状态压缩DP
poj2288IslandsandBridges_状态压缩dp_哈密尔顿回路问题
poj2288IslandsandBridges_状态压缩dp_哈密尔顿回路问题题⽬描述：哈密尔顿路问题。
n个点，每⼀个点有权值，设哈密尔顿路为 ，Ci的权值为Vi，⼀条哈密尔顿路的值分为三部分计算：1.每⼀个点的权值之和2.对于图中的每⼀条CiCi+1，加上Vi*Vi+13.对于路径中的连续三个点：CiCi+1Ci+2，若在图中，三点构成三⾓形，则要加上Vi*Vi+1*Vi+2求⼀条汉密尔顿路可以获得的最⼤值，并且还要输出有多少条这样的哈密尔顿路。
这道题的状态感觉不是很难想，因为根据⼀般的哈密尔顿路问题，⾸先想到的是设计⼆维状态，dp[i , s]表⽰当前在i点，⾛过的点形成状态集合s。
但是这道题在求解值的时候有⼀个不⼀样的地⽅，就是第三部分，如果还是设计成⼆维的状态，就会很⿇烦，因为每加⼊⼀个新点，要判断新点、当前点、倒数第⼆个点是否构成三⾓形，所以要记录倒数第⼆个点。
很⾃然地想到扩展状态的维数，增加⼀维，记录倒数第⼆个点。
1> 设计状态：dp[i , j , s]表⽰当前站在j点，前⼀个点是i点，形成的状态集合是s，此时的最⼤值，way[i , j , s]记录当前状态下达到最⼤值的路径数；2> 状态转移：设k点不在集合s中，且存在边<j , k>设q为下步到达k点获得的最⼤值令r = s + （1<<k），为当前站在点k，前⼀个点为j，形成状态集合r若i，j，k形成三⾓形，则q = dp[i][j][s] + v[k] + v[j]*v[k] + v[i]*v[j]*v[k]否则，q = dp[i][j][s] + v[k] + v[j]*v[k];若q⼤于dp[j][k][r]；则：dp[j][k][r] = qway[j][k][r] = way[i][j][s];若q等于dp[j][k][r]，则：way[j][k][r] += way[i][j][s];3> 初始化：显然，若i点到j点有边，则：dp[i][j][(1<<i)+(1<<j)] = v[i] + v[j] + v[i]*v[j];way[i][j][(1<<i)+(1<<j)] = 1;4> 结果的产⽣：最后的结果我们要枚举点i和j，找到最⼤的dp[i][j][(1<<n)-1]，并且更新记录路径数ansp，最后ansp要除2才是结果，因为题⽬最后⼀句话，正向反向是⼀样的路。
动态规划之状态压缩
状态压缩Abstract信息学发展势头迅猛，信息学奥赛的题目来源遍及各行各业，经常有一些在实际应用中很有价值的问题被引入信息学并得到有效解决。
然而有一些问题却被认为很可能不存在有效的(多项式级的)算法，本文以对几个例题的剖析，简述状态压缩思想及其应用。
Keywords状态压缩、Hash、动态规划、递推ContentIntroducti o n作为OIers，我们不同程度地知道各式各样的算法。
这些算法有的以O(logn)的复杂度运行，如二分查找、欧几里德GCD算法(连续两次迭代后的余数至多为原数的一半)、平衡树，有的以)运行，例如二级索引、块状链表，再往上有O(n)、O(n p log q n)……大部分问题的算法都有一个多项式级别的时间复杂度上界1，我们一般称这类问题2为P (deterministic Polynomial-time)类问题，例如在有向图中求最短路径。
然而存在几类问题，至今仍未被很好地解决，人们怀疑他们根本没有多项式时间复杂度的算法，NPC(NP-Complete)和NPH(NP-Hard)就是其中的两类，例如问一个图是否存在哈密顿圈(NPC)、问一个图是否不存在哈密顿圈(NPH)、求一个完全图中最短的哈密顿圈(即经典的Traveling Salesman Problem货郎担问题，NPH)、在有向图中求最长(简单)路径(NPH)，对这些问题尚不知有多项式时间的算法存在。
P和NPC都是NP(Non-deterministic Polynomial-time)的子集，NPC则代表了NP类中最难的一类问题，所有的NP类问题都可以在多项式时间内归约到NPC问题中去。
NPH包含了NPC和其他一些不属于NP(也更难)的问题，NPC问题的函数版本(相对于判定性版本)一般是NPH的，例如问一个图是否存在哈密顿圈是NPC的，但求最短的哈密顿圈则是NPH的，原因在于我们可以在多项式时间内验证一个回路是否真的是哈密顿回路，却无法在多项式时间内验证其是否是最短的，NP类要求能在多项式时间内验证问题的一个解是否真的是一个解，所以最优化TSP问题不是NP的，而是NPH的。
2024年CSP NOIP 夏令营课程设计
2024 夏令营各营列表及说明（不分年级只分难度）务必选取本人匹配的营：a、请依照营别说明和对应课表选班；b、请进行学业水平测试选班；c、学业顾问推荐。
CSP-J 精英营
7 月 15-21 济南
系统学习过 CSP-J 知识体系，能用数据结构和算法写简单程序。但做题量不足、 难度不够、应用及变形能力 弱。
