11-8 一般周期函数的傅立叶级数
傅里叶级数
(3)
n1
若(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运动现象.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
对于级数(3), 只须讨论 1 (如果 1 可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛, 可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
π
有 f ( x)cos kxdx π
f
(
x)
a0
π
cos
2 π
a0
2 n1
§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数, 记作
f
(x)
~
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
(x)
a0 2
an01(aπ1n
π
cos π
nf x( x)dbxn s.in
nx
)
(9)
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
基础知识积累—傅里叶变换
三、傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数 （正弦函数或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式， 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热 过程的解析分析的工具被提出的。
变换提出
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年在法国科学 学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有 争议性的决断： 任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审 查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉 普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此 后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号， 如 在方波中出现非连续变化斜率。 法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅 里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数为：
即傅里叶变换存在，且 Parseval 定理以及 Plancherel 定理 若函数 有： 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则
傅里叶级数的计算方法
傅里叶级数的计算方法傅里叶级数是在数学和物理学领域广泛应用的数学工具，它可以把任意周期函数表示为一系列正弦波的叠加形式，这些正弦波具有不同的频率和振幅。
在实际应用中，傅里叶级数可以用于分析和合成信号，如音频、图像等。
在这篇文章中，我们将介绍傅里叶级数的计算方法，以及如何根据傅里叶级数分析信号。
一、Fourier级数的定义Fourier级数是将一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$展开成如下几组正弦和余弦函数的和的形式：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos(nx)+b_n\sin( nx)]}$$其中$a_0, a_n, b_n$称为Fourier级数的系数，它们的计算方法如下。
二、Fourier级数系数的计算方法(1) $a_0$的计算方法：$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}$$(2) $a_n$的计算方法：$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos(nx)dx}$$(3) $b_n$的计算方法：$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin(nx)dx}$$需要注意的是，由于Fourier级数中包含无穷多项，因此上述系数的计算并不是一件简单的事情。
当函数$f(x)$为简单的三角函数时，它们的计算比较容易，但是对于一般的周期函数来说，则需要借助复数和积分等更为高级的工具。
三、Fourier级数的应用Fourier级数的应用非常广泛。
我们将以音频信号的分析为例，介绍如何利用Fourier级数进行信号的分析和合成。
(1) 信号的分析：对于一个音频信号，我们往往需要知道它的主要频率分量、音量大小等信息。
利用Fourier级数，我们可以将音频信号分解为一些主要频率的正弦波的叠加形式，从而了解音频信号中包含的主要频率成分。
傅里叶级数
u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类 间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
傅里叶级数求法
傅里叶级数求法一、概述傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它在数学、物理和工程领域有着广泛的应用。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的周期函数表示为简单的正弦和余弦函数的组合。
二、傅里叶级数的定义设$f(x)$是一个周期为$T$的周期函数，那么对于任意的$x$，$f(x)$可以表示为：$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n \cos(\frac{2n\pi}{T}x) + b_n \sin(\frac{2n\pi}{T}x)$其中，$a_n$和$b_n$分别是$f(x)$的偶对称和奇对称傅里叶系数。
三、傅里叶系数的计算1. 偶对称傅里叶系数：$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos(\frac{2n\pi}{T}x) dx$2. 奇对称傅里叶系数：$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin(\frac{2n\pi}{T}x) dx$四、傅里叶级数的应用1. 信号处理：傅里叶级数可以用于信号处理，例如频谱分析和滤波器设计。
通过将信号分解为不同的频率分量，我们可以更好地理解信号的特性并对其进行处理。
2. 振动分析：在机械工程中，傅里叶级数用于分析物体的振动。
通过测量物体在不同频率下的振动响应，我们可以确定物体的固有频率和阻尼比等参数。
3. 图像处理：在图像处理中，傅里叶变换是一种常用的工具。
通过将图像从空间域变换到频率域，我们可以更好地理解图像的纹理和结构，并进行相应的滤波和增强操作。
4. 数值分析：在求解微分方程和积分方程时，傅里叶级数可以作为一种数值方法。
通过将复杂的函数展开为傅里叶级数，我们可以将问题转化为求解离散的系数，从而简化计算过程。
5. 物理学：在物理学中，傅里叶级数用于描述波动、热传导、电磁波等方面的现象。
例如，在分析波动方程时，傅里叶级数可以用于求解波函数的解。
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
周期性函数分解的傅里叶级数
周期性函数分解的傅里叶级数周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即Λ210),()(、、=+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期，且Λ210、、=k 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数)(t f ，则)(t f 可展开成）（）（1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110ΛΛΛ∑∞=++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数，可按下列公式计算：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---========ππππππωωπωωπωωωπωωπω)(sin )(1)(sin )(1sin )(2)(cos )(1)(cos )(1cos )(2)(1)(12002000220t td k t f t td k t f tdtk t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f Ta dtt f Tdt t f T a Tk Tk TT T ）（2ΛΛ这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。
设是任意整数，则下列定积分成立：⎰=π200sin mxdx⎰=π20cos mxdx⎰=π20cos sin nxdx mx ，n m ≠⎰=π200sin sin nxdx mx , n m ≠ ⎰=π200cos cos nxdx mx , n m ≠⎰=ππ202)(sin dx mx ,⎰-=ππ202)(cos dx mx这种特点陈为三角函数的正交性质。
案例来说，如果要确定系数3a ，把式（1）两边各乘以t ω3cos ，并对两边取定积分，有Λ+++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππωωωωωωωωωωωωωωωω20220202120202010)(3cos 2sin )(3cos 2cos )(3cos sin )(3cos cos )(3cos )(3cos )(t td t b t td t a t td t b t td t a t td a t td t f 以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括3a 的一项，故有：πωωπ320)(3cos )(a t td t f =⎰所以⎰=πωωπ203)(3cos )(1t td t f a特此结束推广到k a ，有⎰=πωωπ20)(cos )(1t td k t f a k同理，如果用t k ωsin 去乘以式（1）的两边后再取积分，则可求得⎰=πωωπ20)(sin )(1t td k t f b k至于0a ，可以对式（1）两边就一个周期求定积分，得Ta dt t f 0T)(=⎰从而有⎰=Tdt t f T a 00)(1，故0a 是)(t f 在一个周期内的平均值。
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开公式是将一个周期函数表示为一系列正弦和余
弦函数之和的表达式。
对于基本函数而言，傅里叶级数展开公式可以写作：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0、an、bn分别是傅里叶系数，ω是角频率，x是周期函数中的一点。
对于常见的基本函数而言，它们的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数：
f(x) = Σ(n=1 to ∞) [bn*sin(nωx)]
其中，bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
2. 余弦函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx)]
其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
3. 三角函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
通过以上公式，我们可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，从而更好地进行数学分析和计算处理。
周期函数的傅里叶级数
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再求余弦级数. 将 作偶周期延拓 , 则有
2
π
π
(x 1) d x
0
2
π
x2
π
2
x
0
2π
π 0 (x 1) cos nx d x
2
π
x sin nx cos nx sin nx
n
n2
n
π 0
y 1 O x
2 n2π
cos
nπ
1
( k 1, 2, )
cos
nπ
π 0
y
1
O x
( k 1, 2, )
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bn
( k 1, 2, )
y
因此得
x
1
2
(
2)
sin
x
2
sin
2x
1
O x
2 sin 3x 3
sin 4x 4
注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .
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例1. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0 (n 0 ,1 , 2 , )
bn
2
0
f
( x) sin
nxd x
O
x
2
0
x sin
nx d
x
• 偶函数
余弦级数
2. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法