华中科技大学 2000到2007 数学分析
温度场
温度场
物质系统内各个点上温度的集合称为温度场遥它是时间和空间坐标的函数袁反映了温度在空间和时 间上的分布遥 温度 T 这个变量通常是空间坐标渊 x袁y袁z冤 和时间变量 t 的函数袁即 T=T渊 x袁y袁z袁t冤 遥 该公式描 述的是三维非稳态渊 瞬态冤 温度场袁在此温度场中发生的导热为三维非稳态渊 瞬态冤 导热遥不随时间而变的 温度场称为稳态温度场袁即 T=T渊 x袁y袁z冤 袁此时为三维稳态导热遥 对于一维和二维温度场袁稳态时可分别 表示为 T=渊f x冤 和 T=渊f x袁y冤 袁非稳态时则分别表示为 T=渊f x袁t冤 和 T=渊f x袁y袁t冤 遥来源院百科பைடு நூலகம்
参考文献 [1]薛建阳.钢与混凝土组合结构[M].第二版.武汉院华中科技大学 出版社袁2007. [2]刘殿忠.钢与混凝土组合结构设计[M].第一版.武汉院武汉大学 出版社袁2015. [3] 赵 鸿 铁 .组 合 结 构 设 计 原 理 [M]. 第 一 版 .北 京 院 高 等 教 育 出 版 社袁2001. [4]聂建国.钢混凝土组合结构[M].第一版.北京院中国建筑工业出 版社袁2005. [5]DL/T5085-1999袁钢-混凝土组合结构设计规程[S].北京院中国 建筑工业出版社袁1999.
通过分析计算得出袁 对钢-混凝土组合梁的两 种截面分别改变下部钢梁部分的上翼缘宽度尺寸袁 计算分析两种截面遥 随着第一类截面和第二类截面 下部钢梁上翼缘依次增大袁受弯承载力当上部翼缘 宽度增加到约为 bf=140mm渊 上翼缘宽度为下翼缘宽
度的 70%冤 左右袁增大幅度显著降低遥 由此可知袁增 大下部钢梁上翼缘的宽度对提高组合梁受弯承载 力的贡献不大遥 为降低结构自重袁提高经济效益袁不 宜选择过大的上翼缘宽度遥
2017年 华中科技大学 601数学分析 硕士研究生招生考试大纲
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
华中科技大学硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲
科目代码（601）
适用专业：应用数学，计算数学，概率统计，基础数学
题型：计算题、证明题
总分：150分
考查要点
1.极限、极限概念；收敛性判定；极限计算。
2.微分法。
一元与多元函数求导；隐函数微分法；参数表示的函数的微分法。
3.中值定理。
Rolle定理；Lagrange中值定理；Cauchy中值定理；Taylor公式。
4.微分学的应用，极值问题；几何应用。
5.定积分。
Newton-Leibniz公式；变量代换公式；分部积分公式；广义积分。
6.曲线积分与二重积分。
曲线积分；二重积分；Green公式。
7.曲面积分与二重积分，曲面积分；三重积分；Gauss公式。
8.幂级数，收敛域；Taylor展开；级数求和。
9.Fourier级数，Fourier系数；正弦级数；余弦级数。
10.基本定理及其应用，Cauchy收敛原理；聚点原理；区间套定理；确界存在定理。
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)名校考研真题【圣才出品】
但
（
也可说
明）。
2．对数列 和
若 是有界数列，则 是有界数列。（ ）[北京大学研]
【答案】对
【解析】设｜Sn｜<M，则
3．数列
存在极限
的充分必要条件是：对任一自然数 p，都有
（ ）[北京大学研]
【答案】错
【解析】反例：
，但 不存在．
1 / 82
圣才电子书
二、解答题
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）名校考研真题
第 2 章 数列极限
一、判断题
1．对任意的 p 为正整数，如果
，则
存在。（ ）[重
庆大学研]
【答案】错
【解析】根据数列收敛的 Cauchy 收敛准则，可举出反例：
，虽然对任意的
n p1
对任意 0, 存在正整数 N ,使得对任意正整数 p ，成立 ak , kN
(N p)aN p ln(N p) (N p)aN p ln N ,
在上式中，令 p ，取极限，则得
0
lim ( N
p
p)aN p
ln( N
p)
,
由 0 的任意性，则得
lim ( N
．[南开大学
3 / 82
圣才电子书
2011 研]
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
证明：（1）因为
{nan}
为正的单调递减数列，由单调有界定理得
lim
n
nan
L
存在，
由 an 收敛，可知必有 L 0 n1
an
n1
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1
计算机科学数学理论
计算机自从其诞生之日起，它的主要任务就是进行各种各样的科学计算。
文档处理，数据处理，图像处理，硬件设计，软件设计等等，都可以抽象为两大类：数值计算与非数值计算。
作为研究计算机科学技术的人员，我们大都对计算数学对整个计算机科学的重要性有一些了解。
但是数学对我们这些专业的研究和应用人员究竟有多大的用处呢？我们先来看一下下面的一个流程图：上图揭示了利用计算机解决科学计算的步骤，实际问题转换为程序，要经过一个对问题抽象的过程，建立起完善的数学模型，只有这样，我们才能建立一个设计良好的程序。
从中我们不难看出计算数学理论对用计算机解决问题的重要性。
下面我们将逐步展开对这个问题的讨论。
