波动方程反演问题的一种新的逼近方法
地球物理反演成像方法综述
地球物理反演概述地球物理反演是近年来发展很快的地球物理学中利用地球表面及钻孔中观测到的物理数据推测地球内部介质物理参数分布和变化的方法。
其目的就是根据观测数据等已知信息求取地球物理模型。
众所周知，地球物理学中有地震学、电磁学、重力学、地磁学、地热学、放射性学和井中地球物理等学科。
尽管地球物理学家研究地球所依据的物性参数不同，方法各异，但就工作程序而言，一般都可分为数据采集，资料处理和反演解释等三个阶段。
数据采集就是按照一定的观测系统、一定的测线、测网布置，在现场获得第一手、真实可靠的原始资料。
所以数据采集是地球物理工作的基础，是获得高质量地质成果的前提和条件；资料处理的目的是通过各种手段，去粗取精，去伪存真，压制干扰，提高信噪比，使解释人员能从经过处理的资料(异常或响应)中，较准确的提取出测区的地质、地球物理信息。
所以，资料处理是从原始观测数据到地球物理模型之间的必不可少的手段和过渡阶段；反演解释的目的，用地球物理的术语来说，就是实现从地球物理异常(或响应)到地球物理模型的映射，使解释人员能从经过处理的地球物理资料(异常或响应)中提取出获得最接近真实情况的地质、地球物理模型，圆满的完成提出的地质任务。
虽然各种地球物理方法的原理、使用的仪器设备和资料采集方式有很大的不同，但是它们资料处理和反演解释的基础确有许多共同之处。
前者的基础是时间(空间)序列分析，后者的基础是反演理论。
在本文中只涉及地球物理资料的反演解释，地球物理反演是地球物理资料定量解释的理论和算法基础，也是地球物理资料处理技术的基础之一。
1 地球物理反演概述地球物理反演理论是近二三十年来才发展起来的地球物理学的一门重要分支，它是研究从地球物理观测数据向量，到地球物理模型参数向量映射理论和方法的一门学科。
虽然地球物理问题千差万别，但把地球物理观测数据和地球物理模型参数联系起来的数学表达式，却只有线性和非线性两大类。
如以d 表示观测数据向量，m 表示模型参数向量，f 是表示联系d 和m 的函数或泛函表达式，则凡满足(1)d m f m f m m f =+=+)()()(2121(2))amf=af(m()两个条件时，称f为线性函数或线性泛函，故这类问题叫线性问题，其中a为常数。
波动方程与扩散方程
波动方程与扩散方程波动方程与扩散方程是物理学中非常重要的方程，它们描述了许多自然现象和实际问题，具有广泛的应用。
本文将从定义、性质和应用等多个方面介绍这两个方程。
一、波动方程波动方程描述了机械波在空间和时间上的变化。
它的一般形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\Delta u$$其中，$u$是波函数，$t$是时间，$c$是波速，$\Delta$是Laplace算子。
波动方程有以下几个重要性质：1. 超定原理：波动方程是一个线性的偏微分方程，因此可以利用叠加原理，将多个波函数的解叠加在一起，得到新的波函数解。
2. 能量守恒：波动方程描述了机械波在空间和时间上的变化，因此波函数的能量也会随着时间变化。
但是，总能量保持不变。
3. 解析解：在一些简单的情形下，波动方程可以得到解析解，也就是解的形式可以用公式表示出来。
二、扩散方程扩散方程用于描述物质在空间和时间上的分布演化，形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\Delta u$$其中，$u$是物质浓度，$t$是时间，$D$是扩散系数，$\Delta$是Laplace算子。
扩散方程的主要性质如下：1. 保守性：扩散方程是一个线性的偏微分方程，可以保持物质总量不变。
2. 扩散速率：扩散速率与扩散系数和浓度梯度成正比，与距离成反比。
3. 时间反演性：扩散方程满足时间反演性，即方程的解在$t\rightarrow -t$时具有对称性。
三、应用波动方程和扩散方程都具有广泛的应用。
以下是两个方程在不同领域的应用举例。
1. 波动方程的应用(1) 文化遗产保护：波动方程可以用于分析文化遗产中的声音传播和振动特性，帮助人们更好地了解和保护文化遗产。
(2) 医学影像学：医学影像学的成像原理中很多都是基于波动方程的原理。
例如，X线成像、MRI、CT等。
2. 扩散方程的应用(1) 环境保护：扩散方程可以用于模拟和预测污染物在大气、水、地下水等环境中的扩散和迁移过程，有助于制定相应的环境保护措施。
地震反演技术
因此，对地震道s(t)变限求和，作为直流分量
的已被滤掉，得到的是有限带宽的相对波
