人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形
【知识要点】
一.认识三角形
1.关于三角形的概念及其按角的分类
定义:由不在同一直线匕的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类:
①三角形按角的大小分为三类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类:等腰三角形和不等边三角形。
2.关于三角形三条边的关系(判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短)
根据公理“两点之间,线段最短”可得:
三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3.与三角形有关的线段:三角形的角平分线、中线和高
? ?
三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段:
三角形的中线:连接三角形的一个顶点与对边中点的线段,三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分;
三角形的高:过三角形的一个顶点做对边的垂线,这条垂线段叫做三角形的高。
注意:①三角形的角平分线、中线和高都是线段,不是直线,也不是射线:
②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高;
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的部。但三角形的高却有不同的位置:锐角三角形的三条高都在三角形的部:直角三角形有一条高在三角形的部,另两条高恰好是它两条直角边;钝角三角形一条高在三角形的部,另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中,三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于一点。(三角形的三条高(或三条高所在的直线)交与一点,锐角三角形高的交点在三角形的部,直角三角形高的交点是直角顶点,钝角三角形高(所在的直线)的交点在三角形的外部。)
4.三角形的角与外角
(1)三角形的角和:180°
引申:①直角三角形的两个锐角互余:
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角:
③一个三角中至少有两个角是锐角。
(2)三角形的外角和:360°
(3)三角形外角的性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和:一一常用来求角度
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的角。一一常用来比较角的大小
5.多边形的角与外角
多边形的角和与外角和(识记)
(
1
)
多边形的角和:(n-2)180°
(2)多边形的外角和:360°
引申:(1)从n边形的一个顶点出发能作(n-3)条对角线:
(2)多边形有〃(〃一③)条对角线。
2
(3)从n边形的一个顶点出发能将n边形分成(n-2)个三角形;
^6.镶嵌
(1)同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌;
(2)正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平而镶嵌:
(1)同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。
【典型例题】
三角形的分类例题1:具备下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(B )。
A: ZA+ZB=ZC B: ZA=ZB= ZC C:NA=90’ -ZB D: ZA-ZB=90
例题2:等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30° ,则顶角的度数为(D ).
A. 60°
B. 120°
C. 60° 或150°
D. 60° 或 120" 如图,Z1+Z2+Z3+Z4等于多少度;(280° )
练习:
1、如图,下列说法错误的是(A )
A、ZB >ZACD
B、ZB+ZACB 二180° ~ZA
C、ZB+ZACB <180°
D、ZHEC >ZB
2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的角,则这个三角形是(C ).
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
三角形的角和、外角和相关的计算与证明例题1:若三角形的三个外角的比为3: 4: 5,则这个三角形为(B ).
A.锐角三角形
B.直角三角形 C,等边三角形 D.钝角三角形
例题2:已知等腰三角形的一个外角为150° ,则它的底角为.
练习:
1、如图,若ZAEC=100° , ZB=45° , ZC=38° ,则匕DFE 等于(A )
A. 125°
B. 115°
C. 110°
D. 105°
3、如图,则二. Z2=, N3=,
4、已知等腰三角形的一个外角是120。,则它是(C )
图4
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个角的和为180° ,那么与这个外角相邻的角的度数为(C )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
6、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大角的度数(D ).
A. 90°
B. 110°
C. 100°
D. 120°
例7.如图(1)所示,△鑫。中,的平分线交于点°,
Z^OC=90°+-ZA
求证: 2 .
(1) (2) (3)
变式1:如图(2)所示,△如C中,角ZABC和外角4C7)的平分线交于点。,
ABOC = -AA
求证: 2 .
变式2:如图(3)所示,△如C中,外角匕月悠的平分线交于点°,
Z^OC= 90°--ZA
求证: 2 .