对算法知识进行梳理并通过补充大量经典例题增加难度。 课程内容覆盖 J 组的所有内容， 并还会涉及少量必要的 S 组的拓展内容。目标 200 分以上
4890
CSP-J 刷题实战 梳理营
7 月 23-30 济南
对 J 组知识已经相对熟悉， 知识储备完整， 但刷题量小、 刷题质量不高。利用知识储备分析、构造、解决问题能力不足、 实战能力弱
全模块。通过训练突破没有思路或有思路不会写的瓶颈，“快速审题+解题思路+代码实现+算法模型的构建 ”为主， 着力于分析能力、 构造能力、 解题能力的培养。目标具备 200 分以上能力
4890
S NOIP 刷题实 战梳理营
7 月 23-8 月 3 济南
对 S NOIP 知识已经相对熟悉， 知识储备完整但系统 性不强 。 缺少模块专项模拟和全真模拟 ， 分析、构造、解决问题能力不足 ， 实战能力弱
系统学习过 CSP-J 知识体系，能用数据结构和算法写简单 程序。但做题量不足、 难度不够、应用及变形能力弱。
对算法知识进行梳理并通过补充大量经典例题增加难度。 课程内容覆盖 J 组的所有内 容，并还会涉及少量必要的 S 组的拓展内容。目标 200 分以上
注：以上课程可能根据学生实际情况略有微调，以实际发放的课表为准。每课时 50 分钟。
DP优化
网上其他人的总结：其实dp很难逃出3种思路：1、一维线性dp：每次考虑i时，选择最优子问题要么在i-1，要么在1...i-1里；2、二维线性dp：考虑(i,j)子问题时，选择最优子问题要么在(i+1,j)、(i,j-1)，要么在i<= k <=j，在k里；3、树形dp：考虑i节点最优时，选择子节点最优，一般融合了01背包dp的双重dp。
记忆化搜索这就是dp运用的一次飞跃，每当我们在搜索一个规模为n的问题的时候，我们都可以思考一下能否运用n-1（或<n）或者n/2规模问题的解，如果可以，加入这个备忘，会非常强悍地提高我们的搜索效率。
而事实上，n-1（或<n）就是我们通常所说的递推；n/2就是我们通常所说的分治或二分的思想。
关于dp的优化：时间上：1.根据状态转移方程考察是否可以组织数据结构来记录优化2.四边形不等式，单调队列、斜率等空间上：1.滚动数组2.二分3.状态压缩计算上：矩阵快速幂状态转移方程背包问题通用0（N*V）解法/problem?id=1742已知：有N类物品和一个容量为V的背包。
第i类物品的个数是num[i]，费用（即容量消耗）是cost[i]，价值是value[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量V，且价值总和sum_value最大。
记上述问题为F。
很明显,F=当num[i]==1，问题等价于01背包，就是每种物体要么选0个，要么选一个；当num[i]==无穷大，问题等价于完全背包，每种物体的个数无限，选取没有限制；当num[i]==有限值的时候，问题等价于多重背包，每种物体个数有限制；（当然，01、完全背包也可以等价于多重背包的特殊情形来理解）所以，我们就得到一个F问题的通用0（N*V）解法：按顺序枚举背包种类按顺序枚举背包容量If(当前容量中所记录的该种背包个数< 可用的背包个数且加入此背包可产生更优解) (更新最优值；更新记录数；)事实上，上面的通式在对01、完全背包使用的时候还能够简化，即：01逆序；完全背包顺序；01 背包：for i=1..Nfor v=V..cost[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}完全背包：for i=1..Nfor v=0..V[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}甚至多重背包有更加牛B的简化，这个是由楼天成楼教主提出来的：？？* 剩余类优化的动态规划算法* 假设状态是f（i,j）表示用前i 种钱币能否拼出面值为j。
状压DP入门经典题洛谷P1896互不侵犯
状压DP⼊门经典题洛⾕P1896互不侵犯题意：给你⼀个n*n的棋盘，摆上k个国王，要求每个国王九宫格范围内没有别的国王分析：状压DP⼊门经典题我们可以⽤⼆进制数串表⽰状态⽐如1010 就是该⾏第⼆个第四个有国王，第⼀三个就没有判断九宫格范围内是否有别的国王，我们从上到下依次递推对于当前⾏，就是i&(i<<1)不为0的话，就说明相邻的有要特别注意s的起点，如果不能理解就直接记住从0开始的做法就好具体的讲解在代码⾥⾯#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int inf=0x3f3f3f3f;const int mod=1e9+7;const int maxn=1e3+7;const int N=1e4;int n,k;int state[1500],king[1500];//分别表⽰当前状态，以及当前状态的国王数ll dp[15][1500][100];//dp[i][j][k]表⽰第i⾏，状态j，总共⽤了k个国王的⽅案数ll res,ans;void init(){int