三年级奥数等差数列求和教学设计
《等差数列求和》教学设计
【教学目标】：
1、通过学习，初步建立配对求和的逻辑推理，简便计算的能力。
2、培养学生的观察和思考的能力。
3、学习本课知识有助于养成全面地，由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯。【教学重点】
用配对求和的简便方法解决问题，推导等差数列的求和公式。
【教学难点】
等差数列求和公式的推导。
【教学过程】
一、激趣引入
老师：同学们，如果，我说的是如果。你们第一次来上课老师奖励你们没人一块钱，第二次奖励两块，第三次奖励三块，……请问，到第10次课后，你们每人得到了多少钱？
（学生在草稿纸上计算，老师板书；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）
老师：你们有什么简便的方法计算出这个式子的结果吗？
学生：凑十法！
老师：怎么凑？
学生：1+9，2+8，3+7，4+6。
老师：很好，凑十法也能够很快算出结果。不过，凑十法也有缺陷，你们看，用凑十法最后还剩下走不到伴的数。大家想想，还有什么办法计算？
（学生思考，讨论。）
老师：请同学来回答。
学生：第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加……
老师：这位同学观察很仔细。1加上10等于11，2加上9等于11……这里面十个数刚好分为了5组，每组的和都是11.。所以我们也可以这样来计算这个式子的和。
（板书：
（小结：在这里，我们使用了一种简便的计算方法：配对求和。即先配对再求和。）
二、讲授新课
老师：如果，还是如果。老师爱心泛滥，继续奖励你们money。请问，第一百天后，你们每人得到多少钱呢？
（板书：例题一 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋…＋ 98 ＋ 99 ＋ 100）
老师：这个式子又该怎样计算呢？就用刚才老师教的配对求和的方法。谁和谁配对呢？
学生：1和100，2和99，3和98……
（副板书：
老师：总共有多少对呢？
学生：50对。
老师：没错，一百个数，两个数一对，可以分为100除以2等于50对。所以在这道题中，我们也可以这样计算。
（板书：
老师：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。这是一个自然数列，它们有着这样的规律。从第二项起每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。后项与前项的差叫该
数列的公差。我们把数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
等差数列的求和，我们可以根据刚才的计算的两个式子总结出一道公式。大家说是什么？学生：总和=（首项＋末项）×项数÷2
板书：总和=（首项＋末项）×项数÷2）
老师：使用这个公式要注意，首先要判断这个数列是不是等差数列。（怎么判段？）首项、末项和项数（项数怎么求？）下面我们看例题二。
（板书：例题2 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20）
老师：这个式子能不能用公式进行求和？
学生：可以。
老师：好，请一个同学说一下他是怎么做的。
学生A：2加20的和乘以7除以2.结果等于77.
老师：非常好，现学现用。其他同学有什么问题吗。用些同学可能会有疑问，这里面只有七个数，不够分对啊，还剩下一个光棍呢？这个公式还能不能呢？大家说能不能？
学生：能！
老师：我们一起来验算一下。
（副板书：
老师：两次计算的结果一样吧！说明这个公式是正确的。
老师：这个公式看似很简单，只要一套数字就行了。但是在实际应用中并没那么简单，请看例题三。
（学生读题：小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？）
老师：这道题求这本小说共有多少页。因为每天读“每天读的页数都比前一天多4页”，第
一天30页，第二天34页，第三天38页……最后一天看了70页。我们要求这本小说共有多少页，只要把每天看的页数加起来就行了。可是，我们要一个个加起来吗？
学生：不用。
老师：不用。小红每天看的页数构成了一个等差数列。我们可以用公式计算。大家看一下这个公式里还有什么不知道？
学生：项数。
老师：其实天数就是项数。看了多少天，就有多少项。那要怎么求项数呢？
（副板书：
（学生观察并思考。）
学生：项数就等于70减去30的差除以4。
老师：就这样了吗。
学生：还要加上1.
