人教版九年级数学下专题《开放性问题》复习学案

开放性问题复习学案【学习目标】1.掌握开放型问题的特点及类型，熟练运用开放型问题的解题方法和步骤解决有关问题.2.通过对各种类型的开放型问题的探索，培养学生创新意识与创新能力.3.通过富有情趣的问题，激发学生进一步探索知识的激情.感受到数学于生活． 【重点难点】重点：各种类型开放题的解题策略.难点：开放题的正确答案不唯一，要灵活解题. 【知识回顾】1.已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数xky =图象上的点，当x 1＜x 2＜0时， y 1＜y 2，则k 的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k 的值）． 2．二次方程28x x -+________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根． 3．点A,B,C,D 在同一平面内,从①AB 平行CD;②AB=CD;③BC 平行AD;④BC=AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有( ) ． A.2种 B.3种 C.4种 D.5种4.两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______．5.如图，∠BAC=30°，AB=10.现请你给定线段BC 的长，使构成的△ABC 能唯一确定.你认为BC 的长可以是___ ， _____ ．（只需写出2个）【综合运用】例1.如图1，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点． （1）如果__________ ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论．O例2.如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AD 、AE 分别是顶角∠BAC 及邻补角的平分线，AD 交⊙O 于点D ，交BC 于F ，由这些条件请直接写出一个正确的结论： （不再连结其他线段）．例3.已知抛物线1)(2+--=m x y 与x 轴的交点为A 、B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．（1）写出1=m 时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由； （3）请你提出一个对任意的m 值都能成立的正确命题．【直击中考】如图,直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写A DCFE BP出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．4()3()【总结提升】1. 请你画出本节课的知识结构图．2.通过本课复习你收获了什么？【课后作业】 一、必做题：1. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA=PD ．写出图中你认为全等的三角形．(不再添加任何辅助线)二、选做题：2.如图，AB 是⊙O 的直径，CB 、CE 分别切⊙O 于点B 、D ，CE 与BA 的延长线交于点E ，连结OC 、OD ．（1）求证：△OBC ≌△ODC ；（2）已知DE=a ，AE=b ，BC=c ，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O 半径r 的一种方案：①你选用的已知数是 ； ②写出求解过程．（结果用字母表示）开放性问题复习学案答案知识回顾1.略2.略3.C4.略5.5（答案不确定） 综合运用例1. （1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF ． 又∵AE=CF ，∴AC-AE=AC-CF ． ∴AF=CE ．∴△DEC ≌△BAF ．例2.AD ⊥BC,BF=CF,AD ⊥AE,AE 是切线等 例3. 优质解答（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=-x 2+2x ． 正确的结论有：①抛物线的解析式为y=-x 2+2x ； ②开口向下；③顶点为（1，1）；④抛物线经过原点； ⑤与x 轴另一个交点是（2，0）； ⑥对称轴为x=1；等（3分）说明：每正确写出一个得一分，最多不超过（3分）． （2）存在．当y=0时，-（x-m ）2+1=0，即有（x-m ）2=1． ∴x 1=m-1，x 2=m+1． ∵点B 在点A 的右边，∴A （m-1，0），B （m+1，0）（4分） ∵点B 在原点右边 ∴OB=m+1∵当x=0时，y=1-m 2，点C 在原点下方∴OC=m 2-1．（5分）当m 2-1=m+1时，m 2-m-2=0∴m=2或m=-1（因为对称轴在y 轴的右侧，m ＞0，所以不合要求，舍去）， ∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m=2．（7分）（3）如①对任意的m ，抛物线y=-（x-m ）2+1的顶点都在直线y=1上；②对任意的m ，抛物线y=-（x-m ）2+1与x 轴的两个交点间的距离是一个定值；③对任意的m ，抛物线y=-（x-m ）2+1与x 轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2．直击中考 解：（1）如图-1 延长BP 交直线AC 于点E ．,.,AC BD PEA PBD APB PAC PEA APB PAC PBD∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是：（b）当动点P在射线BA上，结论是：或或（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是：选择（a）证明：如图-2，连接PA ，连接PB交AC于M选择（b）证明：如图-3选择（c）证明：如图-4，连接PA，连接PB交AC于F．课后作业1. （1）①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；（2）下面就△ABP≌△DCP给出参考答案．证明：∵AD∥BC，AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形；∴∠BAD=∠CDA；又∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∴∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA；即∠BAP=∠CDP在△ABP和△DCP中∵PA＝PD∠BAP＝∠CDPAB＝DC∴△ABP≌△DCP．