分析:本题已知△展C的角平分线和外角平分线,从而想到可利用三角形角平分线的性质,三角形的角和定理以及外角与角的关系证题。
解答:如图(1) , ?.?在△舶。中,乙48C+匕405 = 180°-匕4
又y ZABC,ZACB的平分线交于点。,
.. 2 2 2
在乙BOC中,ZBOC= 18O°-(Z1+Z2) = 180°-(90°-|z^L) =90。十!匕4
变式1: vZ2是△8。。的一个外角,:.4。。= &一△
V CO平分4西,BO t分ABC,且NAUD是△朋C的外角,
Z2=lz^ + Zl
2
ABOC= -Z^+Z1-Z1 = -AA
:. 2 2
变式2:在△月OC 中,18Q°-(Z1+Z2)
在z, ABC中,AABC^AACB = \^Q-AA
':B0平分ZD8C,且9氏X三点共线,
2Z1 = 180°-z^?C,同理可证2Z2 = 180°-Z^CS
S = J ,
ABOC = 180°- (Z1+/2) = 180。- (90°+】4) = 90°--AA
2 2
例5.已知:如图,在△朋C中,Z^:Z^:ZC=3:4:5, 分别是边AC f AS上的高,BD.CE 相交于N,求ABHC的度数。
分析:由已知可求4,/瓦之2, ZBHC^BHC中,故先求2DBC和
解答;vz£A:ZB:ZC = 3:4:5
.?.设ZL4 - 3A,则匕£ = 4x,匕(7 = 5天
.?.3工+4工+5了= 180°,解得兀= 15°
?AABC = ^,AACB^5°
??
?:BD^AC边上的高,.*助C=90°
.??在Rt^BDC中,ADBC= 90。一匕4(75 = 90°- 75° = 15°
同理Z£C^ = ^°-Z^?C = 30°
.?.在△8* 中,Z^C=180o-15°-30o = 135°
例题1:若一个多边形的角和与外角和相等,则这个多边形是(A )
A,三角形B.六边形C.五边形D.四边形
例题2:下列说法错误的是(A )
A.边数越多,多边形的外角和越大
B.多边形每增加一条边,角和就增加180°
C.正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小
D.六边形的每一个角都是120°
例题3:一个多边形角和与其中一个外角的总和为1360。这个多边形的边数为9 .
例题4:一个多边形的每一个外角都是24“,则此多边形的角和(B )
A. 2160’
B. 2340°
C. 2700°
D. 2880°
练习:
1、一个多边形角和是1080°,则这个多边形的边数为(B )
A、6
B、7
C、8
D、9
2、一个多边形的角和是外角和的2倍,它是( C )
A、四边形
B、五边形
C、六边形
D、八边形
3、—个多边形的边数增加一倍,它的角和增加(A )
A. 180°
B. 360°
C. (n-2)? 180°
D. n ? 180
4、若一个多边形的角和与外角和相加是1800° ,则此多边形是(B )
A、八边形
B、十边形
C、十二边形
D、十四边形
5、正方形每个角都是90°每个外角都是一90。_ 。
6、多边形的每一个角都等于150° ,则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。
7、正六边形共有 9 条对角线,角和等于720°,每一个角等于120、°
8、角和是1620°的多边形的边数是 11 _ .
9、如果一个多边形的每一外角都是24° ,那么它是_垣―边形。
10、将一个三角形截去一个角后,所形成的一个新的多边形的角和180°或36个一°
11、一个多边形的角和与外角和之比是5: 2,则这个多边形的边数为
12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的角和为2520° ,则原务边形有」5或16或17 条边。
13、已知一个十边形中九个角的和的度数是1290°,那么这个十边形的另一个角为150 度.
考点六:镶嵌例题1:装饰大世界出售下列形状的地砖:①正方形:②长方形;③正五边形;④正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选用的地砖有(B )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
例题2:边长相等的下列两种正多边形的组合,不能作平而镶嵌的是(B )
A.正方形与正三角形
B.正五边形与正三角形
C.正六边形与正三角形
D.正八边形与正方形
练习: 1.下列正多边中,能铀满地面的是(B )
A、正方形
B、正五边形
C、等边三角形
D、正六边形
2.下列正多边形的组合中,不能够铺满地而的是(D ).