tot=1<<n;//左移n位，遍历的时候记住遍历到tot-1，⽐如5个数位我们⽤64来表⽰，63即11111for(int i=0;i<tot;i++){if(i&(i<<1))continue;//有值说明当前⾏不满⾜左右不相邻state[++res]=i;int temp=i;while(temp){if(temp%2)king[res]++;temp>>=1;}}}int main(){scanf("%d%d",&n,&k);init();//初始化，求出满⾜本⾏内不相邻的情况（状态）for(int i=1;i<=res;i++){//初始化第⼀⾏if(king[i]<=k)dp[1][i][king[i]]=1;}for(int i=2;i<=n;i++)//从第⼆⾏开始⼀⾏⾏的找for(int j=1;j<=res;j++){//枚举当前⾏状态for(int p=1;p<=res;p++){//枚举上⼀⾏的状态//因为要求⼀个国王九宫格内不允许有另外的国王，具体到上⼀⾏就是上⼀⾏的正上，左上，右上都不能有国王（也就是状态数不能有1） //故记下来三个操作分别是排除正上，左上，右上有国王的情况(注意只能左移，右移会损失精度)if(state[j]&state[p])continue;if(state[j]&(state[p]<<1))continue;if((state[j]<<1)&state[p])continue;for(int s=0;s<=k;s++){//枚举当前⾏之前已经⽤了多少个国王了//注：这⾥s的取值⾮常⾮常重要直接影响到dp数组的意义//如果s的取值从0开始，那表⽰的是这⼀⾏和之前⼀起放king[j]+s个国王的⽅案数//如果从1开始，表⽰的是到了这⼀⾏正好放king[j]+s个国王，以前够了king[j]+s个棋⼦的⽅案没有记录在内if(s+king[j]<=k)dp[i][j][king[j]+s]+=dp[i-1][p][s];}}}//如果前⾯s取值从1开始，还要枚举⾏数i从1到nfor(int i=1;i<=res;i++){//记录答案ans+=dp[n][i][k];}//printf("%I64d",ans);cout<<ans;return0;}。
【最新推荐】状态压缩动态规划-范文模板 (13页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==状态压缩动态规划篇一：一道状态压缩DP的详细思路一道状态压缩DP的详细思路河北省衡水中学高亚在动态规划的过程中，状态的表示有时候很是恶心，不容易表示出来，所以，我们需要用一些编码技术，将这些状态表示出来，最常用的方法是用一个二进制数来表示一个集合的状态，下面通过一道例题来对状态压缩DP进行分析小keke同学非常喜欢玩俄罗斯方块（**）,他最近发现传统的俄罗斯方块很无趣，于是他想到了一个新规则的游戏来恶心你（……，没素质啊）。
游戏是这样的：给定你一个宽度为w的游戏场地，我们设高度为正无穷。
现在给你3种俄罗斯方块： 1*2的方块2*2的方块2*2的方块去掉一个1*1的方块如果你明白俄罗斯方块的规则的话，方块在下落过程中是可以随便旋转的。
而且是从上往下落，上面的落在下面的上面（废话！！！）现在给定你一个高度h，让你求出有多少种游戏的方法，使得最后恰好落满h 的高度（最上层是齐平的）。
因为这样可以得巨多分！巨！舒服~~~~~两个整数h,w含义如题所述一个整数，为能达到要求的游戏方法的总数。
1<=h,w<=9,注意答案有可能很大（你懂得，用不到高精度）首先，先根据题意，将这个俄罗斯方块的所有形状都画出来（注意这些方块已经标上号了，下面直接引用不加说明）观察到只有七种情况，并且它们的高度只有两行，所以，一个俄罗斯方块最多只会影响上一行或下一行，而不会影响其他行题目中给出的高度，宽度最多只有9，用二进制位完全可以满足要求，所以可以用0表示这个地方是空的，1表示这个地方已经被填充了木块，那么可以很方便的用两个十进制数来表示两行的状态设f[i][j]表示前i行，并且第i行状态为j的最多方案数，那么因为第i行的放置方案仅仅只会影响上一行，所以可以得以下方程：f[i][j]=∑f[i?1][j′]其中，要求第i-1行的j'状态能够推到j这个状态来个最简单的例子，一个2*2的方格，从空的状态到把它填满，方案数是多少？（其实就是样例）可以看到，如果用刚才的方法，直接用0表示不填，用1表示填，那么这三种方案的状态表示是一样的，所以如果只是简单的求和，方案数就只是简单的1，并不是我们想要的结果，如何满足这一点的要求呢？