2. 解：（1）∵CD、CB是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC，∴△OBC≌△ODC（HL）；（2）①选择a、b、c，或其中2个，②若选择a、b：得r=22 2a bb-若选择a、b、c：方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2=（a+c）2，得，方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，2a b rr c+=，得r=4b-，方法三：连结AD，可证：AD//OC，a bc r=，得r=bca，若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=2a c+，若选择b、c，则有关系式2r3+br2-bc2=0。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.24π--B.24π- C.142π+D.142π-3．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位：分)依次为21，16，17，23，20，20，23，则这组数据的平均数与中位数分别是( ) A ．20分，17分B ．20分，22分C ．20分，19分D ．20分，20分4．如图，在△ABC 中，∠B 的平分线为BD ，DE ∥AB 交BC 于点E ，若AB ＝9，BC ＝6，则CE 长为（ ）A.185B.165C.145D.1255．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ）A. B.C. D.6．一项“过关游戏”规定：在过第n 关时要将一颗质地均匀的殷子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n 次，若n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（ ） A.B.C.D.7．已知△ABC ∼△DEF ，且△ABC 的面积为2cm 2，△DEF 的面积为8m 2，则△ABC 与△DEF 的相似比是（ ） A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：18．在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是23，则袋中原有黑球（ ） A ．2B ．3C ．4D ．69．有这样一道题：如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上，连接DH ，如果12BC =，3BF =.则tan HDG ∠的值为（ ）A.12B.14C.25D.1310．如图,圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=，4OC =，则CD 的长为（）A．B．4 C．D．811．如图，是作线段AB的垂直平分线的尺规作图，其中没有用到依据是（）A．同圆或等圆的半径相等B．两点之间线段最短C．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上D．两点确定一条直线12．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD ＝( )A．12B．34C．45D．35二、填空题13．请写出一个图象经过点(1，1)，且函数值随着自变量的增大而减小的一次函数解析式：______14．计算:= ____________.15．在平面直角坐标系中．点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标是16．近年来日本发生的一次地震及海啸给日本带来16万亿日元到25万亿日元的经济损失25万亿日元用科学记数法表示为__________日元. 17．已知4m a =，16n a =，则m n a +=_____.18．已知一组数据1，2，2，0，﹣1，﹣2，0，﹣1，则这组数据的平均数为__，众数为___，中位数为__，方差为__． 三、解答题19．已知关于x 的不等式组523(-1),138222x x x x a +>⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解,画出数轴求实数a 的取值范围.20．如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i ＝1坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比），另一段斜坡AD 的长400米，在斜坡BD 的坡顶D 处测得山顶A 的仰角为45° （1）求斜坡BD 的坡顶D 到地面BC 的高度是多少米？ （2）求BC ．（结果保留根号）21．（1）计算：（12）﹣2+（π+2019）0tan60°． （2）先化简，再求值：21(1)11a a a -÷+-，其中a ＝2020． 22．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA=6，点E ，F 是DC 的三等分点，△OEF 是等边三角形，求EF 的长度．23．如图，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上一点A （m ，4），过点A 作AB ⊥x 轴于B ，CD ∥AB ，交x 轴于C ，交反比例函数图象于D ，BC ＝2，CD ＝43．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P 是y 轴上一动点，求PA+PB 的最小值．24．如图，建筑物的高CD 为.在其楼顶C ，测得旗杆底部B 的俯角α为60︒，旗杆顶部A 的仰角β为20︒，请你计算：（Ⅰ）建筑物与旗杆的水平距离BD ；（Ⅱ）旗杆的高度.（sin 200.342︒≈，tan 200.364︒≈，cos200.940︒≈ 1.732≈，结果精确到0.1米）25．已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°，如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EP 与AB 交于点G ，与BD 交于点K ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作QM ⊥BD ，垂足为H ，交AD 于点M ，连接AF ，PQ ，当点Q 停止运动时，△EFP 也停止运动设运动事件为（s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1）当为何值时，PQ ∥BD ？