《量子力学》复习提纲

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(Et r p i p Ae

-?=

ψ《量子力学》复习 提纲

一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释

2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）

3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程

4、量子力学中力学量与算符之间的关系

5、自旋的基本假设 二、三个实验

1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章

2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章

3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明

1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；

2、厄密算符的本征值为实数；

3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；

4、力学量算符的本征函数组成完全系；

5、量子力学测不准关系的证明；

6、常见力学量算符之间对易的证明；

7、泡利算符的形成。 四、表象

算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。 五、计算

1、力学量、平均值、几率；

2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论

1、德布洛意假设： 德布洛意关系：

戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：

3、光的波动性和粒子性的实验证据：

4、光电效应：

5、康普顿散射：

∑=n

n

n c ψ

ψ1d 2

=?

τψ（全）

()

ψψψψμ

?-?2=*

* i j 0=??+??j t

ρ??

????+?-=),(222

t r V H μ)

(,)(),(r e

r t r n t

E i n n n

ψψψ-=n n n E H ψψ=附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性

（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性 （3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋

第二章 波函数和薛定谔方程

1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．波函数统计解释：

若粒子的状态用()t r ,

ψ描写，

τψ

τψψd d 2

*=表示在t 时刻，空间r

处体积元τd 内找到粒子的几率（设

ψ是归一化的）。

3．态叠加原理：

设 n ψψψ,,21

是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=n

n

n c ψψ也是体系的一个可能状态。

也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态 n ψψψ,,21中。

4.任何一个波函数()t r ,

ψ都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。 5．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：

ψψμψ),(t r V t i

+?2-=??22

当势场

)(r V

不显含时间t 时，其解是定态解

满足定态薛定谔方程 其中

注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。

6．波函数的归一化条件： （对整个空间积分） 相对几率分布：

波函数常数因子不定性；)(~)(r c r

ψψ 波函数相位因子不定性：

7．波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。

度与几率密度ψψρ*= 满足连续性方程

8．几率流密

,2,1,0,,=z y x n n n ??

?≥≤∞<<=a

x x a

x x V 或0,

0,0)(

,,,,321=2=22

2

2

n a n E n μπ??

???≥0≤0<<02=a

x x a x a x

n a n 或,

,sin πψ????

?≥∞<=a x a x x V ,,0)(2

2228=a n E n μπ ??

???≥<=+=a x a n a x a n a n ,0x ,...3,2,1,)(2sin 1π

ψ222

1=x V μω ,,,210=??? ??

21+=n n E n ，ω)

(x H e

N n x n n αψα2

-212=

ω

μαπα

=

2=

,!

n N n n ω ??

? ??

+++=23z y x n n n n n n E z

y x )

()()(2

22z H y H x H e

N N N z y x r z

y

x

z

y

x

n n n n n n n n n αααψα-=能量

9.定态所需的条件 ： 10．一维无限深方势阱

（1）若

本征值

本征函数

（2）若

则本征值 本征函数 11.自由粒子波函数（推导过程）

12．一维谐振子 本征值

本征函数

13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。

能级

第三章 量子力学中的力学量

1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。 2.厄米算符A 的定义：

r

d A r d A

?ψ?ψ??=*

*)(

此为坐标表像中的表示式 厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。 附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。

dx x F x F )()(*φφ?

=?∑2

2+=

λ

λλλd c c F n

n n λ

λλψψψλψ==F F n

n n ??

dx

x x c dx x x c n n )()(,

)()(*

*

φψφψλλ??

==()t r ,

ψ

r p i p

e

?2

3-2=)(πψ)

()()(*p p d r r p

p '-=?

'

δτψψdx

x c x c x n

n

n )()()(λλψψ

φ?∑+=

?

??

-= i L z 3．力学量的测量值：

在力学量F 的本征态中测量F ，有确定值，即它的本征值； 在非F 的本征态φ中测量F ，可能值是F 的本征值。 将)(x φ用算符F 的正交归一的本征函数展开： 则在)(x φ态中测量力学量F 得到结果为n λ的几率为2

n c ，得到结果在λλλd +→范围内的几

率为

λ

λd c 2

。

力学量的平均值是 或

附：本书中五个基本原理

（1）量子力学中态的表示 波函数 （2）态叠加原理： （3）定态薛定谔方程： （4）力学量与算符的关系： （5）自旋：

4． 连续谱的本征函数可以归一化为δ函数。

5．简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。

简并度：F

?算符的属于本征值n λ的线性无关的本征函数有f 个，我们称F ?的第n 个本征值n λ是f 度

简并。

6． 动量算符p 的本征函数(即自由粒子波函数)

正交归一性

7． 角动量z 分量

本征函数

,,,,)(2±1±0=21=

m e im m ?π

?ψ

z L 的本征值 m L z

='

,,,,

321=12-=12-==22224n n a e n

e E E n μ2

=n f n Bohr c

e m c m

e M B B z ——μμμμ2=-=2-= ,8． 平面转子（设绕z 轴旋转） 课本P 101 3.5题

哈密顿量

222222?d d I I L H z

-

== 能量本征态

,,,,)(2±1±0=21=

m e im m ?π

?ψ

能量本征值

I m E m 2=

2

2 9． ()

z L L

,2

有共同的本征函数 — 球谐函数()?θ,lm Y ：

()()()()()

l m l m l l m l N e P N Y lm im m

l lm m lm ±2±1±0=210=+41+2-=

1-=,,,,;

,,,,!