计算机科学的数学理论体系是相当庞杂的，笔者不敢随意划分，参考计算机科学理论的学科体系，我们谈及的问题主要涉及：数值计算，离散数学，数论，计算理论四大方向。
[一]数值计算（Numerical Computation）主要包括数值分析学、数学分析学、线性代数、计算几何学、概率论与数理统计学。
数值分析学又常被称为计算方法学，是计算理论数学非常重要的一个分支，主要研究数值型计算。
研究的内容中首先要谈谈数值计算的误差分析，误差是衡量我们的计算有效与否的标准，我们的算法解决问题如果在误差允许的范围内，则算法是有效的，否则就是一个无效的问题求解。
另外就是数值逼近，它研究关于如何使用容易数值计算的函数来近似地代替任意函数的方法与过程。
感觉应用比较广的不得不提切雪比夫逼近和平方逼近了。
笔者曾经尝试过的就是通过最佳平方逼近进行曲线的拟合，开发工具可以选择VC++或者Matlab。
插值函数是另外一个非常重要的方面，现代的计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点，加工时走刀方向及步数，就要通过插值函数计算零件外形曲线及其他点函数值。
至于方程求根、线性方程组求解，一般的计算性程序设计问题都会多多少少的涉及一些，我们这里就不赘述了。
高代考研辅导第8章线性变换
八．线性变换1.（中国科学院2006）若α为一实数，试计算11lim nn n nαα→+∞⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
解令11n A nαα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，容易求得A 的两个特征值为1,1i i n n αα+-，相应的特征向量为1,1i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
令11i P i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111112i i P i i --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，使得11001i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，1(1)00(1)n nn i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
注意1(1)1lim lim in in in n n i i e n ααααα→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(1)lim n i n i e nαα-→∞-=，所以11011120lim ini n i i e A i i e αα-→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin cos 2i ii i iii i e e ie ie ie ie e e αααααααααααα----⎛⎫+-+⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭。
2.（华南理工大学2006）设()n V M F =表示数域F 上n 阶全体矩阵的向量空间。
定义：(),()T n A A A M F σ=∀∈。
（1）证明：σ是线性变换；（2）求σ的全部特征子空间；（3）证明：σ可对角化。
证明（1）,(),n A B M F k F ∀∈∀∈，有()()()()T T T A B A B A B A B σσσ+=+=+=+，()()()T T kA kA kA k A σσ===，所以σ是线性变换；（2）设λ是σ的特征值，A 为对应于λ的特征向量（某个非零矩阵），则()A A σλ=，22()()T T A A A A σλ===，于是21λ=，得1λ=±。
欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-名校考研真题(Fourier级数)【圣才出品】
第15章Fourier级数1．在区间（0，2π）内展开f（x）的Fourier级数[北京大学、湖南大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期函数，则故当x＝0，2π时，上述级数收敛于0．2．已知函数（1）在[－π，π]上将f（x）展为傅里叶级数；（2）求级数的和．[天津大学研]解：（1）f（x）＝f（－x），f（x）为偶函数，故又故在[－π，π]上，①（2）在①式中令，得即3．设以2π为周期的连续函数．f（x）的Fourier系数为，求的Fourier系数，并证明．[中国地质大学研] 证明：（1）根据Fourier系数公式，有同理（2）由（1）的结果可得4．将f（x）展开成以2π为周期的正弦级数[南京航空航天大学研] 解：因为要展开成正弦级数，所以所以f（x）展开成以2π为周期的正弦级数为5．将函数f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数，并求．[上海大学研、天津工业大学2006研、华中科技大学2007研]解：由于所以f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数为，从而故．6．