2013年高考数学真题——江苏卷(教师版,含解析)有附加题

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学试题

参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13

V Sh =，其

中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．

1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ?

?

=+ ??

?

的最小正周期为__________． 答案：π

解析：函数π3sin 24y x ??=+

??

?的最小正周期2ππ2

T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．

答案：5

解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|

5=＝5.

3．(2013江苏，3)双曲线

22

=1169

x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：3

4

y x =±

解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3

4

y x =±.

4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8

解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.

5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．

答案：3

解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.

6．(2013

答案：2

解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2

s 甲＝

15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2

s 乙＝15

[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，

由22

>s s 乙甲，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.

7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．

答案：

2063

解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，

…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为

2063

. 8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.

答案：1∶24

解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.

因此V 1∶V 2＝1

32AED ABC

AF S AF S ????＝1∶24. 9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．

答案：12,2

??-???

?

解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：

当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02??

???时，x ＋2y 取得最大值12.

当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2

?

?-???

?

.

10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=

2AD AB ，2

=3

BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．

答案：12

解析：由题意作图如图．

∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=

+12

()23

AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23

.

故λ1＋λ2＝1

2

.

11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．

答案：(－5,0)∪(5，＋∞)

解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ?->?

=??--

∴原不等式等价于

20,4,x x x x >??->?或2

0,

4,x x x x ?

由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．

12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22

22=1x y a b

+(a ＞0，b ＞0)，右焦

点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.

若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．

答案：

3

解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为

=1x y

c b

+，即bx ＋cy －bc ＝0.

于是可知1bc

d a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.

∵21d =

，∴2b c =

，即2

ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝1

3

.

∴3

e =13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1

y x

=

(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A

之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为__________．

答案：－1

解析：设P 点的坐标为1,

x x ??

???

，则 |P A |2＝2

2222111()=2=2x a a x a x a x x x ?????

?-+-+-+ ? ? ??????

?.令12t x x =+≥，则|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2

＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．

结合题意可知

(1)当a ≤2，t ＝2时，|P A |2取得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)． (2)当a ＞2，t ＝a 时，|P A |2取得最小值．此时a 2－2＝8，解得a

a

＝舍去)．故满足条件的实数a

1.

14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，51

2

a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．

答案：12

解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由?，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，

则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51

(12)

1

3221232

n n --=--.

∵51

2

a =，q ＝2，

∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝2

6a ＝1.

∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－1

32

＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－

1

32

＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒

小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域

．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．

(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.

故a⊥b.

(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以

cos cos0, sin sin1,

αβ

αβ

+=?

?

+=

?

由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，

得sin α＝sin β＝1

2，而α＞β，所以5π

6

α=，

π

6

β=.

16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.

因为EF平面ABC，AB?平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，

所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC?平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB.

因为SA?平面SAB，所以BC⊥SA.

17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，

＝1，解得k ＝0或34

-

， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.

(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，

x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，

即13≤

.

由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤

125

. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,

5??

????

. 18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)

如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .

现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝

1213，cos C ＝35

. (1)求索道AB 的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45

. 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝5312463

13513565

???=.

由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604

sin 63sin 565

AC AB C B

=?=?＝1 040(m)．

所以索道AB 的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12

13

＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤

1040

130

，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短．

(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605

sin 63sin 1365

AC A B

?=?＝500(m)．

乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .

设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤

-≤，解得1250625

4314

v ≤≤

，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314??

????

(单位：m/min)范围内． 19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2

n

n nS b n c

=

+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.

证明：由题设，(1)

2

n n n S na d -=+

. (1)由c ＝0，得1

2

n n S n b a d n -==+.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以22b ＝b 1b 4，

即2

3=22d a a a d ???

?++ ? ????

?，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .

因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .

从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .

(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即

2

n

nS n c

+＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ?

???-+--++ ? ????

?＝c (d 1－b 1)．

令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋1

2

d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)

在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，

从而有

1

1

1 730, 1950, 2150,

A B cd

A B cd

A B cd

++=

?

?

++=

?

?++=

?

①

②

③

由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.

即

11 2

d d

-＝0，b1－d1－a＋1

2

d＝0，cd1＝0.

若d1＝0，则由

11 2

d d

-＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.

又因为cd1＝0，所以c＝0.

20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

解：(1)令f′(x)＝11ax

a

x x

-

-=＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即

f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.

综上，有a∈(e，＋∞)．

(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e x－a＞0，解得a＜e x，即x＞ln a.

因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.

结合上述两种情况，有a≤e－1.

①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1

x

＞0，得f(x)存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．

另外，当x＞0时，f′(x)＝1

x

－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．

③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1

x

－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.

当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.

当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．

实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．

另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1

x

－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．

下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.

为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.

当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)

＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，

从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，

h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.

当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a－1，

e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝1

x

－a＜0，故f(x)在(a－1，

＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．

综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，

当0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC

.

求证：AC＝2AD.

证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.

所以BC AC

OD AD

=.

又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.

B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝

1 0

0 2

-??

??

??

，B＝

1 2

0 6

??

??

??

，求矩阵A－1B.

解：设矩阵A的逆矩阵为

a b

c d

??

??

??

，则

1 0

0 2

-??

??

??

a b

c d

??

??

??

＝

1 0

0 1

??

??

??

，即

2 2

a b

c d

--

??

??

??

＝

1 0

0 1

??

??

??

，

故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12

d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-??

??????

， 所以A －1B ＝ 1 010 2-??

??????

1 20 6??????＝ 1 20 3--??????

. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

1,

2x t y t =+??

=?(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ?=?=?

(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

解：因为直线l 的参数方程为?????

x ＝t ＋1，y ＝2t

(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l

的普通方程为2x －y －2＝0.

同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .

联立方程组221,2,

y x y x =(-)??=?解得公共点的坐标为(2,2)，1,12??

- ???.

D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，

从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．

(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；

(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．

解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，

则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)， 所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D

?

=

， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为

10

. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1

AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.

由|cos θ

|＝

12122

||||3

?

==n n n n ，得sin θ

因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为

3

. 23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，

11(1),,(1)k k k k k ----个

，…，即当

1122

k k k k n (-)(+)<≤

(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －

1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．

(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．

解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9

＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.

(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．

事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；

②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m

＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．

综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．

由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i

＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j

＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i

(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，＋1)＋j

当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j.

又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.