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，当t 为 秒时，PQ ⊥PE ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．答案不唯一，如：y＝－x＋2 14．-1.15．（-2，-3）．16．17．6418．18； 0、﹣1、2； 0；11964．三、解答题19．-3≤a<-2【解析】【分析】先分别解两个不等式，分别求出它们的解集，再根据不等式组有四个整数解列出关于a 的不等式求解即可.【详解】解:523(-1), 1382, 22x xx x a+>⎧⎪⎨≤-+⎪⎩①②解不等式①得:x>-52,解不等式②得:x≤a+4,∵不等式组有四个整数解,∴不等式组的解集在数轴上表示为:∴1≤a+4<2,解得:-3≤a<-2.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.20．（1）D到地面BC的高度是300米；（2）BC为米【解析】【分析】（1）根据题意可知在Rt△BDF中，tanB＝1，得到∠B＝30°，即可解答（2）根据题意可知BC＝BF+DE ，所以可利用三角形的性质分别求出BF,DE即可解答【详解】（1）如图，过点D作DF⊥BC于点F，在Rt△BDF中，tanB＝1，∴∠B＝30，∴DF＝12＝300，答：D到地面BC的高度是300米；（2）在Rt△BDF中，BD＝600，∴BF＝BD•cos∠DBF＝，在Rt△ADE中，AD＝400米∴DE＝AD•cos45∠ADE＝，∴BC＝BF+DE＝，答：BC为米．【点睛】此题主要考察解直角三角形的应用和矩形的定义，解题关键是作好辅助线21．（1）10；（2）2019．【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案；（2）根据分式的运算法则即可求出答案.【详解】解：（1）原式＝＝4+2+1+3＝10；（2）原式＝11(1)(1)(1)(1)1 11a a a a a aaa a a a+-+-+-⋅=⋅=-++当a＝2020时，原式＝2020﹣1＝2019．【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型.22．【解析】【分析】过O作OG⊥DC，利用等边三角形的性质和矩形的性质以及含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，过O作OG⊥DC，∵△OEF 是等边三角形，∴EG=GF ，∠FEO=60°，OE=EF=OF ， ∵点E ，F 是DC 的三等分点， ∴DE=EF=FC ， ∴DE=OE ， ∴∠ODE=30°，∴DG=2， ∵矩形ABCD ， ∴DB=AC=2OA=2OD=12，∴∴∴【点睛】此题考查矩形的性质，关键是利用等边三角形的性质和矩形的性质以及含30°的直角三角形的性质解答．23．（1）4y x=；（2）【解析】 【分析】（1）可得点D 的坐标为：4m 2,3⎛⎫+ ⎪⎝⎭，点A （m ，4），即可得方程4m=43（m+2），继而求得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BF 交y 轴于点P ，可求出BF 长即可． 【详解】解：（1）∵CD ∥y 轴，CD ＝43， ∴点D 的坐标为：（m+2，43）， ∵A ，D 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，∴4m ＝43（m+2），解得：m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4）， ∴k ＝4m ＝4，∴反比例函数的解析式为：y ＝4x； （2）过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，并延长AE 到F ，使AE ＝FE ＝1，连接BF 交y 轴于点P ，则PA+PB 的值最小．∴PA+PB ＝PF+PB ＝BF == 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质．注意准确表示出点D 的坐标和利用轴对称正确找到点P 的位置是关键．24．（Ⅰ）建筑物与旗杆之间的水平距离BD 的长为10m ；（Ⅱ）旗杆的高度约为21.0m . 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先根据题意得出CE BD =，BE CD ==；再根据BEtan αCE=求出CE 的长，即可得出BD 的值；（Ⅱ）在Rt ΔBCE 中，根据AE CE tan β=⋅可得AE 的长，再利用AB=AE+BE 即可． 【详解】解：（Ⅰ）根据题意可知：CE AB ⊥，四边形BDCE 为矩形，∴CE BD =，BE CD ==.在Rt ΔBCE 中，BEC 90∠=︒，BEtan αCE=，∴()BE BE CE 10mtan αtan60====︒， ∴BD CE 10m ==.即：建筑物与旗杆之间的水平距离BD 的长为10m . （Ⅱ）在Rt ΔACE 中，AEC 90∠=︒，AEtan βCE=， ∴AE CE tan20=⋅︒，∴AB AE BE CE tan20=+=⋅︒+100.36410 1.732≈⨯+⨯3.6417.32=+ ()20.96m =21.0m ≈.答：旗杆的高度约为21.0m . 【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 25．（1）247（2）t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8（3）327【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．（2）假设存在，由S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8构建方程即可解决问题． （3）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）∵PQ ∥BD ，∴PC CQ CB CD =， ∴886t t-=， 解得t ＝247， ∴当t ＝247时，PQ ∥BD ．（2）假设存在．∵S 五边形AFPQM ＝S △ABF +S 矩形ABCD ﹣S △PQC ﹣S △MQD ＝12×（8﹣t ）×6+6×8﹣12（8﹣t ）×t﹣12×（6﹣t ）×34（6﹣t ） ＝215117822t t -+． 