灵敏度分析在数学建模中的应用
数学建模实验报告
《数学建模实验》实验报告学院名称数学与信息学院专业名称提交日期课程教师实验一：数学规划模型AMPL求解实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
（1）建立模型文件：milk.modset Products ordered;param Time{i in Products }>0;param Quan{i in Products}>0;param Profit{i in Products}>0;var x{i in Products}>=0;maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;（2）建立数据文件milk.datset Products:=A1 A2;param Time:=A1 12 A2 8;param Quan:=A1 3 A2 4;param Profit:=A1 24 A2 16;(3) 建立批处理文件milk.runmodel milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;solve;display x;(4)运行运行结果：CPLEX 11.0.0: optimal solution; objective 33602 dual simplex iterations (1 in phase I)x [*] :=A1 20A2 30;（5）灵敏度分析：model milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;option cplex_options 'sensitivity';solve;display x;display x.rc, x.down, x.up;display raw, time, capacity;display raw.down, raw.up,raw.current, raw.slack;得到结果：【灵敏度分析】: x.rc x.down x.up:=A1 -3.55271e-15 64 96A2 0 48 72;raw = 48time = 2capacity = 0raw.down = 43.3333raw.up = 60raw.current = 50raw.slack = 0某公司有6个建筑工地，位置坐标为(a i, b i)(单位：公里),水泥日用量d i (单位：吨）1) 现有j j j吨，制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
灵敏度分析
为了确定模型中主要因素，我们对该模型采用Sobol 法进行灵敏度分析判断其全局敏感性.Sobol 法是最具有代表性的全局敏感性分析方法，它基于模型分解思想，分别得到参数1,2次及更高次的敏感度。
通常1次敏感度即可反映了参数的主要影响。
Sobol 法Sobol 法核心是把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数.假设模型为),...,)((21m x x x x x f Y ==，i x 服从［0,1]均匀分布，且(x)f 2可积，模型可分解为:)(...)()()(n ,...,2,11k 21j i ij i ni i ,...x x ,x f x f x f f(0)x f ++++=∑∑<=则模型总的方差也可分解为单个参数和每个参数项目组合的影响：∑∑∑1=≠1=,,2,11=)+(+=n i n j i j n ij n i i D D D D对该式归一化，并设： D D S n n i i i i i i ,,,,,,2121=可获得模型单个参数及参数之间相互作用的敏感度S 由式（2)可得：∑∑∑1=,,2,1≠1=1=+++=1n i n n j i j ij n i i S S S式中，si 称之为1次敏感度；Sij 为2次敏感度，依此类推；nS ,,2,1 为n 次敏感度,总共有1-2n 项。
第i 个参数总敏感度STJ 定义为： ∑=)(i Tj S S 它表示所有包含第i 个参数的敏感度。
模型中4个输入参数分别为推力,角度，比冲，月球引力常量。
因为月球引力常量和比冲为物理恒定值,不会产生干扰.所以这里我们对角度,推力进行敏感性分析。
设角度初值为o 150，推力为4500N 时，做出高度变化图像如图所示.151时，做出高度图像如图所示不改变力大小，调节角度为o不改变角度大小，调整力大小为7500N时,做出高度变化图像如图所示：由图像对比可知，角度变化对模型结果影响较大，力变化对模型结果影响较小。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工具或方法。
数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。
解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。
仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。
数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。
数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。
下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。
一、数学模型的分类数学模型主要包括解析模型和仿真模型。
下面分别介绍：1、解析模型解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解数学表达式或数值解的模型。