A.正六边形和正三角形
B.正三角形和正方形
C.正八边形和正方形
D.正五边形和正八边形
3.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有(B )种.
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
4.某装饰公司出售下列形状的地砖:①正方形;②长方形:③正五边形:④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选用的地砖共有(C )种.
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
5.小家装修地面,己有正三角形形状的地砖,现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖,与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌,则小不应购买的地砖形状是(C )
A、正方形B,正六边形C、正八边形 D、正十二边形
6.用正三角形和正四边形作平面镶嵌,在一个顶点周围,可以有二个正三角形和J个正四边形。
7.如图,第n个图案中有白色地砖」皓2「块.
弟1个弟2个宓3个
8.多边形的角和与某一个外角的度数总和为1350°,求多边形的边数°
分析:利用多边形的角和公式来求,另外此题隐含边数为正整数这个条件。
解答:设边数为冷,这个外角为汽°,则°〈二<180,依题意有:(?-2)-180° + x=1350
1350 —X c ° 90 —K 冷= + 2 = 9 +
180 180
?.?”为正整数,...(90 —二)必为180的倍数。
又< A <180 , 90 - x = 0 , /.? = 9
相似三角形经典大题(含答案)
相似三角形经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,B C 边的长为8,B C 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为A B 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作M N B C ∥,交A C 于点N ,在A M N △中,设M N 的长为x ,M N 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿M N 折叠,使A M N △落在四边形B C N M 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h , ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时, 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· (04x <≤) ②当1A 落在四边形B C N M 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边E F 上的高为1h , 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取163 x = ,8y =最大 86> ∴当163 x = 时,y 最大,8y =最大 M N C B E F A A 1
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)
初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是: 1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。 (二)重要知识点介绍: 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质: ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。 则 ,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
初二数学练习题.经典题型
八 年 级 数 学 试 题 姓名: 一、选择题:本大题共12 个小题.每小题4分;共48分. 1.下列方程中是二元一次方程的是 ( ) A. 32=+ y x B. 2 23y x =+ C. 022=-y x D.31-=+y x 2.和数轴上的点一一对应的数是……………………… ( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是………………………… ( ) A. 6,8,10 B. 9,12,15 C. 1,2,3 D. 7,24,25 4.如图,所示是直线y kx b =+的图象,那么有( ) A .k >0,b >0 B .k >0,b <0 C .k <0,b <0 D .k <0,b >0 5.多边形的每个外角都是36°,则它的边数是( ). A .15 B .13 C .10 D .7 y 6.抽查初三年级8名学生一周做数学作业用的时间分别为(单位:小时)5,4,6,7,6,6,7,8.这组数据中,中位数为 ( ) A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 7.如图所示,△ABC 沿射线AC 的方向平移5厘米后成为△A 'B 'C ' ,则BB ' 的长度是( ) A.10cm B.2.5cm C.5cm D.不能确定 8. 菱形的对角线的长分别为6和8,则它的周长为 ( ) A.5 B.10 C.20 D.40 9.一次函数y kx k =+,不论k 取何非零实数,函数图象一定会过点 ( ) A .(1,1-) B .(-1,0) C .(1,0) D .(1-,1) 10.如图,AOB △中, 30B =o ∠.将AOB △绕点O 顺时针旋转52o 得到A OB ''△,边A B ''与边OB 交于点C (A '不在OB 上),则A CO '∠的度数为( ) A .22o B .52o C .60o D .82o 11.甲、乙两名学生运动的一次函数图象如图所示,图中s 和t 分 别表示与出发地的距离和时间,根据图象可知,快者的速度比慢 者的速度每秒快( ) A .2.5米 B .1.5米 C .2米 D .1米 12.如图,四边形ABCD 是正方形,BF ∥AC ,四边形AEFC 是菱形, 则∠ACF 与∠F 的度 数比是 ( )A .3 B.4 C.5 D.不是整数 A A ' B C O B ' 64 t/秒 12 s/米 O 8
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相似三角形压轴经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A , 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取16 3x = ,8y =最大 86> ∴当16 3 x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; M N C B E F A A 1