!

!)(cos )(, πθ?θ?

()()?θ?θ,)(,lm lm Y l l Y L 2

21+= ()()?θ?θ,,lm lm z Y m Y L =1．

中心力场中，势场[]

0==H L r V r V ,,)()( ，角动量L

为守恒量。

10．中心力场中，定态薛定谔方程

ψψμμE r V r L r r r =??????+2+??12-22222)(

选(

)

z L L H ,,2

为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为

l l l m l Y r R r lm -1-=210==,,,,

,,,)

,()(),,( ?θ?θψ

11．氢原子 玻尔半径）(22e a μ =

),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =

能级简并度 轨道磁矩 （

为玻尔磁子）

0=dt

F

d c

e m M L M z z

z μ2-

== 2

2

242-=n Z e E n μ0=??t

F

旋磁比

类氢离子

量F 的平均值不随时间变化），则称F 为守恒量。 12． 守恒力学量的定义：若（即力学

力学量F 的平均值随时间的变化满足t F

H F i dt

F d ??+1=],[

因而力学量F 为守恒量的条件为： ， 且 0=],[H F 13．宇称算符

宇称算符的定义：

)()(?r r P -=ψψ 本征值

本征函数。

注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。 14． 对易式定义： []BA AB B A -≡, 15． 对易式满足的基本恒等式：

[][][][][][][][][]B C A C B A C AB C

B A B A B B

C A C A B A C B A ,,,,,,,,,+=+=+=+

[][][][][][]0

=++B A C A C B C B A ,,,,,,（Jacobi 恒等式）

16． 一些重要的对易关系：

[][][]

αβ

βα

βα

βα

δ i p x

p p

x x

===,,

0,,

0,

?????=???

??

????

?γγγγαββββα

εL p x i L p x L ,

[][][]z

y

x

z

y

x

z

y x

J

i J J s

i s s L

i L L ===,,

,,

,

[][][]

0,,0,,0,2

2

2

===αα

α

J J

s s L L

附：要会证明对易关系 注：量子力学证明题多关于算符和自旋。

17．若算符B A 、对易，即0],[=B A ，则A 和B 有共同的本征函数系。在A 和B 的共同的本征函数表示的态中测量B A 、，都有确定值。

18.不确定关系:若算符B A 、不对易，即0],[≠B A ，则必有

],[21

)()(22B A B A ≥

???

简记为 ],[21

B A B A ≥

???

特别地，

2

≥??x p x

第四章 态和力学量的表象

1． Q 表象是以Q 的本征函数系

(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有

()()x u Q x u Q n n n =

()()x u t a n n ∑=ψ

()()()()

)(,,)(,)(,*

**t a t a t a t a t a t a n n

21+21=??????

? ??=ψψ

算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是

dx

Fu u F m n nm ?=*

，

选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。

平均值公式是

ψψF F +

=， 归一化条件是I =+ψψ，

本征值方程是ψλψ=F 。

附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。

2． 幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足1

-+=S S ；

态的变换是a S b +=； 算符的变换是FS S F +

='。

幺正变换不改变算符的本征值。

1

1

)()()8()()()7()()()6()

()()5()()()4()

()()3(),(),()2(),(),()1(****

=============??

=??

==???∑∑?ψψψψψ

ψψψψψψψδδψψψψφψφψdx x x F F dx x F x F n c dx

x x u c n

c x u c x n m dx x u x u n E n H x u E x u H H t

i t x H t x t

i F t x t x F n n n n

n n

n n mn

mn

n m n n n n

,

,

I x x

dx I n

n n

==?∑附：在自身表象中，本征函数是

δ

函数。

附：证明某个算符势厄密算符 坐标表像中用厄密算符的性质

r d A r d A

?ψ?ψ?

?=**)(

来证明。

任意表象中则用幺正变换（即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身）1

-+=S S 来证明。

3． 量子态可用狄拉克符号右矢

A

或左矢

A

表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐

述量子力学理论，而且使用十分方便。 基矢的完备性：

坐标表象 狄拉克符号

1)

0()0(<<-'n

k nk

E E H 第五章 微扰理论

1．定态微扰理论

适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求0H 的本征值和本征函数已知或

较易计算，另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰H '比较小，以保证微扰计

算收敛较快，即

（1）非简并情况

H H H '+=0

+-'+'+=∑n

n

k

nk kk

k k E

E

H H E E )0()

0(2)

0('

+-'+=∑n

n n

k nk k k E E H )

0()

0()0()

0('

ψψψ

（2）简并情况

能级的一级修正由久期方程

det )

1(=-'μνμνδk E H

即

)

1(21

2

)

1(2221112

)1(11

=-''''-''''-'k

f f f f f k f k E H H H H E H H H H E H f f k k k k

给出。)

1(k E 有k f 个实根，记为

k k f E ,,2,1,)

1( =αα，

分别把每一个根)1(α

k E 代入方程

()0

1

)

1(=-'∑=νν

μναμνδa E H k

f k

，即可求得相应的解，记为ανa ，于是得出新的

零级波函数

ν

ν

ανφνk k a =∑

相应能量为

)1()0(αk k k E E E +=

???

