高一数学《第三章 空间向量与立体几何》课件(人教B版2-1)3-2-4二面角及其度量 51张
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理课件新人教B版选修2_12
AB
＝ a， ＝ b ， — — → →
AD
AA′
→ (1)AP；
解答
→ (2)AM；
解答
1 1 → 1→ ― → 1 AM＝2(AC＋AD′)＝2(a＋2b＋c)＝2a＋b＋2c.
→ (3)AN；
解答
→ 1 → ― → 1 → → ― → → ― → 1 AN＝2(AC′＋AD′)＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝2a＋b＋c.
间的一个基底.
(2) 找目标：用确定的基底 ( 或已知基底 ) 表示目标向量，需
要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代
换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出 空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能 含有其他形式的向量.
(1)利用四点共面求参数 线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件， 不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法 ①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的
线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 ，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面 → . → ③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行 . →
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，
点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量 →
与→ ＋ → 是否共线？
EF
AD BC
解答
设AC中点为G，连接EG，FG，
→ 1→ → 1→ ∴GF＝2AD，EG＝2BC，
→ → → 又∵GF，EG，EF共面， → → → 1→ 1→ 1 → → ∴EF＝EG＋GF＝2BC＋2AD＝2(AD＋BC)， → → → ∴EF与 AD＋BC共线.
人教版高中数学课件- 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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空間向量的正交分解及其座標表示
单位正 三个有公共起点 O 的__兩__兩__垂__直___的单位向量 e1，e2，e3 称为 交基底 单位正交基底
空间直 角坐标 系
以 e1，e2，e3 的_公__共__點___为原点，分别以e_1_，__e_2，__e_3__的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解，
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第三章 空间向量与立体几何
所以作为基底的向量组有②③④⑤. 答案： ②③④⑤
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第三章 空间向量与立体几何
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空間向量基本定理及應用
如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上， 且M→G＝2G→N，用基底向量O→A，O→B，O→C表示向量O→G.
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判斷三個向量能否作為基底的方法 判斷三個向量能否作為基底，關鍵是判斷它們是否共面， 若從正面判斷難以入手，可以用反證法結合共面向量定理或者 利用常見的幾何圖形幫助，進行判斷．
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高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用课件9 新人教B版选修2-1
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2 z
0 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),
便得到平面法向量n的坐K12课标件 .
7
例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平 面ABC的法向量
（PM为平面 的斜线, n 为平面 的法向量）
12、异面直线的距离公式
d | AB n | |n|
（A,B为异面直线上两点, n为公垂线的方向向量）
K12课件
16
三、基本应用
利
用
直线与直线所成的角
向 量
直线与平面所成的角
求 角
平面与平面所成的角（二面角）
利
点到直线的距离
用 向
点到平面的距离
D'
OA，OC，OD 的方向 为正方
A'
向，以线段OA，OC，OD 的
O
长为单位长，建立三条数轴：
x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一 x A
个空间直角坐标系 O xyz
C' B'
Cy B
O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐
标轴的平面叫坐标平面 K12课件
3
空间直角坐标系 —Oxyz
K12课件
12
4、两个向量平行的条件
a || b x1 x2, y1 y2, z1 z2 ( R)
或 a || b x1 y1 z1 x2 y2 z2
2019-2019学年高中数学人教B版选修2-1第三章精要课件空间向量与立体几何-章末复习课
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算课件新人教B版选修2_1
【解析】
(1)错误．两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和
终点的位置无关． (2)错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． → ＋CD → ＝0，得AB → ＝－CD → ，且AB → ，CD → 为非零向量，所以AB → ，CD →为 (3)正确.AB 相反向量． → ＝CD → ，知|AB → |＝|CD → |，且AB → 与CD → 同向，但A与C，B与D不一定 (4)错误．由AB 重合．
【解析】 根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而 且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同，故①错；命题②显然正 确； 对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故③错．故选D.
【答案】 D
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
阶 段 一
阶 段 三
3.1
人教版高中数学课件- 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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(3)在進行運算時可適當地選擇求解方法 如計算(a＋b)·(a－b)，可以先求出a＋b與a－b，再點乘， 也可以使用公式寫成a2－b2＝|a|2－|b|2然後計算．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
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解析： (1)2a＋3b＝(4,2,12)＋(－24，－9,6) ＝(－20，－7,18)． (2)3a－4b＝3(2,1,6)－4(－8，－3,2) ＝(6,3,18)－(－32，－12,8) ＝(38,15,10)． (3)12b·a＝12(－8，－3,2)·(2,1,6) ＝－4，－32，1·(2,1,6)＝－8－32＋6＝－72.
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第三章 空间向量与立体几何
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方法二：因为 a·b＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋ 0×2＋(－5)×(－1)＝－1，
所以(3a＋2b)·(a－b)＝3a2－a·b－2b2 ＝3×29－(－1)－2×14＝60.