其实可以采用预处理的方法，预处理出从状态i到状态j的方案数有多少种，记录到g[i][j]数组中（如果不能转移到，那么g[i][j] = 0），然后在方程转移的时候，直接采用下面的方程：f[i][j]=∑g[j′][j]?f[i?1][j′]其中j'还是老规矩，能从j'状态推到j这个状态因为有了g[j'][j]这个从j'状态推到j状态的方案数，所以在i-1行状态为j'时，想推到第i行状态为j，共有g[j'][j]种方案可以选择，根据乘法原理，所以f[i-1][j']的方案数乘以g[j'][j]就可以得到f[i][j]，最后针对每种状态，求和即可好了，我主要想说的是如何进行预处理，最后还想说说方程中f数组的初值问题，因为这两个问题是我都犯过错的，或许能引以为戒预处理的目的是求出任何一个状态i到任何一个状态j的方案数一共有多少，那么显然，i和j都不大，搜索即可需要注意的是，搜索中有许多细节问题需要处理，相当考验细心搜索的时候，我们枚举的是状态i，然后搜索状态i能够推出什么样的状态j，针对推出的每一种合法的i, j，将相应的g[i][j]加1枚举状态i就不用多说了，一个for循环就可以了，注意区间是[0, 2w) （左闭右开）当有了状态i，那么我们的目标是将状态i填满（变成11111111这种形式），并且记录得到的相应的状态j，这个步骤的伪代码如下：基本上就是这些，注意边界的处理就好了第一次打这个搜索的时候，没有弄清搜索的实质是要干什么，导致position的加减总是不对，并且，状态考虑重复，造成了答案偏大基本的递推就是三重for循环，这个没什么问题，主要是那个f数组的初值问题这里必须且只能赋f[ 1][ 0] = 1，为什么？首先，f[ 1][ 0] = 1的含义是第一行什么都不填的方案数是1，这个应该没什么问题，但为什么不将f[ 1][j]的其它状态的初值赋上？还是先考虑一下赋初始值的目的，显然是将f[ 2][j]全部计算出来，对于任意的一个j，会枚举出所有的第一行的状态，并将它们全部累加，但其实第一行的任何合法状态都只能是一种方案，只将f[ 1][ 0]赋值就可以保证不会重复计算，如果其它的f[ 1][j]也有值的话，就会重复累加很多方案数，但其实并没有这么多综上所述，这里必须且只能赋f[ 1][ 0] = 1代码还可以吧，配合着上面的伪代码解析，应该挺容易懂的篇二：动态规划_状态转移方程-我们将人生划为诡异的阶段·我们把这个世界表为丰富的状态1. 资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2. 资源问题2 ------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]); 3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列 F[i]:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2 -----多边形剖分 F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6. 剖分问题3 ------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3 -----系统可靠性(完全背包) F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]} 8. 贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3} 9. 贪心的动态规划2 -----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负g[I,k]*f[k+1,j];负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min 11. 树型动态规划1 -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型) F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]} 12. 树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}13. 计数问题1 -----砝码称重 f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]; (1<=i<=n;1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];) 14. 递推天地1 ------核电站问题f[-1]:=1;f[0]:=1; f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m] 15. 递推天地2 ------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]; 16. 最大子矩阵1 -----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f); 17. 判定性问题1 -----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false;g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j) 18. 