?

??=-

=c e s s c e s s μμμμ或

2

±

= z

s 2．变分法

选择尝试波函数)(λφ，计算H 的平均值H ，它是变分参量λ的函数，由极值条件0

=λδλ

δH 定

出0λ，求出)(0λH ，它表示基态能量的上限。 3．由m k →的跃迁几率是

2

2

2

1)()(?''=='

→t

t i mk m

m k t d e H t a t W mk ω

此公式适用的条件是

1)(<<→t W m k ， 对于k m ≠

4．周期性微扰：光的吸收和发射，选择定则等。

第七章 自旋与全同粒子

1．自旋基本假设的内容： 2.自旋实验基础：

3.自选角动量、轨道角动量及相应磁矩：

4.自旋角动量算符

5.自选波函数的形成及当自旋与轨道作用可忽略时的波函数

6.什么情况有奇宇称、偶宇称？

7.电子自旋假设的两个要点：

（a ）； （b ）

()()?

??

?

??10==???

? ??01==21-21s s s s χβχα,()()()()?

??

? ??==b a r s r s r z z

φχφψ,1

=2=L s g g ,

()β

αχb a b a s s +=???

?

??=σ

2

==?s s i s s ,

内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：

c e B s μμμ2==

g 因子（回转磁比值）：

8．旋量波函数

()()()???? ??-=2,2,,

r r s r z ψψψ的意义及其归一化。

9.自旋与轨道无耦合时：

2±= z s 的本征态：

一般自旋态： 10．自旋算符与泡利矩阵

1???222===z y x σσσ（单位算符）

?????=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσσσσσσσσσσσσ222 ?????0=+0=+0=+z x x z y z z y x y y x σσσσσσσσσσσσ

?

???

??0110=x σ , ???? ??0-0=i i y σ , ???? ??1-001=z σ ???? ??=01102? x S ， ???? ??-=002?i i S y ， ???? ??-=10012? z S ???? ??=100143?22 S

附：会证明泡利矩阵

11．总角动量

在中心力场)(r V （例如Coulomb 场）中运动的电子的相对论波动方程（Dirac 方程），在非相对论极限下，Hamilton 量中将出现一项自旋轨道耦合作用

???

?

?=?dr dV r c r L s r 121)()(22μξξ

电子的能量本征态可选为（z J J L H ,,,22）的共同本征态，而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为（

z J J L ,,2

2）的共同本征态: ),,(z ljm s j ?θφ???0≠21-=2

1+=)(l l j l j

本征值分别为

j m j j l l ,)(,)(221+1+)

,,,(j j j m j -1-=

12. 碱金属原子光谱的双线结构

由于

L s r

?)(ξ项的存在，使得2/12/1-=+=>l nlj l nlj E E 。例如 Na ：

)5890(33)5896(332

/12/32

/12/1A s p A s p →→

还可以解释反常塞曼效应。

附：只有考虑了电子的自旋光谱线的精细结构才能得到解释。

13．两个电子的自旋单态与三重态

14. 两个角动量的耦合

若21J J ,是两个独立的角动量，则21+=J J J 也是角动量。

(

)

()(

)

()无耦合表象基矢耦合表象基矢2

211222121

2122221~,,,,~,,,m j m j J J J J

jm j j J J J J

z z z

系数

G C

m j m m j jm j j m --=∑2

221212

C-G 系数的性质：21m m m +=，

j 的取值：

,

,......,2,1,21212121j j j j j j j j --+-++

15．全同粒子

（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。 （2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任何两个粒子交换是不变的。

这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性

S S ij P Φ=Φ?或者交换反对称性A A ij P Φ-=Φ?。

（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。

玻色子：自旋为 整数倍（ ,2,1,0=s ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如π介子（0=s ），光子（1=s ）。它们遵守Bose 统计，称为Bose 子。

费米子：自旋为 半奇数倍（ ,23,21=s ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵守Fermi 统计，称为Fermi 子。

由“基本粒子”组成的复杂粒子，例如α粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以当成一类全同粒子来处理。如果它们是由Bose 子组成，则仍为Bose 子。如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为Fermi 子；但如由偶数个Fermi 子组成，则构成Bose 子（玻色子）。

（4）Pauli （泡利）不相容原理：不容许有两个全同的Fermi 子(费密子)处于同一个单粒子态。