令f是R上周期为2π的函数，当时满足．（1）证明f的Fourier级数具有形式，并写出的积分表达式．（2）该Fourier级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（3）证明．[中科院武汉物理与数学研究所研]证明：（1）由于是奇函数，所以f的Fourier级数具有形式，且．（2）不一致收敛．由Fourier级数收敛定理知由于在上连续，但和函数在上不连续，所以该Fourier级数不一致收敛．（3）由于在上可积且平方可积，所以Parseval等式成立7．证明函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系，对应如何延拓到（－π，π），才能使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式？求出此展开式，并做出延拓后在上的函数．[西安交通大学研]证明：当m≠n时，有所以函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系．要使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式，只要即可．由于所以当时，取，然后再做奇延拓．此时所以此展开式为．f（x）延拓后在上的函数为。
伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库-名校考研真题(函数序列与函数项级数)
第10章函数序列与函数项级数1．设（x）在[0，1]上连续，f（1）=0．证明：（1）{x n}在[0，1]上不一致收敛；（2）{f（x）⋅x n}在[0，1]上一致收敛．[华东师范大学研]证明：（1）显然是的极限函数，x n在[0，1]上连续（n∈N），而g（x）在[0，1]上不连续，所以{x n}在[0，1]上不一致收敛．（2）f（x）在x=1处连续，所以对当时，有即易证{f（x）⋅x n）在[0，1－δ]上一致收敛于零，即对，当x>N时，对一切x∈[0，1－δ]有所以对当n>N时，对一切x∈[0，1]，有所以{f（x）⋅x n}在[0，1]上一致收敛于零．2．试证：无穷级数在0<x<1时收敛，但不一致收敛．[中国科学院研] 证明：有收敛，所以收敛．取，则对及使得所以在（0，1）上不是一致收敛的．3．设0≤x<1，证明：[华中科技大学研] 证明：令，则0≤f（x）<1．故4．可微函数列在[a，b]上收敛，在[a，b]上一致有界，证明：在[a，b]上一致收敛．[上海交通大学研]证明：由题设，有①，取使则②在[a，b]上收敛，所以，当n>N，p是任意自然数，有③由②，③，当n>N时，对任意自然数p，有即在[a，b]上一致收敛．5．求函数项级数的收敛域，并证明该级数在收敛域是一致收敛的．[中山大学研]解：由于，又收敛，故由Weierstrass判别法知在（-∞，+∞）上是一致收敛的．6．研究在（1）[-l，l]（l＞0）上的一致收敛性；（2）（-∞，+∞）上的一致收敛性．[南京师范大学研]解：（1）当时，存在N，当n＞N时有下式成立又收敛，故由Weierstrass判别法知在[-l，l]上一致收敛．（2）取，则不收敛，所以在（-∞，+∞）上不一致收敛．7．函数，g（1）=0，且（g’(1)可理解为左导数），证明：在[0,1]上一致收敛．[北京师范大学2006研]证明：由于，所以对任意的，存在使得当时，有．从而对任意的，m、n＞0，有由于，所以存在M＞0使得当时，．从而当时，，又收敛，故由Weierstrass判别法知在上一致收敛．于是对上述的ε＞0，存在．N＞0，使得当，m、n＞N时，有结合两部分，当，m、n＞N时，有，故在[0，1]上一致收敛．8．设函数列满足：（1）是[-1,1]上的可积函数列，且在[-1，1]上一致有界；（2）任意的在[-1，-c]和[c,1]上一致收敛于0．证明：对任意的[-1,1]上的连续函数f（x），有[中山大学2006研]证明：由于在[-1,1]上一致有界，f（x）在[-1,1]上连续，所以存在M＞0，使得因为f（x）在x=0处连续，所以对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得又在[-1，-δ]和[δ，1]上一致收敛于0，所以存在N＞0，使得从而对任意的n＞N有即9．设的收敛半径为∞，令，证明：在任意有限区间[a，b]上都一致收敛于f（f（x））．[厦门大学研]证明：因为的收敛半径为∞，所以在[a，b]上一致收敛于f（x）．由于在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上连续，所以f（x）在[a，b]上有界，即存在，使得当时有．又因为在[a，b]上一致收敛于f（x），所以存在，使得当时有由于在[a，b]上连续，所以存在使得当时有．取，则有下式成立同样由于在[-M，M]上一致收敛于f（x），所以f（x）在[a，b]上连续，从而一致连续．所以对任意的，存在使得当时有．因为在[a，b]上一致收敛于f（x），所以存在N＞0，使得当，n＞N时有．于是当，n＞N时，，结论得证．10．研究函数在[0，+∞）上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．[华南理工大学2006研]解：因为，而收敛，所以由Weierstrass判别法得知f（x）在[0,+∞）上一致收敛．因为在[0，+∞）上连续，所以f（x）在[0，+∞）上连续．又因为，故在[0，+∞）上一致连续，所以f（x）在[0，+∞）上一致连续．因为，而收敛，由Weierstrass判别法得知，所以可微，且单调递减．。