又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8， ∴215117822t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭：48＝9：8， 整理得：t 2﹣20t+36＝0， 解得t ＝2或18（舍弃），∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8． （3）∵PQ ⊥PE ， ∴∠QPE ＝90°， ∵∠EFP ＝∠C ＝90°，∴∠EPF+∠QPC ＝90°，∠QPC+∠PQC ＝90°， ∴∠EPF ＝∠PQC ， ∴△EPF ∽△PQC ， ∴EF PFPC CQ=， ∴688t t=-， 解得t ＝327，∴当t ＝327时，PQ ⊥PE ．故答案为327．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算错误的是（ ） A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5 B ．（﹣x 2y ）3＝x 6y 3 C ．（﹣x ）2•（﹣x ）3＝﹣x 5D ．x 2+x 2＝2x 22．下列计算正确的是（ ） A ．a+a ＝a 2 B ．6a 3﹣5a 2＝a C ．（2x 5）2＝4x 10D ．a 6÷a 2＝a 33．如图,AB 是☉O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E,点P 在☉O 上,PB 与CD 交于点F,∠PBC=∠C.若∠PBC=22.5°,☉O 的半径R=2,则劣弧AC 的长度为 ( )A.πB.C.2πD.π4．已知△ABC ∽△DEF ，其中AB ＝6，BC ＝8，AC ＝12，DE ＝3，那么△DEF 的周长为（ ） A.394B.263C.13D.265．某中学田径队的18名队员的年龄情况如下表： 14则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．15，15B ．15，15.5C ．15，16D ．16，156．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（ ）A.3C.6D.7．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则下列三角函数表示正确的是（ ）A ．3tan 4A =B ．4tan 3B =C ．3sin 5A =D ．3cos 5A =8．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( ) A ．16B ．12C ．13D ．239．据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m ，该数值用科学记数法表示为( ) A ．1.05×105B ．0.105×10–4C ．1.05×10–5D ．105×10–710．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（ ） A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差11．如图，在扇形OAB 中，点C 是弧AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），CD ∥OA 交OB 于点D ，点I 是△OCD 的内心，连结OI ，BI ．若∠AOB=β，则∠OIB 等于（ ）A ．180°12-β B ．180°-β C ．90°+12β D ．90°+β12．方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k≠0且k≥﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0且k≤﹣1 D.k≠0或k≥﹣1二、填空题13．一元二次方程（a+1）x 2﹣ax+a 2﹣1=0的一个根为0，则a=_______．14．计算：（2）0﹣1=_____．15．如图，点A 在双曲线2x 上，点B 在双曲线k y x=上，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，且面积为3，则k=__________．16．解不等式组：345542x xx x +>⎧⎨-<-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得：______； （Ⅱ）解不等式②，得：______；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为：______. 17．数据0.0007用科学记数法表示为____.18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2+2x+1＝0有实数根，则偶数m 的最大值为_____． 三、解答题 19．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值．20．某学校准备购买A 、B 两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A 、B 两种型号篮球的情况：(1)求A 、B 两种型号的篮球的销售单价；(2)若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A 种型号的篮球数量小于B 种型号的篮球，问A 种型号的篮球采购多少个？21．如图，在平面直角坐标系中，常数b ＜0，m ＞0，点A 、B 的坐标分别为(﹣2b，0)、(m，2m+b)，正方形BCDE的顶点C、D分别在x轴的正半轴上．(1)直接写出点D和点E的坐标(用含b、m的代数式表示)；(2)求BCAC的值；(3)正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称，点C′、D′、E′分别是点C、D、E的对称点，C′D′交y轴于点M，D′N⊥x轴，垂足为N，连接MN．①若点N和点A关于y轴对称，求证：MN＝MD′；②若1114AD AO AD AO AO-=-+，求BCOC的值．22．已知，如图，A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)(1)求△ABC的面积是____；(2)求直线AB的表达式；(3)一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，求k的取值范围；(4)y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等，则P点坐标是_____．