老师：很好。
（板书：
（小结：在这里，我们来小结一下求项数的公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1）
老师：在这里，我改一下题目，把“最后一天读了70页”改为“第十一天刚好读完。问这本书共有多少页？怎么算呢。
（学生思考讨论。）
学生：还是用等差数列求和公式。
老师：这个公式里面还有哪个量不知道？
学生：末项。
老师：怎么求？
（副板书：
（小结：在这里，我们来小结一下求末项的公式：末项=首项＋(项数-1) ×公差）
三、完成课堂练习。
学生完成讲义上的课堂练习。
四、布置作业。
五、课后总结。
等差数列相关公式：
总和=(首项＋末项)×项数÷2
项数=(末项－首项)÷公差＋1
末项=首项＋(项数-1) ×公差
六、板书设计（附后）
七、课后反思。
等差数列求和教案
等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重
要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
数列求和公开课教案(1)
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
小学奥数之巧妙求和
五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解：
习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1）
（2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答：
课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解：
等差数列求和公式教学设计
等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。 学生对于公式的推导不容易接受，新课程标准也要求弱化推导，重在应用，
四年级奥数巧妙求和(一)
巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。
等差数列求和公式的
等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考
问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2
高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计
《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：
这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?
学习等差数列求和公式的四个层次
学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,
趣味奥数之巧妙求和
趣味奥数之巧妙求和 一、这一个标题 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有
多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【答案】1.（39-1）÷2+1=20项 2.（101-2）÷3+1=34项 3.（1001-11）÷5+1=199项 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…
三年级奥数：配对求和
配对求和 引入：被人誉为“数学王子”的高斯在年仅10岁时就以一种非常巧妙的方法很快求出1+2+3+4+5+、、、+99+100的结果。高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。 我们利用高斯的巧算方法得出这样的公式： 总和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差 第一类题型 例题1： 计算：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100. 思路点拨： 此数列是一个等差数列，公差是1，我们可以利用“总和=（首项+末项）×项数÷2”的求和公式来解。 解：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+（3+98）+、、、+（50+51） =（100+1）×（100÷2） = 101×50 = 5050 同步精炼： 1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、2+4+6+8+、、、+30 第二类题型 例题1： 计算：2+5+8+11+14+17+20 思路导航： 本题是一个等差数列，公差是3. 2、5、8、11、14、17、20，一共有7个数，如果我们仍像例1那样每两个数组成一个组，就多出一个数，那怎么办呢？我们不妨这样想： 2 5 8 11 14 17 20 +20 17 14 11 8 5 2 22 22 22 22 22 22 22 7个22是154，而154是两组2到20的和，一组2到20的和一组2到20的和就是154÷2=77，由此我们得出这样的规律，当加数是单数时，就可用第一个数即前项与最后一个数（末项）相加，乘以这组数的个数（项数），再除以2，就能求出正确结果了。其实这种方法也适用于加数的个数成双的求和：
等差数列前n项和优质课教案 doc
（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100
方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=
三年级奥数第九讲__巧填运算符号
三年级数学提升班 学生姓名： 第九讲：巧填运算符号 知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结晶。 ——宋庆龄 知识纵横 根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种： １.如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。 ２.如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。 通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 例题求解 【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立４４４４＝８ 【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 １２３４５＝１０ 【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？ ８８８８＝０８８８８＝１ ８８８８＝２８８８８＝３【例４】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。 １２３４５６７８＝１ 【例５】在下面式子适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 ９８７６５４３２１＝２１
【例６】在下面１２个５之间添上＋、－、×、÷，使下面等式成立。 ５５５５５５５５５５５５＝１０００ 学力训练 １.你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？ （１）５５５５＝１０（２）９９９９＝１８２.在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）３３３３３＝９（２）４４４４４＝８ ３.在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）２３５６＝６（２）２３５６＝６４.你能在下面各数中添上运算符号，使等式成立吗？ ４１２５＝１０ ５.巧填运算符号，使等式成立。 （１）３３３３＝１ （２）４４４４＝２ （３）５５５５＝３ ６．在下面的各数中添上运算符号，使等式成立。 ３４５６８＝８ 家长签字：
第3讲五年级数学等差数列求和 教案
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 C-等差数列求和计算 C -等差数列求和应用 C-等差数列求和拓展 授课日期及时段 教学内容 1、请讲解示范循环小数化成分数的方法。 2、计算： 1＋3 61＋512 1＋7201＋9301＋11421＋13561＋15721＋17901 课堂导入 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 我们也常把数列求和的计算称为“高斯求和”。 知识点梳理 知识点1：数列的基础知识 （1）数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n