判定性问题2 -----能否被k整除f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j];-k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0 f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0] 21. 线型动态规划3 -----最长公共子串，LCS问题 f[i,j]={0 (i=0)&(j=0); (i>0,j>0,x[i]=y[j]); f[i-1,j-1]+1 max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]); 22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)。
Dp状态设计与方程总结
Dp状态设计与方程总结1. 不完全状态记录 (2)<1>青蛙过河问题： (2)<2>利用区间dp (3)2.背包类问题 (4)<1> 0-1背包，经典问题 (4)<2>无限背包，经典问题 (4)<3>判定性背包问题 (4)<4>带附属关系的背包问题 (5)<5> + -1背包问题 (5)<6>双背包求最优值 (7)<7>构造三角形问题 (9)<8>带上下界限制的背包问题 (10)3.线性的动态规划问题 (13)<1>积木游戏问题 (13)<2>决斗（判定性问题） (13)<3>圆的最大多边形问题 (14)<4>统计单词个数问题 (14)<5>棋盘分割 (14)<6>日程安排问题 (15)<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等) (15)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益) (15)<9>资源分配问题 (15)<10>数字三角形问题 (16)<11>漂亮的打印 (16)<12>邮局问题与构造答案 (17)<12>最高积木问题 (19)<13>两段连续和最大 (19)<14>2次幂和问题 (20)<15>N个数的最大M段子段和 (20)<16>交叉最大数问题 (20)4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等) (22)<1>模K问题的dp (22)<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数 (22)<3>变换数问题 (24)5.单调性优化的动态规划 (25)<1>1-SUM问题 (25)<2>2-SUM问题 (26)<3>序列划分问题(单调队列优化) (27)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大) (28)<1>凸多边形的三角剖分问题 (28)<2>乘积最大问题 (28)<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值) (29)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化) (29)7.贪心的动态规划 (31)8.状态dp (33)<1>牛仔射击问题(博弈类) (33)<2>哈密顿路径的状态dp (35)<3>两支点天平平衡问题 (35)<4>一个有向图的最接近二部图 (36)9.树型dp (38)<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态) (38)<2>小胖守皇宫问题 (40)<4>树中漫游问题 (41)<5>树上的博弈 (42)<6>树的最大独立集问题 (42)<7>树的最大平衡值问题 (42)<8>树的限制节点数坎边问题 (43)1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题：由于河的长度十分长，达到10^9，所以不可能用dp[i]表示在坐标i时踩到的最少石头数，需要换种状态记录方式来压缩。
旅行商问题（状压dp入门）
旅⾏商问题（状压dp⼊门）题⾯给定⼀张 n 个点的带权⽆向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。
Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好⼀次。
输⼊格式第⼀⾏输⼊整数n。
接下来n⾏每⾏n个整数，其中第i⾏第j个整数表⽰点i到j的距离（记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
输出格式输出⼀个整数，表⽰最短Hamilton路径的长度。