数学与应用数学课程
数学与应用数学专业03013001数学分析Mathematical Analysis【300—16—1、2、3、4】内容提要：实数、极限理论、一元微积分理论、级数、多元函数的微积分、曲线与曲面积分。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《数学分析讲义》（第四版）(上、下册)刘玉琏等编高等教育出版社参考书目：《数学分析》(第二版)上、下册华东师范大学数学系编高等教育出版社《微积分教程》上、下册韩云瑞扈志明主编清华大学出版社03013002 高等代数 Higher Algebra 【198—11—2、3】内容提要：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间、正交变换、二次型。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《高等代数》(第四版)张禾瑞郝炳新编高等教育出版社参考书目：《高等代数》(上、下册)钮佩琨等编哈尔滨出版社03013003 解析几何 Analytical Geometry 【70—4—1】内容提要：向量代数、直线与平面、常见二次曲面、二次曲面的一般理论。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《解析几何》吕林根许子道等主编高等教育出版社参考书目：《空间解析几何》陈希英主编哈尔滨工业大学出版社《空间解析几何引论》(第二版)南开大学吴大任等编高等教育出版社03013004 常微分方程 Ordinary Differential Equation 【72—4—4】先修课程：数学分析、高等代数内容提要：一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性定理、高阶线性方程与一阶线性方程组的基本理论、高阶常系数线性方程和一阶常系数线性方程组的解法。
修读对象：数学与应用数学专业本科生教材：《常微分方程》王高雄编高等教育出版社参考书目：《常微分方程》中山大学数学力学系常微分方程组编人民教育出版社《常微分方程》东北师范大学数学系微分方程教研室编高等教育出版社03013005 复变函数 Complex Variable Function 【72—4—5】先修课程：数学分析内容提要：复数、复变函数、解析函数、复变函数积分、调和函数、柯西积分理论、幂级数展开、孤立奇点的分类与特征、函数与亚纯函数、残数理论、保形变换。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Fourier级数(圣才出品)
第16章Fourier级数一、判断题存在实数，，使得.（）[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数，且当时，；时，，取，，为的Fourier系数，则有，.结论得证.二、解答题1．将函数展开为余弦级数．[华中科技大学2008研]解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：，，即，（），所以．2．（1）试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛；（2）设函数f的周期为2π，且，试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解：（1），取，则故关于0≤x≤1不一致收敛.（2）Fourier系数由于f（x）在（0，2π）上连续，由收敛定理知对，有在端点x=0和x=2π处，其傅里叶级数收敛于令x=2π，有故3．把函数展开成Fourier（傅立叶）级数．[中山大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f（x）的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4．设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明：此处只需证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．都为0，，5．在[0，π]上展开f（x）=x＋cosx为余弦级数．[华中科技大学研]解：将f（x）= x＋cosx延拓为[－π，π]上的偶函数.则由收敛定理，对在点x=π处，其傅里叶级数收敛于6．设f（x）为以为周期且在[－π，π]上可积的函数，和为f（x）的傅里叶系数.（1）试求f（x＋h）的傅里叶系数，（其中h为常数）；（2）令，求函数F（x）的傅里叶系数，并利用所得结果证明巴塞瓦（Parseval）等式：[哈尔滨工业大学研]解：（1）设f（x＋h）的傅里叶系数为和即同理（2）设F（x）的傅里叶系数为，易知F（x）是以2π为周期的函数．因为f（x）连续，所以由含参变量积分性质知，F（x）是连续函数，又故F（x）是[－π，π]上的偶函数，从而F（x）的傅里叶系数另外，根据含参变量积分的积分顺序可交换定理，令x＋t =u可得由F（x）的连续性和收敛定理得或取x=0，则得Parseval等式7．将函数展成级数，并求的和．[苏州大学2005研]解：根据题意，f（x）在上是奇函数因此。