(1)a·a； (2)|b|； (3)(3a＋2b)·(a－b)． 思路點撥： 空間向量的加、減、數乘運算與平面向量的 加、減、數乘運算方法類似，向量的數量積等於它們對應座標 乘積的和．
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第三章 空间向量与立体几何
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(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b|＝ b2＝ 32＋22＋－12＝ 14； (3)方法一：3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4， －17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)， 所以(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝ 0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60.
高中数学(人教B版 选修2-1)第3章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算4
1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、重点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P 89～P 90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题． 1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i ，j ，k 都叫做坐标向量．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 向量坐标运算法则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．2a ＝(8，－4，－8)【解析】 易验证A ，B ，C 均不正确，D 正确． 【答案】 D2．在空间直角坐标系中，若A (1,3,2)，B (0,2,4)，则向量AB →的坐标为______． 【答案】 (－1，－1,2)教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P 90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．1 B ．15C.35D ．75【解析】 k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75. 【答案】 D教材整理3 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 阅读教材P 91第10行以下部分内容，完成下列问题． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝________； (2)|a |＝a·a ＝________；(3)a ≠0，b ≠0，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝________；(4)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔________. 【答案】 (1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3(2)a 21＋a 22＋a 23(3)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12， 2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°教材整理4 空间中两点间的距离公式阅读教材P 91“例3”以上部分内容，完成下列问题． 在空间直角坐标系中，设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 (1)AB →＝________； (2)d AB ＝|AB →|＝________.【答案】 (1)(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1) (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z1)2在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 1C 1＝90°，D 为BB 1的中点，则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为( )A.105 B ．257C.1515D ．1015【解析】 建系如图，则C 1(0,1,2)，D (1,0,1)，A 1(0,0,2)，C (0,1,0)． ∴C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)．∴cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝－1＋23×5＝1515. 故选C. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p ＝AB →，q ＝CD →，求下列各式的值：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )；(4)cos 〈p ，q 〉．【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】 由于A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2,1,3)，q ＝CD →＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6) ＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6) ＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. (4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p ||q |＝(2，1，3)·(2，0，－6)22＋12＋32×22＋02＋(－6)2＝－1414×210＝－3510.1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.[再练一题]1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．【精彩点拨】 (1)向量共线的条件是什么？(2)向量垂直的条件是什么？ 【自主解答】 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)法一 因为(k a ＋b )∥(a －3b )， 所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.法二 因为a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)， 所以a ≠0，b ≠0. 又因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k 1＝1－3，解得k ＝－13.法三 因为(k a ＋b )∥(a －3b )， 所以k a ＋b ＝λ(a －3b )(λ∈R )，即(k －2,5k ＋3，－k ＋5)＝(7λ，－4λ，－16λ)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧k －2＝7λ，5k ＋3＝－4λ，－k ＋5＝－16λ，解得k ＝λ＝－13，所以k ＝－13.(2)法一 因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.法二 因为a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)， 所以a 2＝27，b 2＝38，a·b ＝8. 因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k a ＋b )·(a －3b )＝k a 2－3b 2＋(1－3k )a·b ＝27k －114＋8(1－3k ) ＝3k －106 ＝0. 所以k ＝1063.向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．[再练一题]2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)．(1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：15460068】【解】 (1)由a ∥b ，得 (λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．[探究共研型]探究1 【提示】 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为几何结论．探究2 已知A (2,1，－3)，B (1，－2,4)，求与向量AB →共线的单位向量． 【提示】 ∵AB →＝(－1，－3,7)，|AB →|＝(－1)2＋(－3)2＋72＝59，∴与AB →共线的单位向量为⎝⎛⎭⎫－5959，－35959，75959或⎝⎛⎭⎫5959，35959，－75959.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴EF →·B 1C →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0. ∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C . ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝⎛⎭⎫0，78，12.又F ⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02 ＝418.空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有： (1)求向量的模|a |＝a ·a ；(2)求角，利用公式cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |；(3)证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b .[再练一题]3．如图3-1-33，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC .图3-1-33(1)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值； (2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS . 【解】 以点A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系．设SA ＝AB ＝BC ＝a ， 则B ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，C (0, 2a,0)，S (0,0，a )．(1)AB →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，SC →＝(0, 2a ，－a )．cos 〈AB →，SC →〉＝22a ·2a a ·3a ＝33，故SC 与AB 所成角的余弦值为33. (2)由于AB →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，AS →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0，显然，AB →·BC →＝0，AS →·BC →＝0. 即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB ∩AS ＝A ， 故BC ⊥平面ABS .[构建·体系]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4 C ．5D ．17【解析】 3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.【答案】 D2．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12 B ．22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6⎝⎛⎭⎫n －122＋12， 当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴b ＝λa . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，xλ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4. 【答案】 44．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角等于________． 【解析】 AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， 于是cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝332×2＝12，故AB →与AC →的夹角为60°. 【答案】 60°5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值． 【解】 ∵OA →＝(1,0,0)， OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ， |OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2.|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )【导学号：15460069】A.534 B ．532C.532D ．132【解析】 ∵AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，∴CM →＝⎝⎛⎭⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝ 22＋⎝⎛⎭⎫122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23C.23D ．14【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.【答案】 C4．如图3-1-34，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )图3-1-34A ．1B ．52C.62D ．32【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1，1，2)，F ⎝⎛⎭⎫2，1，22，所以|EF |＝(2－1)2＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫22－22＝62，故选C. 【答案】 C5．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55B ．555C ．355D ．115【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. ∴|b －a |2最小值＝95. ∴|b －a |最小值＝355. 【答案】 C 二、填空题6．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83.【答案】 ⎝⎛⎭⎫43，43，837．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【导学号：15460070】【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.【答案】 ⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 8．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 【解析】 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2，6)，由题意得AB →∥AC →，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.【答案】 0 三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心．求证：OA 1→⊥AM →.【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0.∴OA 1→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12. ∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝⎛⎭⎫－12×0＋1×12＝0， ∴OA 1→⊥AM →.[能力提升]1．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A3．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________． 【解析】 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b <0，所以3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1<0，解得x >－2.若a 与b 的夹角为π，则x ＝53，所以x ∈⎝⎛⎭⎫－2，53∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－2，53∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞4．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？【解】以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，32，0.又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)， 则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1.如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°. 又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1.所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°.。
高中数学第三章空间向量与立体几何本章整合课件新人教B版选修2
|·|
||
=
综合应用
专题一
专题二
专题三
(2) = (−1,0, 3), = (−1, − 3, 2 3).
