第二十二讲特征值和特征向量典型题

特征值与特征向量典型题

1、特征值与特征向量

1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A

【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式

123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=

【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=

有

1

1122331231

(,,)(,,)01

001

010010110

1001101101010A λξλξλξξξξ--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1A

λ

+

【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111

,(0)A

A x x A A x x x λ

λ

--=⇒=

≠

即*A

A x x λ

=

从而*22()(

)A

A x x λ

= *22[()][(

)1],0A

A E x x x λ

+=+≠

可见*2()A E +必有特征值2(

)1A

λ

+

3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1

,0,,0n n -

【分析】因为r(A)=1，所以1n n ii E A a λλλ--=-∑

【详解】因为

-1

1

1111111

11

1

11

1

1

11

100

00

n n n E A n

n

n λλλλλλλλλλ

λλλλ

---------=

---=-－－－－＝

－－－－－＝（－）

故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）

因此本题应填1

,0,,0n n -

4．（99，十题，8分）设矩阵1

5310a c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求a b c 、、和0λ的值

【分析】利用*AA A E =，把*0A αλα=转化为0A λαα=-是本题的关键

【详解】根据题设有*0A αλα=，又*

,AA A E E ==-于是*00,AA A A αλαλα==即

0A αλα-=;也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

由此可得 000

(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪

--+=⎨⎪-+-=-⎩ 解此方程组，得01,3,b a c λ==-=

又由1A a c =-=和，有15

33110

a c

b a c

a

-=-=--- 故2,a c ==因此02,3,2,1a b c λ==-==

5.（03，九题，10分）设矩阵322232223A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010101001P ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，1*B P A P -=，求B ＋2E

的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵

【分析】可先求出*1,A P -，进而确定1*B P A P -=及B ＋2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据B ＋2E 与*2A E +相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】经计算可得

*152201125

2,100225001A P ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1*

7

00254223B P A P -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

，

从而9

002274225B E ⎡⎤⎢⎥+=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

29

0(2)27

4

(9)(3)2

2

5

E B E λλλλλλ--+=

-=---

故B ＋2E 的特征值为1239,3λλλ===

当129λλ==时，解(9)0E A x -=，得线性无关的特征向量为

12121,001ηη--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以属于特征值129λλ==的所有特征向量为 112212121001k k k k ηη--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 是不全为零的任意常数 当33λ=时，解(3)0E A x -=，得线性无关的特征向量为 3011η⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

所以属于特征值33λ=的所有特征向量为333011k k η⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，其中3k 为非零的任意常数 【详解2】设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即A ηλη=