【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.6二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换学案 理 苏教版
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等
第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ .(2)计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)－4解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝ .(2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为 .答案 (1)－1 (2)－1718解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3sin 20°－cos 20°cos 20°)＝cos 10°·232sin 20°－12cos 20°cos 70°＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°cos 70°＝－1.(2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.题型二 三角函数的求值 命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝1－172＝437. ∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为 . (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 .答案 (1)7π4 (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵ta n α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法； (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.(1)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝ .(2)(2016·南京检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是 . 答案 (1)π2 (2)7π4解析 (1)由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.(2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]， 所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×(－255)＋(－31010)×55 ＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4.题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }.f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[5分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分]当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[12分]综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.[14分]1.sin 15°＋sin 75°的值是 . 答案62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 2.(2016·全国甲卷改编)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ .答案 －725解析 因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725.3.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝ . 答案 －34解析 (sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin αcos α＝32，再由二倍角公式得32cos2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34.4.函数f (x )＝cos x 2·(sin x 2－3cos x2)的最小正周期为 .答案 2π解析 因为f (x )＝cos x 2(sin x 2－3cos x2)＝12sin x －32(cos x ＋1) ＝sin(x －π3)－32，所以f (x )的最小正周期为2π.5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y ＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－π2，0])的最大值为 . 答案 12＋22解析 y ＝sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α ＝1－cos 2α2－12sin 2α＝12－12cos 2α－12sin 2α＝12－22sin(2α＋π4). ∵α∈[－π2，0]，∴－3π4≤2α＋π4≤π4，∴当2α＋π4＝－π2时，函数取最大值y max ＝12＋22.6.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z ).∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).7.若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为 .答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.8.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ . 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.9.化简：3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ . 答案 －4 3 解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12°＝2312sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2c os 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.10.设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 .答案 －210解析 由53sin α＋5cos α＝8，得sin(α＋π6)＝45，∵α∈(0，π3)，∴π6<α＋π6<π2，∴cos(α＋π6)＝35.由2sin β＋6cos β＝2，得sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴π2<β＋π3<56π，∴cos(β＋π3)＝－22.∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3) ＝－210.11.已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出当f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α∈(0，π2)，f (α＋π6)＝335，求f (2α)的值.解 (1)f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x＝32sin x ＋12cos x ＋cos x＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π3).当x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 3.此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知，f (x )＝3sin(x ＋π3)，又f (α＋π6)＝335， 所以3sin(α＋π6＋π3)＝3cos α＝335， 即cos α＝35.因为α∈(0，π2)，所以sin α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以f (2α)＝3sin(2α＋π3)＝32sin 2α＋32cos 2α＝32×2425－32×725＝243－2150. 12.已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24). 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α). 又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)， 所以cos α＝－45， 所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 13.(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.。
高考数学一轮复习规划4.6解三角形课件
(2)(2021 黑龙江大庆中学高二开学考试)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝ 3ac，则角 B 的值为
()
π A. 6
π B. 3
C. π6 或56π
D. π3 或23π
解：因为(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，所以a2＋2ca2c－b2＝ 23scinoBsB，即 cosB＝ 23scinoBsB，
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.
()
(2)在△ABC 中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a>b.
()
(3)在△ABC 中，当 b2＋c2－a2>0 时，△ABC 为锐角三角形.
(4)在△ABC 中，sianA＝sinA＋a＋sinbB－－c sinC.
()
(5)在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第四章 三角函数与解三角形
5. 重要关系 (1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB. (2) 三 角 函 数 关 系 ： sin(A ＋ B) ＝ sinC ； cos(A ＋ B) ＝ － cosC ； tan(A ＋ B) ＝ － tanC.
D. 7
解：因为 absinC＝20sinB，由正弦定理得 abc＝20b，ac＝20，又 a＋c＝9， 所以 b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝92－2×20－2×20×18＝36，所以 b ＝6. 故选 B.