它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。
解析模型主要包括以下几种类型：（1）几何模型几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。
如，根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。
几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。
（2）微积分模型微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。
如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。
（3）代数模型代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。
如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。
代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。
（4）概率统计模型概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。
如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。
又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。
2、仿真模型仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。
计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。
数学建模方法与经验
数学建模方法与经验数学建模是一种解决实际问题的方法，通过建立数学模型来描述现象和探索解决问题的方法。
数学建模方法与经验是指在数学建模过程中所运用的各种方法和经验总结，旨在提高数学建模的效果和准确性。
以下是一些常见的数学建模方法与经验。
1.问题分析：正确的问题分析是数学建模的第一步，需要对问题进行深入的理解和分析。
问题分析包括问题的背景、目标、约束条件和关键要素等方面的考虑，并根据实际情况确定数学建模的方向和方法。
2.建立模型：建立数学模型是数学建模的核心步骤，需要根据问题的特征和要求选择适当的数学方法和模型类型。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型、优化模型等。
在建立数学模型时，需要包括问题的数学描述、变量的定义、假设和约束条件等。
3.数据处理：数学建模中离不开数据的处理和分析。
数据处理包括数据采集、数据预处理、数据清洗、数据可视化等步骤。
数据的准确性和可靠性对数学建模的结果具有很大的影响，因此需要进行有效的数据处理和分析。
4.模型求解：在建立好数学模型后，需要选择合适的算法和方法来求解模型。
常见的模型求解方法包括数值方法、解析方法、优化算法等。
选择合适的求解方法有助于提高模型求解的效率和准确性。
5.模型验证与评估：模型验证是指对建立的数学模型进行验证和评估，判断模型的准确性和可靠性。
模型验证可以通过实验数据对比、模型输出与实际情况对比等方式进行。
模型评估可以通过误差分析、灵敏度分析等方法进行。
6.模型优化与改进：在建立数学模型和求解模型的过程中，可能会遇到一些问题和困难。
这时需要根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型优化可以通过调整模型参数、改进求解算法等方式进行。
在进行数学建模时，还需要注意以下几点经验：1.问题的抽象与简化：在建立数学模型时，问题往往会比较复杂，需要对问题进行适当的抽象与简化。
适当的抽象与简化可以使问题更容易理解和求解。
2.多种方法的比较：在建立数学模型时，可以尝试不同的方法和模型，比较它们的优缺点，选择最合适的方法和模型。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
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汇报人：
价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
模型灵敏度计算公式怎么用
模型灵敏度计算公式怎么用在机器学习和统计建模中，模型的灵敏度是一个重要的指标，用来衡量模型对输入数据的变化有多敏感。
在实际应用中，我们经常需要评估模型的灵敏度，以便了解模型的稳定性和可靠性。
本文将介绍模型灵敏度的计算公式以及如何使用这些公式来评估模型的性能。
模型灵敏度的定义。
模型的灵敏度是指模型输出对输入数据的变化的敏感程度。
在统计学中，灵敏度通常用来衡量模型对输入数据中的误差或扰动的反应程度。
一个灵敏度较高的模型对输入数据的变化更为敏感，而一个灵敏度较低的模型对输入数据的变化则不太敏感。
在实际应用中，我们经常需要评估模型对输入数据的变化的反应程度，以便了解模型的鲁棒性和可靠性。
模型的灵敏度可以帮助我们判断模型在不同输入条件下的表现，从而更好地理解模型的性能。
模型灵敏度的计算公式。
模型的灵敏度可以通过不同的指标来计算，常用的计算公式包括：1. 输入变量的偏导数，对于线性模型或者可微分模型，可以通过计算模型输出对输入变量的偏导数来评估模型的灵敏度。
偏导数的绝对值越大，表示模型对输入变量的变化越敏感。
2. 输出变量的标准差，对于非线性模型或者不可微分模型，可以通过计算模型输出的标准差来评估模型的灵敏度。
标准差越大，表示模型对输入数据的变化越敏感。
3. 输入变量的变化率，对于分类模型或者离散模型，可以通过计算模型输出在不同输入条件下的变化率来评估模型的灵敏度。
变化率越大，表示模型对输入数据的变化越敏感。
以上这些计算公式可以帮助我们评估模型对输入数据的变化的反应程度，从而更好地理解模型的性能。
模型灵敏度的应用。
模型的灵敏度在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在金融领域，我们经常需要评估模型对市场波动的反应程度，以便了解模型在不同市场条件下的表现。
在医疗领域，我们经常需要评估模型对不同疾病的诊断结果的反应程度，以便了解模型在不同疾病条件下的表现。
在工程领域，我们经常需要评估模型对不同工艺参数的变化的反应程度，以便了解模型在不同工艺条件下的表现。
MBA数据模型与决策：灵敏度分析
▪ 目标系数同时变动的百分之百法则：如果若干个目 标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该 系数允许变动量的百分比，再将所有系数变动百分 比相加，若所得之和不超过百分之一百，则最优解 不会改变，若所得之和超过了百分之一百，则不能 确定最优解是否改变。
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 如果未来的情况有变化的话，最优解将会如 何变化？(实际问题中获得所需的数据是相当 困难的，有时只能得到所需的数据的估计值)。
▪ 管理层在做出最终决策之前，必然想知道如 果这些估计量与实际情况有一定的误差时最 优解将会如何变化，或估计值在什么范围内 变化时，不会影响最优解
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 案例分析:丽欣公司广告投入与收益均衡问题(P14) 广告运动推销三种产品
(1) 儿童奶粉---目标: 增加市场份额 8% (2) 鲜牛奶---目标: 增加市场份额 13% (3) 成人奶粉---目标: 增加市场份额 5%
广告手段 (1) 促销会-----单位成本100万 (2) 电视-------单位成本 210万元 (3) 印刷媒体-------单位成本 160万元
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 分别讨论下列数据或条件变化时对于最优基 （最优解）的灵敏度分析： 1) 目标函数系数C的变化； 2) 右端常数的b变化； 3)增加新变量和新的约束条件的变化； 使用 Excel电子表格进行灵敏度分析
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 电子表格的一个很大的优点是方便展开各种 灵敏度分析，当某一参数发生变化时，只需 要改变电子表格中相应的数据，重新按“规 划求解”按钮求出新的解。
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灵敏度分析在数学建模中的应用灵敏度分析是指通过对模型的参数或变量进行微小的变化，分析其对模型结果的影响程度，从而判断模型的稳定性和可靠性。
在数学建模中，灵敏度分析是一个非常重要的工具，可以帮助研究者对模型进行优化和改进，提高模型的精度和可靠性，进而为实际问题的解决提供更加可行的方案。
一、灵敏度分析的基本思想
灵敏度分析是指在一组偏离参考值不大的参数或变量的变化下，研究模型结果随之变化的过程。
通过描述这种变化，可以评估模型在参数或变量变化时的稳定性和可靠性，进而帮助研究者确定哪些参数或变量对模型结果影响最大，从而针对性地进行调整和改进。
二、灵敏度分析的应用场景
灵敏度分析广泛应用于各种实际问题的数学建模中，例如：
1、工程建模：在工程建模中，灵敏度分析可以帮助研究者实现设计的优化，降低成本和风险。
例如，可以对比不同变量或参数组合下
的模型结果，分析为什么某种组合会使模型结果更优秀，从而对设计方案进行优化。
2、金融建模：在金融建模中，灵敏度分析可以帮助研究者确定价格和市场变化对模型结果的影响，从而更好地预测未来市场的发展趋势，优化金融风险管理方案。
3、医学建模：在医学建模中，灵敏度分析可以帮助研究者评估药物或疗法对疾病的疗效和副作用的影响，从而更好地指导医疗决策和治疗方案选择。
三、灵敏度分析的方法和步骤
进行灵敏度分析的方法和步骤通常包括以下几个方面：
1、选择模型：选择合适的数学模型是进行灵敏度分析的第一步。
模型必须能够描述研究对象的特征和关系，同时易于进行参数或变量的微小变化。
2、确定变化范围：确定模型中参数或变量的变化范围，一般是基于实际问题的特点和实验数据的分析得出的。
3、计算偏导数：通过计算模型对参数或变量的偏导数，可以得到模型结果对它们的敏感程度。
4、分析结果：分析结果可以帮助研究者确定哪些参数或变量的变化会对模型结果产生重要的影响，并评估模型在给定参数或变量变化范围内的稳定性和可靠性。
四、灵敏度分析的优缺点
灵敏度分析是一种非常有用的数学建模工具，具有以下优点：
1、能够确定模型结果对参数或变量的敏感程度，为模型优化提供了指导。
2、可以帮助研究者评估模型的稳定性和可靠性，提高模型的精度和可靠性。
3、可以应用于不同领域和不同类型的数学模型中，具有广泛的适用性。
但是，灵敏度分析也有其缺点：
1、灵敏度分析的结果仅仅是基于给定参数和变量的微小变化范围内得出的，不一定能够反映出模型在实际操作中的表现。
2、灵敏度分析仅仅是对模型结果的某种影响作出了预测，而并非真实的结果，因此需要进行验证。
3、灵敏度分析需要进行大量的计算和分析，需要一定的计算能力和统计能力。
五、结论
灵敏度分析在数学建模中具有重要的应用价值，可以帮助研究者评估模型的稳定性和可靠性，提高模型的精度和可靠性。
在实践应用中，需要根据具体问题进行分析和应用，从而更好地实现模型优化和实现实际问题的解决。