项，…. （3）通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （4） 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. （5） 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 （6）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 知识点2：等差数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 知识点3：等差数列的简单性质 （1）首尾项性质 如果a 1、 a 2 、……a n ,是等差数列，则a 1+a n =a 2+a 1-n =…… （2）等差中项性质及中项定理 等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 知识点4：等差数列求和公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 ()11232 n n n ++++= 2)12(531n n =-++++ 一、专题精讲 题型1：简单数列求和 例1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 分析：这是简单的等差数列，根据首尾性质、求和公式，即可求。 解：=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11) =20x5 =100
四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项?
例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和
等差数列求和公式教学设计
等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。
初二数学等差数列求和公式
初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么：存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差
前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项项数 数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如：1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am，那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质： 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q，那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q，那么am+an=2aq(等差中项) 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列
等差数列前n项和公式教学设计
《等差数列的前n项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 二、背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭
(完整版)三年级奥数巧算与速算
01.09 三年级周润泽 速算与巧算 教学目标： 1、学会“化零为整”的思想。 2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，和不变。 教学重点：加法、减法和乘法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。 教学难点：有些题目直观上凑整不明显，这时可以“借数”。 知识点： 1.加法的简便运算. (1)互补数相加（2）拆出互补数相加（3）A+B=B+A 2.减法的简便运算. (1)A-B-C=A-(B+C); (2)A-B+C=A-(B-C) （3）利用补数，现变整，后计算 3. 加减混合式计算： （1）添括号，去括号法则；（2）带符号搬家 （3）互补数相加的活学活用（4）基准数相加 3.乘法的简便运算。 （1）A×B=B×A; （2）A×B×C=A×B×C;
教学过程； 来看一看老师这里有2个算式你喜欢算哪一个？ ①57689＋29273＝②100＋1000＝ T：为什么你们都喜欢算算式②呢？ 因为算式②是整百和整千的数，那么我们如果能将我们在平时计算时变成算式②这样，我们就可以让计算变的更简单，今天我们就来学一学怎么样让我们平时的计算变成像算式②一样。 1、互补数相加 （1）446+72+154+328 （2）857-294-306 （3）957+234-257 （4）359-298+441 （5）724+55+645+176 （6）953-267-133 （7）426+755-266 （8）362-199+238 2、拆出补数相加 （1）299+86 （2）873-398 （3）541+1002 （4）4825-703 （4）398+27 （6）1873-297
等差数列的前n项和教育教学设计
等差数列的前n项和教学设计
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《等差数列的前n项和》教学设计 教学目标 1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理； 2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质． 教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．教学过程设计 （一）创设情景 有一组袋子，第一个袋子里面有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个相同个数的球，求(1)袋子里球的个数；(2)前50个袋子里共有多少球。 [知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050. 高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提
供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．（二）由易到难，在自主探究与合作中学习 问题1：若第一个袋子里有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个球，则前51个袋子里共有多少球？ 该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现． [学情预设]学生可能出现以下求法 方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51 方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51 方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26 以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇 数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．问题2：前n个袋子里共有（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少球？ 启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形． 通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法： ∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1 ____________________________________________________________________ (n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1) ∴1+2+3+…+n=n（n+1） 2 问题3：在公差为d的等差数列{a n}中，前n项和