数据范围1≤n≤200≤a[i,j]≤107输⼊样例：50 2 4 5 12 0 6 5 34 6 0 8 35 5 8 0 51 3 3 5 0输出样例：18思路状压dp的⼊门题⽬，本题数据量是⼆⼗，哈密顿周游问题是⼀个np完全问题，所以我们可以暴⼒解，那么暴⼒枚举复杂度20的阶乘，⼤概在18次⽅左右，显然我们不能接受。
所以我们需要考虑状态压缩。
⾸先我们想，我们有四个点，1234，我们要从1⾛到4，两种⾛法，1->2->3>4和1->3->2->4，我们假设第⼀种⾛法距离为2，第⼆种⾛法，距离为3，那么，在后续的路程中，如果前半段是这样的⼀个⾛法，后半段的每⼀个⾛法，这两个⽅案都会⼀⼀对应，然⽽第⼀个⽅案总⽐第⼆个⼩1，所以我们不需要枚举第⼆种⽅案就可以取得最优值，这就是dp 的思想。
那么，我们如何枚举哪，基于上⾯的论述，我们所需要的的条件就是我们的终点和我们所⾛过的点，那么我们⾛过的点怎么枚举呢，这就要⽤到⼆进制数来进⾏⼀个状态的压缩了。
我们⼀共的状态就是1<<20个，然后进⾏⼀个状态的转移就好了。
当然我们在枚举的时候可以进⾏⼀个剪枝，就是我们要去掉⽬前的终点枚举上⼀个状态的时候，我们可以判断⼀下，这个终点是否在我上层循环的状态⾥⾯，后⾯也是⼀样。
状态DP
(2) 1 (1) 2 (3) 2 2 (5) 1 (6)
0 1 2 0 inf …
3
(4)
4
1
3 4
不 允 许 经 过 重 复 结 点 ？
动态规划(Dynamic Programming)
状态表示和状态转移
简单自顶向下剪枝避免无用状态dp用位压缩的办法表示经过的点的集合则每种状态都可以用三个整数表示不妨记为ast其中st表示经过的点的集合st时间复杂度on32n空间复杂度on22ndp状态数目是指数级别的但相对于搜索而言仍不失为一种高效算法poj1691paintingpoj2836rectangularcoveringfloorbrickspoj1691painting换刷子poj2836rectangularcoveringpoj2836rectangularcoveringfloorbricks容易设计出状态表示方案状态转移的过程需要仔细考虑
状态转移
– –
POJ2836 Rectangular Covering
一个大矩形划分为更小的矩 形的例子： 划分后得到的小矩形的面积 和必小于等于原始大矩形的 面积，并且小矩形覆盖的点 都在小矩形的顶点上。
图5
POJ2836 Rectangular Covering
覆盖4个点
覆盖3个点
POJ2285 The Floor Bricks
状态DP
04计算机-肖锋
动态规划(Dynamic Programming)
动态规划是解决多阶段决策问题的一种思想方 法
– – –
阶段性：原问题的解决过程可以划分成一系列子问 题，通过逐个解决子问题来得到原问题的解 最优子结构：原问题是最优当且仅当子问题最优 无后效性：原问题的解只与子问题的解有关，而与 得到子问题的过程无关
两堆西瓜8个解题方法
两堆西瓜8个解题方法在这个问题中，我们需要找到两堆西瓜中至少有多少个西瓜的重量相同。
为了解决这个问题，我们可以尝试以下八种不同的方法。
方法一：暴力枚举这是一种最简单的解法，直接枚举两堆西瓜的重量，找到相同的重量即可。
但这种方法时间复杂度较高，不适合处理大规模数据。
方法二：排序和枚举首先对每堆西瓜进行排序，然后枚举两堆西瓜的重量。
如果两堆西瓜的重量相同，计数器加一。
这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，相比暴力枚举有一定优化。
方法三：哈希表用哈希表存储每种重量出现的次数。
首先计算第一堆西瓜的重量频次，然后遍历第二堆西瓜的重量，计算两堆西瓜重量相同的次数。
这种方法的时间复杂度为O(n)，效率较高。
方法四：状态压缩将每堆西瓜的重量用一个整数表示，例如重1-8斤的西瓜分别用0-7表示。
然后使用记忆化搜索算法，从第一堆西瓜开始遍历，找到与第二堆西瓜重量相同的重量。
这种方法的时间复杂度为O(n)，其中n为西瓜的重量范围。
方法五：记忆化搜索这种方法与方法四类似，但不需要使用状态压缩。
直接使用记忆化搜索算法，从第一堆西瓜开始遍历，找到与第二堆西瓜重量相同的重量。
时间复杂度为O(n)。
方法六：动态规划设dp[i][j]表示前i个西瓜中，与后j个西瓜重量相同的最小重量。
通过动态规划求解dp数组，最后dp[0][n-1]即为两堆西瓜重量相同的最小重量。
这种方法的时间复杂度为O(n^2)。
方法七：回溯算法从第一堆西瓜开始，逐个与第二堆西瓜进行比较。
如果发现重量相同，则继续比较下一对西瓜。
直到找不到相同重量的西瓜为止。
这种方法的时间复杂度为O(n^2)。
方法八：贪心算法首先对第一堆西瓜进行排序，然后从重量最小的西瓜开始，逐个与第二堆西瓜进行比较。
如果发现重量相同，则继续比较下一对西瓜。
直到找不到相同重量的西瓜为止。
这种方法的时间复杂度为O(nlogn)。
总结与比较在这八种方法中，哈希表方法、状态压缩方法和记忆化搜索方法的效率较高，时间复杂度为O(n)。