计算方法复习题

1．31.4159的四位有效数字为 ． 2．为避免失去有效数字，)1(12>>-+x x

x 的一个等价计算公式

为 ．

3．求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 ． 4．设n n ij a ⨯=)(A ，已知∑=≤≤∞

=n

j ij

n

i a 1

1max A

，则矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1121B 的条件数

=∞)(Cond B ．

5．满足1)1(,

1)0(,

1)0(=='=f f f 的Newton 形式的二次插值多项式)(2x N 计算中

=]0,0[f ，Newton 形式的二次插值多项式为=)(2x N ．

6．记.,,1,0,,n i ih a x n

a

b h i =+=-=

计算⎰

b a

dx x f )( 的复化梯形公式为

_______________ , 代数精度为____________．

7．⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=1221a A ,当a 满足条件 时，A 可作LU 分解，当a 满足条件

时，必有分解式T

LL A =，其中L 是对角元素为正的下三角阵．

二．（15分）设0s i n 233=--x x 在1] [0,内的根为*

x ，若采用如下迭代公式

n n x x s i n 3

2

11-=+，

（1）证明),(0∞+-∞∈∀x ，均有*

*(lim x x x n n =∞

→为方程的根)；

（2）取00=x ，要迭代多少次能保证误差6

*10-<-x x k ？

（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论 （4）写出Aitken 加速收敛的算法．

三．（15分）用Jacobi, Gauss-Seidel 迭代法解下列方程组⎩⎨

⎧=+=+4

233

22121x x x x 是否收敛?为什么?

若将方程组变为⎩⎨

⎧=+=+3

24

232121x x x x 再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?

四．（15分）已知函数表如下13

121110169

144121100x x

试用Lagrange 型的二次插值多项式)(2x L 求115的近似值，并估计截断误差．

（1） 取步长为h ，写出一个求初值问题数值解的二阶Runge-Kutta 公式；

（2） 用二阶Runge-Kutta 公式求⎩

⎨⎧='==-'+''2(0)1,(0)

0 1x x x t x ，取2.0=h ，近似计算

(0.2)(0.2),x x '．

1．2.71828的三位有效数字为 ，相对误差约为 ．

2．为避免失去有效数字，)1(ln )1ln(

>>-+x x x 的一个等价计算公式

为 ．

3．设⎰+=1

0d 5x x x I n

n ，有1823.02.1ln 0≈=I , n n I n I 51

11-+=+, 则计算20I 的可行的算法为 ． 4．求方程x

x -=2

实根的牛顿迭代格式是

．

5．取步长为h ，以)(0h x f -，)(0x f ，)(0h x f +近似计算)(0x f '的三

点公式为 ，误差表达式 ． 6．用函数d

cx b

ax x f ++=

)(拟合数据组N i y x i i ,,2,1),,( =，为简化问题讨论，可选用指标

为=∆),,,(d c b a ．

7．记ih a x n

a

b h i +=-=,，复合中点公式)()(1

2

1∑⎰

-=+

=n k i b a

x

f h dx x f 的代数精度为

____________．

8．设⎩⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤++=2

13)1()1()1(1

01)(2

32x x b x a x x x x x S 是区间]2,0[上的样条函数，则___________,==b a ．

五．（15分）常微分方程组的初值问题为

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧====0000)(,)()

,,(d d ),,(d d y t y x t x y x t g t y

y x t f t x

9．对⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=1323A 进行LU 分解，其中L 是对角元素为1的下三角阵，则 ________________,==U L ．

10．求解初值问题⎩⎨⎧=='00

)(),(y x y y x f y 数值解的中点公式为________________ (取步长为h )，它

是___阶方法．

二．（10分）分别讨论方程组⎩⎨⎧=+=+4

233

22121x x x x 的Jacobi, Gauss-Seidel 迭代算法的收敛性．

三．（15分）已知函数表为

9

564.29484.29397.2ln 13

1211x x

试用Lagrange 型的二次插值多项式)(2x L 求7.11ln 的近似值，并估计截断误差．

四 15分）设0cos 23=-x x 在1] [0,内的根为*

x ，若采用如下迭代公式n n x x cos 3

2

1=

+，（1）证明),(0∞+-∞∈∀x ，均有*

*(lim x x x n n =∞

→为方程的根）

（2）取00=x ，至少要迭代多少次能保证误差3

*10-<-x x k ？3）此迭代的收敛阶是多少，

并说明理由；

（3）此迭代的收敛阶是多少，并说明理由 （4）写出Aitken 加速收敛的算法．

五．（7分）求方程013

=-x 近似解的一个迭代算法为)1(3

1-+=+k k k x c x x ，

（1）求出使得迭代算法局部收敛的常数c 的取值范围； （2）求使得收敛速度最快的c ．

六．（8分）取5.0=h ，用有限差分方法在]1,0[∈x 上求解边值问题

⎩⎨

⎧===''0

)1(,0)0(6y y x

y ． 四