23．已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图①中，点O是△ABC的内心；（2）在图②中，点O是△ABC的重心．24．如图，AP平分∠BAC，∠ADP和∠AEP互补．(1)作P到角两边AB，AC的垂线段PM，PN．(2)求证：PD＝PE．25．如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m的D点时，与M点的水平距离EM为6m．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC与点M的水平距离为9m，高度为2.43m．球场的边界距M点的水平距离为18m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．114．015．516．（Ⅰ）x＞-2（Ⅱ）x ＜3（Ⅲ）（Ⅳ）-2＜x ＜3 17．4710-⨯ 18．2 三、解答题19【解析】 【分析】由已知13a a +=套用21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=221a a ++2可得221a a +＝7，同理可得441a a +=47，21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=21a a ⎛⎫+⎪⎝⎭-4=5，进而可得结果. 【详解】 解： ∵13a a+=（a ＞1）， ∴21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝9，化简得221a a+＝7， 两边平方，可得441a a+＝49﹣2＝47，∵21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝221a a +﹣2＝7﹣2＝5，且a ＞1，∴1a a-， ∴242241111()()()()a a a a aa a a-⨯+⨯+⨯-＝【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．20．(1)A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个；(2)A种型号的篮球采购9个．【解析】【分析】（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据总价=单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20-m）个B种型号的篮球，根据A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求出结论．【详解】(1)设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据题意得：38622 54402 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2668 xy=⎧⎨=⎩．答：A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个．(2)设购买m个A种型号的篮球，则购买(20﹣m)个B种型号的篮球，根据题意得：202668(20)1000 m mm m<-⎧⎨+-⎩…，解得：607≤m＜10．又∵m为整数，∴m＝9．答：A种型号的篮球采购9个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．21．(1)D(3m+b ，0)，E(3m+b ，2m+b)；(2)2；(3)①证明见解析；②1. 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得OA ＝-2b，OC ＝m ，CD ＝DE ＝BE ＝BC ＝2m+b ，OD ＝OC+CD ＝m+2m+b ＝3m+b ；（2）由AC ＝OC ﹣OA ＝m ﹣(﹣2b )得BC 2m b ;b ACm 2+=+ （3）①根据正方形和轴对称性质得∠ND'M ＝∠D'NM ； ②由1114AD AO AD AO AO-=-+，变形AD AO AD AO 1(AD AO)(AD AO)(AD AO)(AD AO)4AO+--=-++-，22()14AD AO AD AO AD AO AO +--=-，最后得AD ＝3AO ，由3m+32b ＝3(2b-)解得：b ＝﹣m 即可. 【详解】解：(1)∵四边形BCDE 是正方形∴∠ACB ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠E ＝90°，BC ＝CD ＝DE ＝BE∵A(﹣2b，0)，B(m ，2m+b)， ∴OA ＝-2b，OC ＝m ，CD ＝DE ＝BE ＝BC ＝2m+b∴OD ＝OC+CD ＝m+2m+b ＝3m+b ∴D(3m+b ，0)，E(3m+b ，2m+b) (2)∵AC ＝OC ﹣OA ＝m ﹣(﹣2b )＝m+2b ∴BC 2m b2b AC m 2+==+(3)①连接AC'，∵正方形BC′D′E′和正方形BCDE 关于直线AB 对称 ∴AC'＝AC ，∠AC'B ＝∠ACB ＝90° ∵正方形BC'D'E'中，∠BC'D'＝90°∴∠AC'D'＝90°+90°＝180°，即点A 、C'、D'在同一直线上∵点N 和点A 关于y 轴对称，M 在y 轴上 ∴MN ＝MA ∴∠MNA ＝∠MAN ∵D'N ⊥x 轴∴∠D'NA ＝∠D'NM+∠MNA ＝90° ∴∠ND'M+∠MAN ＝90° ∴∠ND'M ＝∠D'NM ∴MN ＝MD′②∵1114AD AO AD AO AO-=-+∴AD AO AD AO 1(AD AO)(AD AO)(AD AO)(AD AO)4AO+--=-++-∴22()14AD AO AD AO AD AO AO +--=-∴22214AO AD AO AO=-∴AD 2﹣AO 2＝8AO 2∴AD 2＝9AO 2∴AD ＝3AO∵AD ＝OD ﹣OA ＝3m+b ﹣(2b -)＝3m+32b ∴3m+32b ＝3(2b-) 解得：b ＝﹣m ∴221BC m b m m OC m m+-===. 【点睛】考核知识点：正方形性质和轴对称的性质.灵活运用性质,作辅助线是关键.22．(1)4；(2)y＝﹣12x+72；(3)0＜k≤1或﹣15≤k＜0；(4)(0，32)或(0，112)．