设平面 ACM 的法向量为 n1=(x,y,z),
1 ⊥ ,
- + 3 = 0,
由
得
-- 3 + 2 3 = 0,
1 ⊥
解得 x= 3, = , 取n1=( 3, 1,1).
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不
共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
综合应用
专题一
专题二
专题三
(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.
则 P(0,− 3, 2), (0, − 3, 0), (1,0,0), (0, 3, 0).
所以 = (1, 3, −2), = (0,2 3, 0).
设 PB 与 AC 所成角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
=
6
2 2×2 3
=
6
.
4
2
3
真题放送
1
(3)解:由(2)知BC = (−1, 3, 0).
但线段AB 与 A1B1 不重合;
π
②错误.a·b<0,即 cos<a,b><0⇒ <<a,b>≤π,而钝角的取值范
围是
π
,π
2
2
;
③错误.当 λ=0 时,λa=0 不能作为直线 l 的方向向量;
人教B版高中数学选修第三章空间向量与立体几何章归纳总结张课件
• (3)求二面角
• 用向量法求二面角也有两种方法：一种方
法是利用平面角的定义，在两个面内先求 出与棱垂直的两条直线对应的方向向量， 然后求出这两个方向向量的夹角，由此可 求出二面角的大小；另一种方法是转化为 求二面角的两个面的法向量的夹角，它与 二面角的大小相等或互补．
• 7．运用空间向量求空间距离
设平面 CDE 的法向量为 n2＝(1，y2，z2)，
则 n2·C→D＝0，y2＝0，
n2·C→E＝0,1－y2＋z2＝0，z2＝－1，
故 n2＝(1,0，－1)，
cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
1 2·
2＝12，
∴〈n1，n2〉＝60°，即二面角 B—DE—C 为 60°.
• [点评] 综合法更注重推理，方法巧妙，
①若A→B＝C→D，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB
与 CD 为同一线段；
• ②若a·b<0，则〈a，b〉是钝角；
• ③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也
是l的方向向量；
• ④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a
都是共面向量，则a，b，c必共面．
• 其中错误命题的个数是
∵CD⊥PD，∴C→D·P→D＝0，
即 3(3－a)＋9＝0，∴a＝6.
∵A→E＝12E→P＝13A→P， ∴B→E－B→A＝13(B→P－B→A)， ∴B→E＝23B→A＋13B→P＝23(0,3,0)＋13(0,0,3)＝(0,2,1)． 设平面 EBD 的法向量 a＝(x，y,1)， ∵B→E⊥a，∴2y＋1＝0，∴y＝－12. ∵B→D⊥a，∴3x＋3y＝0，∴x＝－y， ∴a＝12，－12，1.
利用公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，
2018年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量课件8新人教B版选修2_1
m n
A
O
= - m, n
讲授新课
m n
பைடு நூலகம்
同 进
同
= - m, n 出
n
取 补
m
角
n
m
一
进
一
= m, n 出
m
取
n
等
角
讲授新课
方法技巧
| cos | =|cos m, n | m n
| m || n |
图形的特征来判定符号 若二面角为钝角，余弦值取负值； 若二面角为锐角，余弦值取正值！
思考：如图，在四棱锥中P ABCD ，底面 ABCD是矩形，PA 面ABCD, AP AB 2， BC 2 2, E,F分别是AD,PC的中点.求平面 BEF和平面BAP夹角的大小.
例题讲解
例1：
如图所示，ABCD是一直角梯形，
ABC=900 , SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面
角的余弦值.
方法一：几何法
方法二：向量法
如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 , SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SSBBCA所成二面角的余弦值.
导入新课
想一想
1.直线与平面所成角：
aB n
sin =|cos n, a |
A
O
导入新课
想一想
2.二面角的有关定义： 半平面
棱 P
二面角的平面角