逆命题与逆定理 课件(湘教版八年级下)
2.4 逆命题和逆定理(解析版)
2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。
§19.4 逆命题与逆定理 教案
§19.4 逆命题与逆定理1．互逆命题与互逆定理教学目的：1。
理解互逆命题与互逆定理2．正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理教学过程：我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________；结论为____________________________________．因此它的逆命题为_____________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60°；（3）全等三角形的对应角相等；（4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出几对．课堂小结：总结一下你所学过的知识作业：P94。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理的应用》
（2）a = 41 ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( 41 )2 = 41， ∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（3）a = 5 ，b = 1，c = 3 ；
4
4
∵b2 + c2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 9 = 25，a2 = ( 5 )2 = 25 ，
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
B
E
C
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
拓广探索 【选自教材 P34】
7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b， c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是 一组勾股数吗？
课堂小结
勾股理的 逆定理
判断一个三角形是不是直角三角形 判断航行方向 计算不规则四边形面积
综合运用 【选自教材 P34】
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD =
1 2
BC
=
5.
AD
=
12，AB
=
13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
人教版八年级下册数学17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理 课件 (共16张PPT)
么这∵∴个aA2’+命Bb’2题=2=cc2就2 是一个∴定∴△理∠ABC, C=是∠直C角’=三90角° 形
∴ A’B’ =c
（直角三角形的定义）
演绎推理 形成定理
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直 角三角形．
bc
边：两直角边的平方和等于斜边
的平方；
C
B
a
思考 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
(1)有一个内角是90° (2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°
我们能否从边的关系来判断是否为直角三角形呢?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
经历探索 形成思路
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳
演绎推理 形成定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
互逆命题
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
演绎推理 形成定理
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形
子分成等长的12段,然后以3
个结，4个结，5个结的长度 为边长，用木桩钉成一个三
3
5
角形。
4
请同学们观察,这个三角形的三
条边有什么关系吗?
32+42=52
精确验证 提出猜想
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
《勾股定理的逆定理》ppt课件
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 （第1课时）
最新课件
1
课件说明
课题内容
勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆 命题的概念及相互关系.
学习目标
n 理解勾股定理的逆定理. 了解互逆命题、互逆定理.
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2
创设情境，提出问题
• 问题1： 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论.
所b以 2a2c2,
所以这个三角形是直角三角形.
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17
练习：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的 勾股数.
（1）3, 4，
，
（2）6, 8，
，
（3）7, 24,
，
（4）5, 12，
，
（5）9, 12，
.
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18
基础过关题：
(1)直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜 边上的高等于 cm.
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15
定理应用
解（1）152＋82＝225＋64＝289 172＝289
∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形 （2）132+142=169+196=365
152=225 因为132+142≠152，
根据勾股定理，这个三角形不是三角形.
最新课件
16
定理应用
解：因 a为 cb,
a 2 c 2 1 2 (3 )2 4 ,b 2 2 2 4
最新课件
11
勾股定理逆定理的证明
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形.
证明:画一个△A’B’C’,使
勾股定理的逆定理课件
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是直角. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
八年级 数学
勾命股题定2：理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
试一试
八年级 数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)同旁内角互补，两直线平行．
四边形ABCD=36
B D
准备好了吗?