阻抗，（6）式改写为：
1 2
ln(vs
)
（ 7t）s；t 积分道只是一个对数 tt0
相对波阻抗，要得到绝对波阻抗，首先计算相对波阻
抗：
vs
(t)
t
ex（p28[ t）t0 s，(t然)]后加入低频波阻抗，计算
出绝对波阻抗：
解反问题的常用方法有最小二乘法、统计回归 分析法、参数估计法、神经网络等。 地球物理反演问题在理论和方法上的重大进展， 与近20多年来解反演问题广泛应用了信息论、 线性或非线性规划、广义逆理论以及最优化方 法等一些数学工具紧密相关。 三、反演问题的几个重要事项 1、反演问题描述应考虑的问题
①地球物理数据的性质即场的性质； ②观测数据中误差及干扰； ③考虑的问题能否作为数学问题提出； ④对问题有无物理约束。
二、反演问题的例子
1、曲线拟合 利用若干个实际观测数据，拟合其曲线规律
的过程。例如，地球内部温度分布：T(z)=a+bz， 给定a,b求T(z)则为正演；据观测的T(z)，求a,b 则为反演，即拟合一条直线。 2、图像增强——数字滤波、反褶积等
褶积模型：S(t)=R(t)*W(t) • 已知R(t)和W(t)，求S(t)则为正演过程； • 已知S(t)和W(t)，求R(t)则为反演过程； • 已知S(t)和R(t)，求W(t)则为子波处理。 3、地球物理观测资料的地质解释过程就是反演 过程。
5、从反演的实现方法上分，地震反演分为递推 反演、基于地质模型反演和地震属性或地层参 数反演。
带限反演的两种基本方法，即道积分或相对波 阻抗反演和递推反演，分辨率受地震约束大。
地震反演方法及其局限性
地震反演方法及其局限性近年来，人们对地震反演技术的兴趣在不断增长。
在许多情况下，反演提高了常规地震分辨率，并不同程度地改善了储层参数的研究条件，它能获得优化的数据体，提高对资源的评价能力，更好地为油田开发研究勾绘出可开采区，提出有利的井位建议。
1.输入数据的准备处理反演数据的输入可以是叠前或叠后数据，所有输入数据要尽量干净和清晰，如果目的是要作定量解释，则振幅畸变一定要小，一定要保持真振幅特征。
消除振幅畸变的所有校正处理，包括振幅谱白噪化、增益的应用、振幅平衡、速度滤波、拉冬变换和τ-P处理，都必须谨慎小心。
对于多次波，反演前要设法去除，但为了避免不必要损失一次波，正确的折中办法是去多次波处理在反射率剖面上进行，并且最好作叠前和叠后相结合的试验。
2.子波提取子波提取包括地震与井联结和零相位化与相位旋转角两项处理。
地震联井是地震解释的关键一步，因为在地震反演流程中，要对井位处的合成记录和地震记录进行比较和标定。
合成记录是通过将标定的声波曲线转换为速度曲线，再结合密度曲线计算反射率，并将它与地震子波褶积产生。
子波是通过把井位处的合成记录与地震记录互相关，用滤波器将反射率记录转换为地震记录获取。
零相位化和相位旋转角处理是因为地震处理中的许多步骤都假定数据是零相位的，相位旋转优化了井位处的合成记录与地震道间拟合，通过设计相位旋转角，达到子波形状零相位。
3.确定性反演在确定性反演中，简单的地震记录集成法是假设密度为常数2，现在已不太使用了；色彩反演是假设地震数据体是零相位，此方法虽快，但不精确；稀疏脉冲反演假设地下是薄层的，它通过选择复合子波避开零相位的要求，其结果是一种近似；基于模型的反演，即使井控有限，地震数据质量不太好，也可获得满意的结果，而且还可用自动化技术直接从地震获得子波，甚至非零相位子波也可用于此法，目前用得较多。
4.概率统计反演用地质统计法建立地下储集层模型，对建立的模型总体或局部进行模拟，所有模型都依靠井数据。
波动方程有限差分
波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。
为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。
本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。
二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。
具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。
该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。
三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。