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第四章 三角函数与解三角形
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等
第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ .(2)计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)－4解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝ . (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为 .答案 (1)－1 (2)－1718解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3sin 20°－cos 20°cos 20°)＝cos 10°·232sin 20°－12cos 20°cos 70°＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°cos 70°＝－1.(2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.题型二 三角函数的求值 命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝1－172＝437. ∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为 . (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 .答案 (1)7π4 (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .答案π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法； (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.(1)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sin βcos β，则2α－β＝ .(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 . 答案 (1)π2 (2)π4解析 (1)由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.(2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }.f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[5分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[12分]综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.[14分]1.sin 15°＋sin 75°的值是 . 答案62解析 si n 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 2.(2016·全国甲卷改编)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ .答案 －725解析 因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725.3.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝ . 答案 －34解析 (sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin αcos α＝32，再由二倍角公式得32cos2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34.4.函数f (x )＝cos x 2·(sin x 2－3cos x2)的最小正周期为 .答案 2π解析 因为f (x )＝cos x 2(sin x 2－3cos x2)＝12sin x －32(cos x ＋1) ＝sin(x －π3)－32，所以f (x )的最小正周期为2π.5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y ＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－π2，0])的最大值为 . 答案 12＋22解析 y ＝sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α ＝1－cos 2α2－12sin 2α＝12－12cos 2α－12sin 2α ＝12－22sin(2α＋π4). ∵α∈[－π2，0]，∴－3π4≤2α＋π4≤π4，∴当2α＋π4＝－π2时，函数取最大值y max ＝12＋22.6.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ). ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).7.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为 .答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.8.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ . 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.9.化简：3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ .答案 －4 3解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12°＝2312sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.10.设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 . 答案 －210 解析 由53sin α＋5cos α＝8， 得sin(α＋π6)＝45，∵α∈(0，π3)，∴π6<α＋π6<π2，∴cos(α＋π6)＝35.由2sin β＋6cos β＝2，得sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴π2<β＋π3<56π，∴cos(β＋π3)＝－22.∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210.11.已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出当f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α∈(0，π2)，f (α＋π6)＝335，求f (2α)的值.解 (1)f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x＝32sin x ＋12cos x ＋cos x＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π3).当x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 3.此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知，f (x )＝3sin(x ＋π3)，又f (α＋π6)＝335， 所以3sin(α＋π6＋π3)＝3cos α＝335， 即cos α＝35.因为α∈(0，π2)，所以sin α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以f (2α)＝3sin(2α＋π3)＝32sin 2α＋32cos 2α＝32×2425－32×725＝243－2150.12.已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24).解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α).又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620.13.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2，π)时，若f (α)＝22，求α的值.解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin(4x ＋π4)，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1.因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4).所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例教学案 理 新人教A
4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。
新课标高考数学理一轮复习课件：4.6 《简单的三角恒等变换》新人教版必修
简记为T2α.
4．在C2α中，考虑sin2α＋cos2α＝1，可以将C2α变形为 cos 2α＝_2_c_o_s_2α__－__1＝_1_－__2_s_in__2α_，简记为 C2′α .
5．cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2，将公式变形可得
(1)升幂公式： 1＋cos α＝2cos2α2 ， 1－cos α＝2sin2α2.
所以 tan α＝－3.
(2)因为sins2inα－α－2cπ4os2α＝sin2sαincoαscoπ4s－α－cos2cαossin2α
π 4
＝2co22sαsinsinα－α－cocsoαsα＝2 2cos α.
又因为π2<α<π 且 tan α＝－3，
所以 cos α＝－ 1100，所以原式＝－255.
考点三 利用三角恒等变换研究函数性质
【案例 4】 已知函数 f(x)＝sin x＋sinx＋π2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最大值和最小值； (3)若 f(α)＝34，求 sin 2α 的值． 关键提示：化简函数，再研究函数的性质．
解：(1)因为 f(x)＝sin x＋sinx＋π2 ＝sin x＋cos x ＝ 2sinx＋π4， 所以 f(x)的最小正周期为 2π.
π 8
＝－sin
π8cosπ8＝－12sin
π4＝－
2 4.
答案：－
2 4
【案例 2】 已知 cos θ＝－ 32，θ∈π2，π，求sin22θ－
cos sin
θθ的值． 解：原式＝2sin
2 θcos
θ－csions
θ θ
＝s1i－n θccoos2sθθ＝csions θθ＝tan θ.
高考数学教材复习全国版第20讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换(3课件)
2β 的值为 (
7
A.
25
3
α= ,则
5
)
18
B.
25
则 cos
1
A.
5
π
+
4
1
B.
4
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)由题意得 sin(α-β)cos
7
C.25
18
D.25
(2)[2018·
厦门外国语学校月考] 已知 tan
2
cos
=(
1
θ+
=4,
tan
所以 sin
3
β=- ,所以
tan +tan
1-tan tan
3π
0<α+β<π,所以 α+β= 4 .
=
4
7+
3
4
1-7×
3
=-1,又
课前双基巩固
7. sin α-cos α= 2sin(α+φ)中的 φ=
.
[答案]
π
2kπ-4 ,k∈Z
[解析] sin α-cos α= 2
2
2
2
2
sin
2
α- 2 cos α ,则 cos φ= 2 ,sin φ=- 2 ,
18
D.25
厦门外国语学校月考] 已知 tan
(2)[2018·
2
cos
)
18
B.
25
7
A.
