，还可以通过右手法则来推导向量积的模长。
向量积的模长等于两个向量的模长乘以它们之间夹角的正弦值。
假设两个向量的模长分别为A和B，其夹角为θ，则向量积的模长为|A × B| = |A| × |B| × sinθ。
向量积的右手法则在物理学、几何学和工程学中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 确定平面的法向量：假设我们有两个非零向量a和b，它们在平面内且不平行。
为了确定平面的法向量，我们可以通过求取a和b的向量积来得到一个垂直于平面的向量，即a × b。
根据右手法则，我们可以确定平面的法向量的方向。
2. 磁感应强度的方向：在电磁学中，当电流通过导线时，会产生一个磁场。
根据安培定律，电流元素与导线上一点的位置矢量的叉积给出了磁感应强度的方向。
通过右手法则，我们可以确定磁场的方向。
3. 角动量方向：角动量是物体旋转时的物理量，它的方向垂直于旋转轴。
通过右手法则，我们可以确定旋转轴和角动量的方向。
4. 扭矩的方向：在力学中，扭矩是物体绕一个轴旋转的力矩，其方向由右手法则确定。
向量加法的平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则是物理学家用来解释两个或多个向量之间的叠加的方法。
它的用途广泛，包括计算动量、能量和力等物理量。
平行四边形法则假设一对无穷远的平行直线，其间有一个向量A：A = a1 + a2 + a3 + ... + aN其中a1，a2，a3，…，aN是平行直线之间的向量。
根据平行四边形法则，如果用向量B和A相加，则可以得到： B + A = b1 + b2 + b3 + ... + bN可以把A和B的叠加看作是先给A叠加B，然后B经过相应的变换，成为平行于T1，T2，T3，…，Tn这些平行直线的新向量。
根据此，可以把A的叠加看作是由其分量的叠加构成的，也即：B + A = (b1 + a1) + (b2 + a2) + (b3 + a3) + ... + (bN + aN)这就是向量加法的平行四边形法则的基本原理。
向量加法的平行四边形法则可以被应用到不同的物理现象中。
例如，如果有一个物体，它被两个独立的力所击打，力F1和F2，则该物体所受的总力就可以经过向量加法的平行四边形法则来确定：F1＋F2＝（F1＋F2）1＋（F1＋F2）2＋（F1＋F2）3……另外，向量加法的平行四边形法则也可以用来计算动量。
根据牛顿第二定律，动量是体积力的函数，即：动量=体积力×时间。
假设一个物体在受到两个力的影响的情况下，做了一段时间的运动，此时，它的动量可以通过以下公式来计算：ΔP = (ΔF1 +F2)Δt其中ΔP表示动量，ΔF1和ΔF2分别表示两个力，Δt表示时间。
另外，还可以用向量加法的平行四边形法则来计算能量。
比如，一个物体受到了两个力的作用，如果要计算它的总能量，可以使用：ΔE = (ΔF1 +F2) r其中ΔE表示能量，ΔF1和ΔF2分别表示两个力，r表示距离。
总之，向量加法的平行四边形法则是一种重要的物理学原理，它可以用来解释动量、能量和力等物理量之间的关系。
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向量的运算基本定律
1．实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
⑴结合律：λ(μa)=(λμ) a;
⑵第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa;
⑶第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2．向量的数量积的运算律：
⑴ a·b= b·a （交换律）;
⑵（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
⑶（a+b）·c= a ·c +b·c.
3．平面向量基本定理：
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的任一向量，有且只有一对实
数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基
底．
4．向量平行的坐标表示：
设a=
11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则ab(b0)1221
0xyxy
.
5．a与b的数量积(或内积)：
a·b=|a
||b|cosθ．
55. a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cosθ的乘积．
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6．平面向量的坐标运算：
⑴设a=
11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212
(,)xxyy
.
⑵设a=
11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212
(,)xxyy
.
⑶设A
11(,)xy，B22
(,)xy
,则2121(,)ABOBOAxxyy.
⑷设a=(,),xyR，则a=(,)xy.
⑸设a=
11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212
()xxyy
.
7．两向量的夹角公式：
1212
2222
1122
cosxxyyxyxy
(a=
11(,)xy,b=22
(,)xy
).
8．平面两点间的距离公式：
,AB
d
=||ABABAB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy).
9．向量的平行与垂直：
设a=
11(,)xy,b=22
(,)xy
，且b0，则
A||bb=λa
1221
0xyxy
.
ab(a0)a·b=0
1212
0xxyy
.
10．线段的定比分公式：
设
111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12
PP
的分点,是实数，且
12
PPPP
，则
11．三角形的重心坐标公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为
11A(x,y)、22B(x,y)、33
C(x,y)
,
则△ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.
12．点的平移公式：
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
'
F
上的对应点
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为
'''
(,)Pxy
，且'PP的坐标为(,)hk.
13．“按向量平移”的几个结论：
⑴点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点
'
(,)Pxhyk
.
⑵ 函数()yfx的图象C按向量a=(,)hk平移后得到图象
'
C
,
则
'
C
的函数解析式为()yfxhk.
⑶ 图象
'
C
按向量a=(,)hk平移后得到图象C,若C的解析式
()yfx,则'C的函数解析式为()yfxhk
.
⑷曲线C:(,)0fxy按向量a=(,)hk平移后得到图象
'C,则'
C
的
方程为(,)0fxhyk.
⑸ 向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为
m=(,)xy.
4．三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，
则
⑴O为ABC的外心
222
OAOBOC
.
⑵O为ABC的重心0OAOBOC.
⑶O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.
⑷O为ABC的内心0aOAbOBcOC.
⑸O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.