高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例

一、基本不等式的基础形式

1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2

．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．

常考不等式：2

222

1122a b a b ab ++??≥≥≥ ???+

，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：

（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，(

)min a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2

max 2a b ab +??

= ???

，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a

b

+=，则a b +的最大值是 ．

解析：很明显，和为定，

当且仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1

(0,1)x y a

a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明

12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2

122

x

x f x +=+

，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．

解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得

，当且仅当

2

1212x x x +=

?=-时取等号。

变式：已知2x >-，则1

2

x x +

+的最小值为 。 解析：由题意可得()1

20,212

x x x +>+?=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：

1

22112

x x x x +=?+=?

=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，

x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是

________．

解析：

解法1：

故而可得分式的

解法2：

问题2：“1”的代换

例题4：若两个正实数x 、y 满足

141x y += ，且不等式234

y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。

解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y

+=可得：14441y x x y y x ????++ ???

?

???+=，化简可得：

1441144y y x x x y x y ???

?++=+++ ????

???，很明显44y x x y +

中积为定值，根据积定和最小的法则可得：424y x x y +≥=，

当且仅当2418

4x y x y x y =?==??=?时取等号。故而可得1444y x x y ???

?++≥ ???????。不等式234y x m m +

-＜有解，亦即2min 344y m m x ?

?->+= ??

?，亦即2340m m -->，解得4m >或者

1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-?+∞。

变式：若0x ≥， 0y ≥，且

12

22x y x y

+=++，则43x y +的最小值为__________．

解析：由()()2243x y x y x y +++=+，化简题干条件可得

14

2222x y x y

+=++乘以所求内容可得：

()()1414432222222224322x y x y x y x y x y x y x y x y ????

++++++ ? ?++++????+==，化简后可得：

()422241

222432

x y x y x y x y

x y ++++++++=，很明显()4222222x y x y x y x y +++++中二者积为定值，根据积定和最

小法则可得

()

42224222x y x y x y x y +++≥=++，当且仅当

()42222222x y x y x y x y ++==++，亦即0

32x y =??

?=

??

问题3：方程中的基本不等式

解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。

例题5：（2015·湖南高考）若实数a ，b 满足1a ＋2

b

＝ab ，则ab 的最小值为__________．

解析：由题意可知可以利用基本不等式，

12a b =+≥=

，当且仅当

122b a a b =?=

时取等号，化简后可得：ab =1

4

5

4

22a b ?

=???=?

变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________．

解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ?=++?=++，由题意需要求解xy ，故而可

知利用不等式x y +≥

31xy x y -=+≥当且仅当x y =时等号成立，化

简上式可得(

)

31011011xy xy --≥?-≥?≥?≥，此时1x y ==

问题4：含参基本不等式问题

解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。

例题6：已知

22224

1a a x x x

++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立，则（ ） A ．a 的最小值为3- B ．a 的最小值为4-

C ．a 的最大值为2

D ．a 的最大值为4

解析：由题意可知参数为a ，将自变量移项可得：22

44

221

x a a x x x x x ++≤

+=+--，观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：

4141x x +-≥=-，当且仅当

4131x x x =-=?=-时取等号，此时可得min

451x x ??

+= ?-??。由24221a a x x ++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立可得：

2min

42251a a x x ??

++≤+= ?-??，化简可得()()310a a +-≤，解得31a -≤≤。 变式6：已知a >0，b >0，若不等式22182m m

a b a b

-+≥+恒成立，则m 的取值范围是 。

解析：由题意可知参数为m ，将双自变量a 、b 移项可得：()2

2182m m a b a b ??

-≤++

??

?恒成立，故而可得()2min

2182m m a b a b ????-≤++ ???????，

将不等式右侧化简可得()212225b a a b a b a b ??

++=++ ???，很明显积为定值，

根据积定和最小法则可得：

224b a a b +≥=，当且仅当221b a

a b a b

=?==时取等号。

故而()min

2129a b a b ??

??++=

???????，代入不等式中可得289m m -≤化简为()()910m m -+≤解不等式可得19m -≤≤。

问题5：不等式与其他问题结合

（向量与不等式）例题7：已知(0,0)OA aOB bOC a b =+>>，且,,A B C 三点在同一条直线上，则11

a b

+的最小值为_________．

解析：由三点共线可得1a b +=，观察形式采用“1”的代换，故而()

111121a b b a a b a b a b

??

++ ???

+==++，

等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：22b

a b a a b a b +

≥?=，当且仅当12

b a a b a b =?==时取等号。故而可得

1123b a

a b a b

+=++≥。 （不等式与解析几何）例题8：若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆2

2

2410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则

11

a b

+的最小值为 。 解析：将圆化为标准方程可得()()2

2

124x y ++-=，根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心()

1,2-代入直线方程可得22a b +=。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即()

112112

a b a b a b ??

++ ???

+=，

化简可得

2311

2

b a a b a b

+

+

+=很明显积为定，根据积定和最小法则可得：22222b a b a a b a b +≥?=，当且仅当222

222

a b a a b b ?=-?=??=-??时取等号，故而可得23113222b a a b a b

+

+

++=≥。 （基本不等式与线性规划）例题9：设,x y 满足条件360

{200,0

x y x y x y --≤-+≥≥≥，若目标函数

z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为12，则

32

a b

+的最小值为 。 解析：作出可行域如图所示：故而可得+z ax by =在点()4,6H 取最大值，即 4612236a b a b +=?+=，

由题意可得采用“1”的代换求解。

即()329423123266b a a b a b a b a b ??

++++ ???+==，观察分子可得分子积为定值，

根据积定和最小法则可得：

9412b a a b +≥=，当且仅当39421

a b a a b b ?=?=???=?时取等号，故而可得94123246

b a a b a b

+

++=≥。

（不等式与解三角形）例题7：ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2?a 2+bc =0. （1）求角A 的大小； （2）若a =√3，求S ΔABC 的最大值.

（3）求ABC ?周长的最值。.

解析：（1）由题意与余弦定理可得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，解得1cos 2A =

，故而3

A π

= （2）由余弦定理可得2

2

2

3a b c bc =+-=，故而2

2

3bc b c +=+，由基本不等式

22

2a b ab +≥可得22323bc b c bc bc +=+≥?≤，当且仅

当b c ==时取“=”号。故而可得三角形的面

积11sin 22ABC S bc A ?=

≤= （3）由余弦定理可得2

2

2

3a b c bc =+-=，故而2

2

3bc b c =+-，由基本不等式2

2a b ab +??

≥ ???

可得：

()(

)2

2

2

22233333324b c b c b c bc bc b c bc b c ++??

++-=?+-=≤?≤?+≤ ?

??

，

当且仅当b c ==

ABC C a b c ?=++≤

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