25
3
α= ,则
5
1
=4,
θ+
tan
案;(2)由已知条件求得 sin θcos θ
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 文1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α2＝sin α2.( × )(3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( × )1．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2＝________.答案 －63解析 ∵α2∈(π2，π)，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－23＝－63. 2.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为________．答案 －12解析 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.3．(教材改编)sin 15°－3cos 15°＝________. 答案 － 2解析 sin 15°－3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2.4．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为______．答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8. 5．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案π3解析由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝________.(2)计算：tan 12°－34cos212°－2sin 12°＝________.答案(1)12cos 2x(2)－4解析(1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12·sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos2x－124sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos22x2sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos22x2cos 2x＝12cos 2x.(2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin12°－60°12sin 48°＝－4.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π9＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________.答案 (1)－18 (2)4－3310解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)由题意可得，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. 题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________.(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 (1)π4 (2)－3π4解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－3a ＋1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．(1)若α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝________. 答案 (1)－3π4 (2)π3解析 (1)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决． 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[5分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[12分] 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[14分]温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确．(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图象讨论函数的单调性、最值等．[方法与技巧]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决． [失误与防范]1．利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角． 2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案 －79解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2×19－1＝－79.2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 16解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16.3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________. 答案 35解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335， ∴32cos α－32sin α＝335，∴12cos α－32sin α＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－32sin α＋12cos α＝35.4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝________. 答案 －14解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________． 答案 －210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.9．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ 的值．解 (1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝322，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322，可得A sin 3π4＝2A 2＝322，解得A ＝3.(2)由f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3sin θ＝3， 解得sin θ＝33. 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝3×63＝ 6. 10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2 ωx 2，x ∈R (其中ω＞0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝________.答案π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.答案π3解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3.13．若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是下列中的____________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；④⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π答案 ④解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a－φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.14．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为____________________________________． 答案3解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x ，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x .∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0.∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.15．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
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1 学案21 二倍角的三角函数及简单的 三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝______________； (2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan 2α＝____________________ (α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)． 公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α＝________________⇒cos α＝sin 2α2sin α； (2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝______________； 升幂公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________； 变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________. 自我检测
1．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为________．
2．已知x∈(－π2，0)，cos x＝45，则tan 2x＝________. 3．函数y＝(sin x－cos x)2－1的最小正周期为________． 4.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． 5．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为________和________．
探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
变式迁移1 (2010²泰安一模)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x. (1)求f－11π12的值； (2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 2
探究点二 三角函数式的求值 例2 已知sin(π4＋2α)²sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tan α－1tan α－1的值．
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值． (2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．
探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2010²苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析式； (3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
变式迁移3 求证：sin 2xsin x＋cos x－1sin x－cos x＋1 ＝1＋cos xsin x.
转化与化归思想 例 (14分)(2010²江西)已知函数f(x)＝1＋1tan xsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值． 【答题模板】 解 (1)当m＝0时，f(x)＝1＋cos xsin xsin2x
＝sin2x＋sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x2 ＝122sin2x－π4＋1，[3分] 由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分] 3
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分] 从而得f(x)的值域为0，1＋22.[7分] (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－m2cos 2x ＝1－cos 2x2＋12sin 2x－m2cos 2x ＝12[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋12，[9分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝45， cos 2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[11分] 所以35＝1245＋351＋m＋12，[12分] 解得m＝－2.[14分] 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则： (1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等． (2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α
－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式． 消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
(满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．已知0
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4＝________. 4
3．(2011²淮安模拟)已知cos 2α＝12 (其中α∈－π4，0)，则sin α的值为________． 4．若f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sin x2cos x2，则fπ12的值为________． 5．(2010²福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是________．
6．(2011²镇江模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________． 7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 8．若cos 2αsinα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．
二、解答题(共42分) 9．(14分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
(2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.
10．(14分)(2010²南京一模)设函数f(x)＝3sin xcos x－cos xsinπ2＋x－12. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．
11．(14分)(2010²北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x. (1)求f(π3)的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．
答案 自主梳理 (1)2sin αcos α (2)cos2α－sin2α 2cos2α 2sin2α
(3)2tan α1－tan2α (1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos2α2 2sin2α2 (sin α±cos α)2 自我检测
1．－35 解析 原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35. 5
2．－247 解析 ∵x∈(－π2，0)，cos x＝45， ∴sin x＝－35，tan x＝－34，tan 2x＝2tan x1－tan2x＝－247. 3．π 解析 y＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x－1＝－sin 2x， ∴T＝π. 4．－2sin 4 解析 原式＝4cos24＋2sin 4－cos 42 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.
5．－3 32 解析 f(x)＝cos 2x－2sin x ＝1－2sin2x－2sin x＝－2sin x＋122＋32，
则sin x＝－12时，f(x)最大＝32； sin x＝1时，f(x)最小＝－3. 课堂活动区 例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键． 解 y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x ＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x ＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6， 由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin
＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10， 当sin 2x＝1时，y取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f(x)
＝1＋cos 2x2－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos 2x＝2cos 2x， ∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cos π6＝3. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin2x＋π4. ∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4， ∴当x＝π8时，g(x)max＝2， 当x＝0时，g(x)min＝1. 例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；