【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点的坐标可得AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，再利用三角形面积公式列式计算即可；(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．将A(1，3)，B(5，1)代入，利用待定系数法即可求解；(3)由于y＝kx+2是一次函数，所以k≠0，分两种情况进行讨论：①当k＞0时，求出y ＝kx+2过A(1，3)时的k值；②当k＜0时，求出y＝kx+2过B(5，1)时的k值，进而求解即可；(4)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，根据两平行线间的距离相等，可知△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，面积相等．根据直线平移k值不变可设直线CP的解析式为y＝﹣12x+n，将C点坐标代入，求出直线CP的解析式，得到P点坐标；再根据到一条直线距离相等的直线有两条，可得另外一个P点坐标．【详解】解：(1)∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)，∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，∴S△ABC＝12AC•BC＝12×2×4＝4．故答案为4；(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，∴351k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1k27b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的表达式为y＝﹣12x+72；(3)当k＞0时，y＝kx+2过A(1，3)时，3＝k+2，解得k＝1，∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则0＜k≤1；当k＜0时，y＝kx+2过B(5，1)，1＝5k+2，解得k＝﹣15，∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则﹣15≤k＜0．综上，满足条件的k的取值范围是0＜k≤1或﹣15≤k＜0；(4)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，所以面积相等．设直线CP的解析式为y＝﹣12x+n，∵C点坐标是(1，1)，∴1＝﹣12+n，解得n＝32，∴直线CP的解析式为y＝﹣12x+32，∴P(0，32 )．设直线AB：y＝﹣12x+72交y轴于点D，则D(0，72)．将直线AB向上平移72﹣32＝2个单位，得到直线y＝﹣12x+112，与y轴交于点P′，此时△A BP′与△ABP是同底等高的两个三角形，所以△ABP与△ABC面积相等，易求P′(0，112)．综上所述，所求P点坐标是(0，32)或(0，112)．故答案为(0，32)或(0，112)．【点睛】本题考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，直线平移的规律等知识，直线较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．23．（1）见解析，（2）见解析【解析】【分析】（1）分别作∠OAC=∠OAB，∠OBA=∠OBC，两边交点为C，△ABC即为所求；（2）作AB的垂直平分线，根据重心的性质可确定出C点，则△ABC即为所求.【详解】解：（1）如图①，△ABC即为所求；（2）如图②，△ABC即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图以及三角形内心和重心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形内角角平分线交点，三角形重心是三边中线交点是解题关键.24．(1)画图见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意作图即可；(2)由PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，可得PM＝PN，再求出∠DPM＝∠EPN，证明△PMD ≌△PNE，即可求解.【详解】解：(1)线段PM，PN如图所示．(2)∵PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，∴PM＝PN∴∠PMA ＝∠PNA ＝90°，∴∠MPN+∠MAN ＝180°，∵∠ADP+∠AEP ＝180°，∴∠DAE+∠DPE ＝180°，∴∠MPN ＝∠DPE ，∴∠DPM ＝∠EPN ，∴△PMD ≌△PNE(ASA)，∴PD ＝PE ．【点睛】本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.25．（1）见解析，21(6) 2.660y x =--+；（2）该球员的判断不对，球会出界，见解析. 【解析】【分析】（1）直角坐标系的建立要使点的坐标容易确定，因此可以以点M 为坐标原点，建立平面直角坐标系，由题意即可确定点A ，E ，D 的坐标，已知顶点D 及抛物线上一点A 的坐标，可设顶点式，利用待定系数法求解析式即可；（2）利用（1）所求解析式可求出球运行的高度和水平距离，与题中所给的球网BC 的高度及球场的边界距M 点的水平距离进行大小比较即可判断能否过网能否出界.【详解】解：（1）如图，以点M 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A ，E ，D 的坐标分别为（0，2），（6，0），（6，2.6）设球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k 由题意知抛物线的顶点为（6，2.6）故y ＝a （x ﹣6）2+2.6将点A （0，2）代入得2＝36a+2.6∴a＝﹣1 60，故此时抛物线的解析式为y＝﹣160（x﹣6）2+2.6（2）该球员的判断不对，理由如下：当x＝9时，y＝﹣160（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43∴球能过网；当y＝0时，﹣160（x﹣6）2+2.6＝0解得：x1＝6+＞18，x2＝6﹣（舍）故球会出界．【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法及在实际生活中的应用，熟练掌握抛物线解析式的求法及其在实际问题中表示的具体意义是解题的关键.。