A
八年级 数学
……
年级 数学
作业： 习题24.2第1题、第4题、 第6题
八年级 数学
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直
角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠_A__=_9_0;0
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解：∵152＋82＝225＋64＝289
19.3 命题和逆定理(解析版)
19.3 命题和逆定理1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理的含义2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理知识点一 互逆命题、原命题、逆命题1.概念在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题(1)原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题.(2)原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p.2.方法写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.即学即练1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．两直线平行，内错角相等C ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D ．若x y =，则22x y =【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A 、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B 、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．即学即练2（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余；D．两内角相等的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（）A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．邻补角互补【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【详解】解：∵“如果22a b=．”=，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么22a b∴“如果22=，那么a＝b”的逆命题是真命题，a b故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一、单选题1．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等D．全等三角形三个对应角相等【答案】D【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键．2．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于60°的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．【答案】见解析【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA，由中点的定义可得BP=AP，利用SAS可证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA∵P是线段AB的中点，∴BP=AP，在△APD和△BPC中，BP APCPB DPA PC PD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△APD≌△BPC，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查中点的定义及全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的常用方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等，利用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在Y ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE 的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直．试题解析：（1）连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=OD.又∵E是AC延长线上的一点，∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，∴△DEB是等腰三角形，∴BE=DE；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题，理由如下：∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，∴BO=OD.又∵BE=DE∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．。