对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。
这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。
具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。
四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。
例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。
五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。
有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。
对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。
层析成像中的波形反演
∫
V 2 , … , V n ) 为介质速度( 将介质区域离散为 n 个网格节点) 。 将 进行 T aylor 展开并略去二阶及二阶以上导数项 : ( V+ V)= ( V) + ( 4) V i V・ V i 反 演 的 过 程 即 是 极 小 目标 函 数 的 过 程, 所 以 要 求 目 标 函 数 值 逐 次 下 降 , 即 要 求: ( V ) - ( V+ V) > 0
层析成像中的波形反演
王大川 严忠琼 李显贵
( 成都理工学院 )
【 摘 要】 在波动方程有限差分数值模拟基础上 , 用波形记录残差平方并建立目标函数。对 目标函数进行梯度优化 , 我们得出了介质速度的迭代公式。通过计算目标函数梯度我们可以 对介质进行速度校正 , 从而获得反演解。经数值试验证明这是一种很有效的反演方法。 【 关键词】 层析成像 波形反演 梯度法
・299・
对于两个较典型的模型作井间正演模拟计算 , 取其井间距为 30m , 计算井段为 60m, 划分为 31× 61 个网格, 即网格边长为 1m 。 时间采样间隔为 0. 1m s, 记录长度为 100ms 。 观 测系统布置如下图所示。 3 个炮点等距排列 , 61 个接收点在另一井等距排列。 子波函数采 用频率为 150Hz 的雷克子波 , 每个模型均获得三个共炮点记录。
第 18 卷 第 4 期 1996 年 11 月
物探化探计算技术
V ol. 18 N o. 4 N ov. 1996
COM PU T IN G T ECHN IQ U ES F O R G EO PHYSI CA L
AN D GEO CHEM ICA L EXP LO RA T ION
图 1 三个共炮点记录
井间地震资料全变差正则化波形反演
高， 一些学者开始研究频率域波动方程非线性反演 层析成像［ 。这种方法实 际上就是波动方程反 １ ¨
上进行射线追踪 以提高射线路径和旅行时 的计算 精度 ， 在较粗的网格上进行层析反演成像 ， 网格 使 像素上射线覆盖的最低次数达到一定要求 ， 提高了 成像质量＿ 。宋常瑜等提 出了一种井 间地震衰减 ｇ ］ 层析成像方法 ， 即先进行小波多尺度分解 ， 然后采
出 了一种井 间地震 层 析成像 技术 ， 即在 较 细的 网格
的稳定性差 。受计算机计算能力的限制 ， 早期的波
动方程层析主要采用 Ｂ ｒ ｏｎ近似或 Ｒ ｔｖ ｙ 近似， ｏ 将
波动方 程非 线性 反演 问题变 为线 性反 演 问题 ， 以减
少计算量＿ １ 引。这类方法要求重建 的 目标体与背景
Ｄ ：０ ３ ６ ／ ｉ ｒ ０ ０１４ ．０ １０ ． ０ ＯＩ１． ９９ ｊ ｓ ￣１ ０—４ １ ２ １ ． ３０ ４ ．ｓ
中图分类号 ： ６ １４ Ｐ ３ ．
文献标识码 ： Ａ
井间地震成像技术是研究储层横 向变化、 进行 油藏精细描述的主要技术之一 ， 应用该技术可以查 明小 断 块 、 断 层 和小 幅度 构 造 ， 测 储 层 变 化 。 小 监 井间地震成像方法包括层析成像和反射成像两大
基金项 目： 国家重点基础研究发展计划 （７ ） 目（Ｏ ７ Ｂ Ｏ ６ ４ ９３项 ２０Ｃ ２９Ｏ）
用程 函方程有限差分法进行井间地震走时计算 ， 反
演井 间速度结构［ 。 １ 。针对层析成像结果对初始速 。
三维波动方程有限差分正演方法
三维波动方程有限差分正演方法三维波动方程有限差分正演方法是地球物理勘探领域中常用的数值计算方法之一，其主要应用于地震波传播与反演等领域。
一、三维波动方程有限差分正演方法原理三维波动方程的一般形式可以表示为：\[ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = \nabla^2 p +f(x,y,z,t) \]其中$p$表示波场，$f(x,y,z,t)$表示源项函数，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子。
对于三维波动方程的有限差分正演方法，其基本的数值离散形式如下：\[ \frac{p_{i,j,k}^{n+1} - 2p_{i,j,k}^n + p_{i,j,k}^{n-1}}{\Delta t^2} = c_x^2 \frac{p_{i+1,j,k}^n - 2p_{i,j,k}^n + p_{i-1,j,k}^n}{\Delta x^2} + c_y^2 \frac{p_{i,j+1,k}^n -2p_{i,j,k}^n + p_{i,j-1,k}^n}{\Delta y^2} + c_z^2\frac{p_{i,j,k+1}^n - 2p_{i,j,k}^n + p_{i,j,k-1}^n}{\Delta z^2} + f_{i,j,k}^n \]其中$p_{i,j,k}^n$表示波场在离散网格点$(i,j,k)$处的值，$\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z$分别表示时间和空间的离散步长，$c_x,c_y,c_z$分别表示波速在$x,y,z$方向上的离散形式，$f_{i,j,k}^n$表示源项在离散网格点$(i,j,k)$处的值。
该有限差分正演方法可以通过迭代求解，即根据当前时刻$t^n$的波场值$p_{i,j,k}^n$，计算当前时刻$t^{n+1}$的波场值$p_{i,j,k}^{n+1}$。
在迭代过程中，需要进行边界条件处理和源项的更新等操作，以确保该方法的数值计算精度和稳定性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
波动方程反演问题的一种新的逼近方法
波动方程反演问题是一个既重要又有挑战性的数学问题，它在物理学，工程学，医学，经济学等多个领域有广泛的应用。
其本质是从测量参数求解未知函数，这个过程称为反演。
由于传统反演方法的计算复杂度和模型误差问题，迫切需要一种新的反演方法来提高反演效率和精度。
本文提出了一种新的反演方法，用于求解波动方程反演问题。
我们将波动方程模型化为一个非线性最优化问题，分别使用快收敛的误差函数法和混合粒子群优化算法来求解未知参数。
在实验室数据的基础上，我们将反演方法应用于几种典型的波动方程模型，并进行了详细的分析。
结果表明，与传统方法相比，本文提出的反演方法具有更高的反演准确性和更快的收敛速度。
1.动方程反演问题
波动方程反演问题是指从测量参数求解未知函数，这类问题在多个领域（如物理学，工程学，医学，经济学等）有着重要的应用。
传统的反演方法包括拟牛顿迭代法，反演积分法，局部最小二乘法，最小范数法和最小距离法等，但这些方法存在模型误差问题，计算复杂度大等缺点。
为了提高计算效率和反演精度，人们提出了一种新的反演方法，即数值优化。
在数值优化方法中，最常用的是最优化算法，它将反演问题转化为一个最优控制问题。
最优化算法可以有效地求解复杂的优化问题，其中包括粒子群优化算法，蚁群算法，模拟退火算法，遗传
算法，混合粒子群优化算法等。
2.的反演方法
本文提出一种新的反演方法，通过将波动方程模型化为一个非线性最优化问题来求解未知参数。
我们将波动方程模型的反演问题转换为一个约束最优化问题，将实测的数据作为目标函数，引入一种收敛快的误差函数作为最优化函数。
该误差函数可以快速将优化过程聚焦于最优解，并且不会收敛于局部最优解。
同时，为了提高反演精度，我们将混合粒子群优化算法应用于解决未知参数问题。
该算法结合了粒子群优化算法和基于模拟退火的优化算法，可以有效搜索全局最优解，而且算法收敛速度快、效率高、可靠性高。
3.验结果
为了验证本文提出的反演方法的有效性，我们将其应用于几种典型的波动方程模型，并以实验室数据为基础进行分析。
结果表明，本文提出的反演方法可以更快、更准确地求解波动方程反演问题，而且对于较复杂的模型也能取得较高的精度。
结论
本文提出的一种新的反演方法，用于解决典型的波动方程反演问题，在实验室数据的基础上，本文提出的反演方法具有更高的反演准确性和更快的收敛速度。
本文的研究方法可以为今后的反演研究提供一定的参考。