高中物理圆锥摆模型全透视

圆锥摆模型全透视
一. 圆锥摆模型
1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面
内做匀速圆周运动。

2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个

力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力Fn，如图1所示。

二. 常规讨论
1. 向心力和向心加速度
设摆球的质量为m，摆线长为l，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为v，角速度为，

周期为T，频率为f。

Fmamgmvlnntan
sin




2

mlmTlmfl2222sin()sin()sin
agvllntansinsin

2
2

()sin()sin2222Tlfl
2. 摆线的拉力
有两种基本思路：当角已知时FmgTcos；当角未知时

FFmlTn
sin


2

()()2222Tlmfl

3. 周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有Tlghg22cos，由此可知高

度相同的圆锥摆周期相同与ml、、无关。
4. 动态分析
根据mgmltansin2有cosgl，当角速度增大时，向心力增大，回旋半
径增大，周期变小。
三. 典型实例
【例1】将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球
贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高
度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化

图1

图2
【解析】本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
mgmRtansin
2
，故cosgR2，圆周平面距碗底的高度为

hRRRgcos


2

。若角速度增大，则有增大，高度h变大，回旋半径变大，向

心力变大。
【点评】本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。
【例2】 一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内
壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，
如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别
如何变化

解析：小球受两个力mg、FN作用，向心力mgmrcot2，角速度增大时，由于
角度不变，故向心力不变，回旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆
顶点保持不变，即摆长不变，本题动态分析的结论和例1相反。

例3. 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60，如图4所
示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v
绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：

（1）当vgL16时，绳上的拉力多大

（2）当vgL32时，绳上的拉力多大

解析：当小球刚好对圆锥没有压力时
mgmvLtansin303002
求得小球的线速度
vgL036
（1）当vgLv160，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5所示，用正交分解
法解题，在竖直方向
FFmgTNcossin3030

在水平方向
FFmvLTNsincossin3030302

解得FmgT1033.

图3
图4

图5
（2）当vgLv20，小球做圆锥摆运动，且30，设此时绳与竖直方向的夹角为，
则有
mgmvLtansin
2

解得60
因此FmgmgTcos602
点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界条件，当圆锥
体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为v0。当vv0时，小球做圆锥摆运动，
vv
0

时，小球不做圆锥摆运动。