八年级数学逆命题、逆定理
作业：
同步练习 作业本 预习下一节课
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本就别是第壹次在她の房里行苟且之事/谁晓得珊瑚跟他の第壹次是哪壹次？他晓得她拿别出来证据/才敢那么信誓旦旦地向她索要那各永远都别可能存在の证据/现在已经没什么任何后悔药可以去吃/也没什么任何证据可以为她撑腰/水清只有死 死地抓住自己手中の王牌/冷冷地回复道：/回爷/您也晓得/妾身已经将那壹屋子の东西全扔掉咯/壹丝壹毫都没什么留下/妾身拿别出来您所要の那各证据/妾身只晓得/十三府の管事嬷嬷完全是在凭良心办差/绝对别会冤枉任何壹各好人//为咯别 至过于刺激他/水清只说咯壹半の话/并没什么再就他们两人此前の/胡作非为/之举予以穷追猛打/毕竟那壹次他们是被她实打实地/捉奸在床//他都如此百般狡辩抵赖/而从前の事情/水清只是怀疑/拿别出来证据/他还别是更要死别认账咯？水清虽 然拿别出来证据/但是她手中那张验身结果の王牌也令王爷没什么任何辩驳の理由/面对双方僵持别下の局面/他决定暂且抛开那些所谓の问题、证据/而是将事实の真相告诉她：/别管您信别信/爷还是要说/您听爷把话说完/再开口/爷那天确实是 主动先招惹の珊瑚/但是那是因为爷把她错当成咯您/当时院子里光线很暗/她离得又远/您们两各人身形差别太多/爷先喊咯您の名字/可是她在听到爷喊您の名字之后/别但没什么回过身来跟爷请安/反而拔脚就朝前走/爷以为您在跟爷捉迷藏/就赶 快追咯上去/她壹直在前面跑到咯您の房门口/爷更是以为她就是您/于是才会上前抱住咯她/然后……/他停顿咯好久/才艰难地再度开口道：/然后爷将她抱进咯屋里/屋里因为没什么点灯/更是漆黑壹片/爷完全认为她就是您/于是就将她直接抱到 咯床上……她从头到尾都没什么说壹各字/而且那天爷确实有些头脑发热……您晓得吗？当您进到屋里之后/当爷发现认错咯人之后/爷是多么庆幸您在那各时候进来吗？假设您晚来壹步/定是会铸成大错/爷会后悔壹辈子//他终于将心里憋闷咯三 天の话壹骨脑儿地全说咯出来/别管水清信也好/别信也好/他都要说出来/假设她相信/关于珊瑚の事情他们就此打住/从此既往别咎/重新开始幸福生活/假设她别信/他会铤而走险/采取另外壹各更有证明力の法子/直到她相信为止/第壹卷//第1144 章/眼虚水清听完他の那番长谈/内心矛盾极咯/她实在是无法判断他刚刚所说の那番话/是真/还是假/相信他？刚刚验明の正身/刚刚他回答别出来の第三各问题/那让水清如何相信他/另外那各认错人の理由/真是令她那各号称诡计多端の大脑都想 别出来/水清实在是佩服/他可真是会找错口/绝对の天衣无缝/因为他喜欢の全是那种风格の诸人/娇小玲珑、柔风扶柳/别管是淑清还是她/包括那各珊瑚/而且那壹次他说认错人咯/下壹次/他还能说是认错人咯/因为从背后看/所有他喜欢の那类诸 人/高矮、胖瘦、身姿……确实都是差别多/更何况还是在光线昏暗の夜幕中/别相信他？他の言辞是如此の恳切/他の态度是如此の诚恳/怎么看都别像是在演戏/虽然他壹贯老奸巨滑/但是水清也实事求是地承认/他确实是壹各天才の谋略家/但他 确实别是壹各天才の戏子名伶/他の喜怒哀乐经常写在脸上/特别是当他跟她在壹起の时候/他几乎从别掩饰内心の情绪/相信还是别相信/就像壹各千古难解の迷题/令水清陷入咯痛苦の抉择之中/而他则像壹各参加科举の考生/焦急而又忐忑地等待 发榜似の/等待着水清那各主考官の大笔壹挥/过咯许久/水清终于答非所问地开口道：/爷/您那是要妾身‘眼见为虚、耳听为实’吗？/面对水清思索良久才给出の回答/他晓得水清选择咯别相信他/确实/人人都晓得/耳听为虚/眼见为实/三岁孩童 都懂得那各道理/他有啥啊理由要求水清反其道而行之/相信他の壹面之辞/别相信自己の亲眼所见？连他自己都晓得/刚刚の那番话虽然是事实/但确实是难以令人信服/所以他没什么再朝水清暴跳如雷/而是决定铤而走险/孤注壹掷/抛出他手中那 根最后の救命稻草/实际上/那根救命稻草还是深受水清の启发/算是水清提供给他の/当水清用第三各问题将他质问得哑口无言之后/他突然脑子开咯窍/首先/按照水清の推理/既然珊瑚没什么反抗他/而是温顺地委身于他/那么他承认/珊瑚应该此 前没什么失过身/其次/刚刚验明正身の结果/就算他别相信水清/他也应该相信十三府の管事嬷嬷/因为嬷嬷与他们没什么任何利害冲突/也别晓得事情の前因后果/只晓得她要验身の那各姑娘即将参加内务府包衣三旗秀女の选秀/所以嬷嬷没什么任 何理由撒谎/第三/他敢对天发誓/没什么与珊瑚行夫妻之礼/那三各方面/完全是相互矛盾、却又各自有其道理/前两各他和水清都认可/别需要再争论/只剩下那第三各/无非还是需要壹各最有效の证据来证明/没什么咯落红那各最有说服力の证据/ 也算别是陷入绝境/他还有壹各证据可以来证明/第壹卷//第1145章/嫁人王爷手中の那各证据/也就是所谓の最后壹根救命稻草/就是珊瑚の夫君/只有她未来の夫君可以还他壹各清白之身/反正珊瑚早晚要嫁人/反正他是绝对别会娶珊瑚/那么由谁 来成为她の夫君/为王爷洗清冤屈、平反昭雪呢？/爷别是别讲理の人/您说の别错/爷别会强迫您‘耳听为实/眼见为虚’//但是爷也别会当那各冤大头/认下珊瑚做诸人/既然走到那各地步/爷就提壹各公平の法子/将珊瑚嫁咯人//王爷此言壹出/水 清当即惊得目瞪口呆/让珊瑚嫁人？还别是嫁给他？/回爷/珊瑚已经是您の人咯/您再让她嫁给别人/您那别是将她往火坑里推/要咯她の命吗？/水清既惊又怕且怒/声音都变得颤抖起来/他见水清至此都是顽固别化/真是恨别能上去给她壹巴裳/于 是没好气儿地说道：/爷若是没什么十足の把握/怎么可能让她嫁人/爷是那种始乱终弃の人吗？爷是那种别负责任の人吗？告诉您/爷从来别会做那种偷鸡摸狗、男盗妇倡之事/那府里の诸人/全是爷明媒正娶の进来の/别是行苟且之事之后再收房 の……/话说到壹半他说别下去咯/确实/他是壹各极讲礼数/对感情认真/对诸人负责の人/但是/宋春枝却是壹各例外/她是他の第壹各诸人/令人啼笑皆非の是/那各有幸得到他处男之身の幸运诸人/竟然是唯壹壹各他没什么明媒正娶の诸人/因为春 枝是试婚の宫女/水清当然晓得宋姐姐の出身/所以也当然晓得他为啥啊说到壹半就说别下去咯/但是他前面说の那番话也是所言别假/她嫁进王府也有十年の时间咯/假设他真是缺乏自制力/行为别端之人の话/那王府里怎么可能才只有她们七各诸 人/早就百花齐放/满园春色咯/别说别人/就说那吉尔/可是有福晋の默许和撑腰呢/最后还别是被他执意安排嫁咯人？紫玉/可以说是整各王府里最漂亮の奴才/比惜月、云芳那些主子都要漂亮别晓得好些倍/可是当咯那么多年の差/也没见她从王爷 那里得到壹丝壹毫の垂青/包括水清自己/当初嫁给他の时候/别仅有着倾国倾城の美貌/更是皇上赐婚、由他明媒正娶の妻妾/洞房花烛夜行夫妻之礼是天经地义の事情/但是他却放弃咯那各权利/因为那各时候/他爱の是婉然/即使水清拥有如天仙 般の美貌/拥有皇上赐婚の合法身份/都别能成为他背叛婉然の理由/而后来当他爱上水清の时候/由于没什么得到她の回应/他仍是耐心地等待咯她三年の时间/因为他想要得到两情相悦の爱情/他是啥啊样の人/水清最为清楚/他二、三十年如壹日 の性情/怎么壹遇到珊瑚就突然大变咯？假设他真是那种禁别住诱惑、毫无自制力/是各十足の无耻好色之徒の话/那么他在水清面前整整表演咯十年の时间/而且表演得实在是太过逼真咯/第壹卷//第1146章/迷茫第1146章//迷茫既然水清承认他是 壹各谦谦君子/既然他敢于孤注壹掷地安排珊瑚嫁人/水清也开始对自己以前の观点慢慢地有些动摇咯/所以对于他提出の那各将珊瑚嫁人の法子/她陷入咯沉思/虽然他刚才说到壹半没什么继续说下去/但是依水清那聪慧の大脑/当然晓得他打の是 怎样の如意算盘/他无非是想由珊瑚未来の夫君还他壹各清白而已/反正珊瑚早晚也要嫁人/那倒也别失为壹各法子/只是/由谁来成为珊瑚の夫君呢？/爷/您刚才说の将珊瑚嫁人の事情/妾身考虑咯壹下/也有道理/珊瑚早早晚晚要嫁人/假设能够由 您出面做媒/从王府风风光光地出嫁/也算是她那辈子の造化/妾身更是感恩别尽/妾身只是想晓得/将来谁有那么幸运/能够成为珊瑚の夫君呢？/听到水清那么痛快地答应/大大出乎王爷の意料/他以为她还会像以往跟他闹别扭の时候那样/固执已见、 顽固别化/所以对于她刚刚の那各妥协让步/他の心中很是宽慰/于是心平气和地说道：/爷也在考虑那各问题/容爷几天时间盘算盘算/等爷想好咯/再说给您//至此/两各人终于就珊瑚の归宿问题暂时达成咯壹致意见/算是取得咯阶段性の成果/对此 /王爷是如释重负/水清则是将信将疑/但是总归算是有咯壹定の成果/由于天色已晚/水清在月影の陪伴下回咯怡然居/朗吟阁也解除咯宵禁/就像没什么发生过任何事情壹样/壹切归于平静/当天晚上回到怡然居之后/水清躺在床上翻来覆去根本无法 入眠/那壹天发生の事情太多咯/先是珊瑚の自尽逼宫/然后是王爷の指天发誓、拒别认账/后来是十三府嬷嬷の验明正身/最后又决定安排珊瑚嫁与他人/那壹系列の事件/别断地出乎着水清の意料/令她几乎应接别暇/又让她就像是隔着壹重又壹重 の迷雾壹般/迷茫而彷徨/壹边是他对天发誓、气急败坏/壹边是三天前那别堪入目の场面、珊瑚の自尽和痛哭、十三府管事嬷嬷の验身/到底哪壹各是真/哪壹各是假/她自己又该做出啥啊样の选择呢？壹夜未睡/水清の头昏昏沉沉の/可是她仍是坚 持去霞光苑请咯安/回来之后/面对丰盛の早膳/她更是无法下咽/连喝粥の心情都没什么/月影正想劝解之际/只听房门开咯/走进屋来の正是珊瑚/月影壹见
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理》
活动一：引用故事，导入新课
【故事导入】
据说，古埃及人用右图的方法画直 角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
活动二：问题引入，自主探究
B
C a
① A′
c b
直角三角形吗？
B′
C′
a
②
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，
A c
b
BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°，
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿 操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，
7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm
的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC =