使用C++ Builder编程演示曼德布罗分形图
20第9章 MandeLbrot集合
第9章 MandeLbrot集合
MandeLbrot集合的简介
在对Mandelbrot集合进行描述的时候，提到了一 个词，叫作分形，那么究竟什么是分形呢？从概 念上来讲，分形通常被定义为“一个粗糙或零碎 的几何形状，可以被分成若干个部分，并且每一 个部分都是（或者近似地是）整体缩小后的形状 ”，即它具有自相似的性质。分形（FractaL）一 词，其原意具有不规则、支离破碎等意义。
import tensorfLow as tf import numpy as np
#导入可视化库 import PIL.Image from cStringIO import StringIO from IPython.dispLay import cLear_output, Image, dispLay import scipy.ndimage as nd ************************************************************************************ *
在代码中，“def DispLayFractaL(a, fmt='jpeg'):”表示的是显示迭代计算出的彩色 分形图像。
第9章 MandeLbrot集合
1. 库的导入 2. 会话和变量初始化 3. 定义并运行计算
9.2 会话和变量初始化
为了操作的方便，我们通常会使用交互式会话（Interactive Session），但是一 般性的会话（ReguLar Session）也可以被正常使用，代码如下所示。
图形学实验一 三维分形(附源代码)
实验报告实验名称：三维分形算法姓名：陈怡东学号：09008406程序使用说明：程序打开后会呈现出3次分形后的四面体，因为考虑到观察效果的清晰所以就用了3次分形作为演示。
与用户的交互：1键盘交互：分别按下键盘上的数字键1，2,3,4可以分别改变四面体的4个面的颜色。
按下字母c（不区别大小写）可以改变视图函数，这里循环切换3种视图函数：glOrtho，glFrustum，gluPerspective，但是改变视图函数后要窗口形状变化后才能显现出来按下字母键q（不区别大小写）可以退出程序2鼠标交互：打开后在绘图的区域按下鼠标左键不放便可以拖动图形的视角，这里为了展现图形的3D效果因此固定了其中一点不放，这样就可以看到3D的效果。
鼠标右击则有弹出菜单显示，其中改变颜色则是同时改变4个面的颜色，本程序中运用了8组配色方案。
改变视图函数也是上述的3种函数，这里的效果立刻显现，但是还有很多问题达不到所要的效果，希望老师能帮忙解决一下。
设计思路：分形算法：把四面体细分成更小的四面体，先找出其6个棱的中点并连接起来，这样就在4个顶点处各有一个小的四面体，原来四面体中剩下的部分应当去掉。
仿效二维的生成方法，我们对保留的四个小四面体进行迭代细分。
这样细分结束后通过绘制4个三角形来绘制每一个剩下的四面体。
交互的实现：键盘交互，即通过对按键的响应写上响应函数实现对视图和颜色的改变。
鼠标交互：通过对鼠标左右按键的实现：该部分只做了必要的介绍，具体实现见代码（附注释）分形算法：void tetra(GLfloat *a,GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d)函数实现的是绘制四面体并且给四个面绘上不同的颜色。
以区别开来，函数的实现细节见代码，有注释介绍。
void triangle3(GLfloat *a,GLfloat *b,GLfloat *c)函数用来绘制每个平面细分后的三角形。
其中顶点设置为3维坐标glVertex3fv(a);void divide_tetra(GLfloat *a,GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d,int m)细分四面体的函数实现。
分形图_Visual C++简单步骤
dx=cx+cos(alpha+PI/3)*l; dy=cy+sin(alpha+PI/3)*l; Fractal(cx,cy,dx,dy); Fractal(dx,dy,ex,ey); } }
执行可左击上图左边的按钮，或者Ctrl+F5.
结语： 照此，就可以依葫芦画瓢，作出许多漂亮的分行图来。等有一定
经验，想对MFC有更多了解，便可读侯Sir的书了。 附：幾張漂亮的分形圖
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驅動與控制實踐訓練____分形圖篇___Visual C++（by Mr.He）
上圖有“上帝的指紋”美稱
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驅動與控制實踐訓練____分形圖篇___Visual C++（by Mr.He） 7
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驅動與控制實踐訓練____分形圖篇___Visual C++（by Mr.He）
最后，还要在OnDraw(CDC*pDC)函数体中加上一句： Fractal(10,300,790,300);如下：
4.可以编译和执行了
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Байду номын сангаас
驅動與控制實踐訓練____分形圖篇___Visual C++（by Mr.He）
驅動與控制實踐訓練____分形圖篇___Visual C++（by Mr.He） 8
2.文件>>新建>>项目，选择 MFC 应用程序，项目名称填 Koch(实例为 koch 曲线)。弹出以下对话框：
基于Mandlebrot集的分形图形用于丝绸图案设计
基于Mandlebrot集的分形图形用于丝绸图案设计蔡燕燕;宋晓霞【摘要】阐述了复平面上Mandlebrot集的生成方法,设计了基于Matlab相关程序,总结出不同参数下Mandlebrot集分形图形的变化规律,找出了图形结构与函数的基本关系,并运用图像处理软件XFader得到连续图案,在此基础上与法国力克的服装设计软件PrimaVision相结合,将生成的分形图形应用到丝绸图案设计中.%This paper described the generation method of Mandelbrot set, and designed the programs based on Matlab. Then, the variation about the fractal graphs of Mandelbrot set in different parameters is studied, the relationships between basic pattern and function are founded. Then the image processing software Xfader is used to get some continuous patterns, and the renderings are given after the treatment of clothing design software PrimaVision, applications of fractals in silk pattern design are discussed lastly.【期刊名称】《丝绸》【年(卷),期】2011(048)008【总页数】3页(P35-37)【关键词】Mandlebrot集;分形图形;丝绸装图案;图案设计【作者】蔡燕燕;宋晓霞【作者单位】上海工程技术大学服装学院,上海201620;上海工程技术大学服装学院,上海201620【正文语种】中文【中图分类】TS941.2图案设计是丝绸产品开发过程中一个重要的环节，传统的图案设计受到人脑想象力的限制，而且后续的修改过程也比较烦琐，往往成为产品设计中的一个瓶颈。
C++Builder 6图形、图像及实例
Name Caption Name Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Text Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption Name Caption
book C++Builder 图形、图像及实例 net 内容提要：本文介绍了图形的绘制和图像处理，其中详细介绍了画布（Canvas）的属性与使用 et k. 方法，利用它们，可以非常直观方便地绘制直线、曲线、矩形、椭圆等各种图形。本文还介绍了图 .n oo 像处理的方法，其中包括 Image 组件、TBitmap 类和 TJPEGImage 类的使用，而要进行快速的图像 ok nb 处理，几乎都离不开 ScanLine 技术。使用 ScanLine 技术，能够快速取得 bitmap 的每行的颜色值， c 而无需使用 Canvas 的 Pixels 属性逐点获取像素点的颜色值。 w. 关键字：C++Builder、图形、图像、画布 ww 引言：自 Windows 诞生以来，可以通过 GDI（Graphics Device Interface）来实现图形的绘制。 t 然 而 对 于 初 学 者 来 说 ， 庞 大 复 杂 的 GDI 绘 图 系 统 是 一 个 难 以 跨 越 的 学 习 障 碍 。 所 幸 的 是 ， 在 ne C++Builder 绘图系统中，提供了一个简易可行的画布（Canvas），可以用非常直观的方式来实现 et k. Windows 下的绘图功能。C++Builder 提供了 Image 组件，可以很方便地装载图像，以及进行图像处 n o 理。 k. bo 正文： boo .cn 1 在窗体上作图 cn ww 1.1 知识要点 . w et 1. 画布（Canvas） n 在 C++Builder 中，几乎所有的可视化组件（包括：Form、Image、Bitmap、PaintBox）都包含 et k. Canvas 属性。Canvas 包含了许多和绘图有关的性质，如 Pen、Brush、Pixels、Font 等，另外它还包 .n oo 含了各种绘图的函数，如 LineTo、Rectangle、MoveTo、Polygon 等。 ok nb （1）Canvas 类主要属性有： o c Font：画布绘制文本所用的字体。 nb w. Brush：用于填充背景的画笔刷。 .c ww Pen：用来画线和描述图形轮廓的画笔。 w PenPos：当前绘图位置的坐标。 w Pixels：画布像素数组。 w et k （2）Canvas 类主要方法有： .n oo Arc：用当前画笔在画布上画圆弧。 k b Chord：绘制由直线和椭圆相交而成的一个封闭形状。 oo cn CopyRect：将图形的一部分从另一个画布复制过来。 nb w. Ellipse：在给定的区域绘制椭圆。 c w FillRect：用当前画刷填充指定的矩形。 . w FloodFill：用当前画刷填充指定的区域。 ww （3）LineTo 类主要方法有： w t MoveTo：连同 LineTo 绘制直线。 e Polygon：绘出一系列的线，串起所传入的各个点，并从最后一点到第一点绘制一条线。 .n Polyline：绘出一系列的线，串起所传入的各个点。 ook c Rectangle：绘制圆角矩形。 b . StretchDraw：在画布上给定的大小绘制图像。 cn ww TextOut：在画布上写出字符串。 . w TextRect：在限定的区域写出字符串，区域之外的字符串不会被显示出来。 ww 2. 颜色常数 w 在 C++Builder 中提供了许多颜色的预定常数，这些预设颜色都以 cl（cl 代表 color）为启始字
分形算法及C++实现
分形算法及C++实现分形简介我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
例如，首先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
2．分形中的迭代函数系统相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换；仿射变换是指在不同的方向上变换的比率可以不同的一种比例变换。
仿射变换的数学表达式为：其中，a，b，c，d，e，f是仿射变换系数。
对于比较复杂的图形，可能需要多个不同的仿射变换来实现，而且，每个仿射变换被调用的概率不一定相同，所以引进一个参数概率p。
a，b，c，d，e，f，p 就构成了一个IFS码。
3．分形中计算机模拟算法递归算法。
字符串替换算法。
迭代函数系统算法。
逃逸时间算法。
分形公式大全
分形公式大全分形公式是一种表示分形特征的数学公式，它可以描述自相似、无限细节和复杂的结构。
下面是一些常见的分形公式及其相关参考内容。
1. Mandelbrot集公式:Mandelbrot集是分形几何中最著名的一个例子，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)是一个复数，C是一个常数。
这个公式对于不同的C值会产生不同的形状，形成了Mandelbrot集的分形特征。
关于Mandelbrot集的更多内容，可以参考书籍《The Fractal Geometry of Nature》 by Benoit B. Mandelbrot。
2. Julia集公式:Julia集是类似于Mandelbrot集的分形图形，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)和C都是复数。
当给定不同的C值时，Julia集的形状也会有所不同。
关于Julia集的更多内容，可以参考书籍《The Science of Fractal Images》by Heinz-Otto Peitgen和Dietmar Saupe。
3. 分岔图公式:分岔图是描述非线性动力系统中稳定性变化的一种分形图形。
它由下面的公式定义：f(x) = r * x * (1-x)其中，r是参数，x是状态变量。
当r的值在一定范围内变化时，分岔图会展现出分形的特征。
关于分岔图的更多内容，可以参考书籍《Chaos: Making a New Science》by James Gleick。
4. 树形分形公式:树形分形是一种描述树状结构的分形图形，它由下面的公式定义：x(n+1) = r * x(n) * cos(theta) - y(n) * sin(theta)y(n+1) = r * x(n) * sin(theta) + y(n) * cos(theta)其中，x(n)和y(n)是当前点的坐标，x(n+1)和y(n+1)是下一个点的坐标，r是缩放参数，theta是旋转角度。
几个简单分形图形的C语言实现
sin 600 cos 600 0
x4
y4 1 x3Fra biblioteky30 1 0 0 0 0 1 0 1 x y2 1 2
1.3． 程序设计过程 (一) 迭代过程函数
void
koch(double x0, double y0, double x1, double y1, int k) /* 给出直线 F0 的两个端点坐标(x0,y0)和(x1,y1)，并且定义迭代次数为 k 次*/
x2
y2 1 x1
y1
1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 3 x y 1 0 1 x y 1 0 0 0 0 0
x3
y3 1 x1
printf(”Please input the value of the positive integer n (n<9):”);
scanf(“%d”, &n); setcolor(GREEN); sierpinski(20, 20, 470, 470, n); getch(); closegraph(); } 2.4． 生成图形显示
/*输入迭代次数 n*/ /*设置 sierpinski 三角形颜色为绿色*/ /*画 sierpinski 三角形*/
/*关闭图形系统*/
图 2.4 迭代四次后生成的 Sierpinski 三角形
图 2.5 迭代六次后生成的 Sierpinski 三角形
分形(三)
3.1． 绘制桧树分形小枝的生成元
{
double x2, y2, x3, y3, x4, y4; x2=2.0/3*x0+1.0/3*x1;
分形几何的典型范例
分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。
3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。
通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。
5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。
这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。
这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。
分形图生成算法与实例
图 9_1 n=6 时 Sierpinski 垫片生成图
图 9_2 n=10 时 Sierpinski 垫片生成图
2.4 分支结构分形递归算法 研究如下图的分支结构图的递归算法
图 10 分支结构分形图
细分此分支结构，建立模型如下，其中取 A 为起点，且记 A 点坐标为 ( x, y ) ， B 点坐标为 ( x1 , y1 ) ，线段 AB = L, BC = BD = alpha, 递归深度为 n. 2 L. 且设定 AB 与水平面的夹角为 3
%画出图形 %递归终止条件
%计算 L %计算 α
alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); if((ex-cx)<0) { alpha=alpha+pi; } dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; Koch(ax,ay,cx,cy); Koch(ex,ey,bx,by); Koch(cx,cy,dx,dy); Koch(dx,dy,ex,ey); } } 最后实现的结果如图 6 所示
line([x1,x1R],[y1,y1R],'Color','g','LineWidth',2);hold on; tree(x2,y2,L/s3,A-C); tree(x2L,y2L,L/s2,A+B); tree(x2R,y2R,L/s2,A-B); tree(x1L,y1L,L/s2,A+B); tree(x1R,y1R,L/s2,A-B); end 故设定 α = π α α , β = , γ = . 可以得出分形树的生成图如下 2 3 8 %递归调用
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使 用 Ｃ＋＋ Ｂ ｉ ｅ 编 程 演 示 曼 德 布 罗分 形 图 ｕｌ ｒ ｄ
曾 兵 韩东波
（ 都理 ２ 大学核技术 与 自动化学院 四川 成都 ６ ０ ５ ） 成 １ ２ １０ ９
摘 要
分 形几何 方法在计算机 图形 学和模 拟仿真学 的研 究中具有 重要 的应用 ， 而曼德 布 罗分 形 图是分 形几何 中的一个 经典实
Ｚｅ ｇ Ｂｉ Ｈａ ｎｇ ｏ ｎ ｎｇ ｎ Ｄｏ ｂ ｈｎｄ ｎｖ ｓｙｏ Ｔｃｎｌｇ ，ｈｎ ｄ １ ０ ９ Ｓｃ ａ ，ｈｎ ｅｉ ｆ ｈ （ ｏｌ ｅｆＡ ｐｉ ｕｌ ｒＴｃｎ ｌ ｙａ ｄＡ ｔｍ ｔ ｎＥ ｇｎｅｉ Ｃ ｅｇ ｕＵ ｉ ｒｔ ｅｈ ｏｏｙ Ｃ ｅｇ ｕ６ ０ ５ ，ｉ ｕ ｎ Ｃ ｉａ） Ｃ ｌｇ ｐ ｌｄＮ ｃ ａ ｅｈ ｏｏ ｎ ｕｏ ａｉ ｎ ｉｅｒ ｇ ｅ ｏ ｅ ｅ ｇ ｏ ｎ
维数 。增加变换 次数 ， 则物体将 产生更 多 的细节 ， 并更加 接近 “ 真 正的” 分形 。最终图形显示 中的细 节数量依 赖于 重复执行 的
次数 、 运算 的精度 以及 显示 系统 的分辨率 。为 了看 到物体 的更
多 细节 ， 以选择放 大的部分并重复变换 函数 。 可
３ 曼 德 布 罗 集 的 定 义
较 小 窗 口 ， 且 在 新 窗 口中重 复 分 形 过 程 来 生 成 细 节 ， 以 得 到 并 可
１ 分 形概 念
传 统的欧氏几何方法是 通过 方程来 描述对 象 的形 状 ， 它适 用 于形 状规则的对象 ， 无法真 实地模 拟形 状复 杂而不规 则 的 但 对象 。在计算 机图形学应用 中， 分形 可用来模拟各种 自然景 物 ， 如云 、 山脉 、 海岸 线 、 、 、 水 树 羽毛及各种表 面纹 理 、 各种数学 或物 理 系统 的可视化 ， 甚至可 以用来模 拟气候 变化 以及社 会经 济系 统 的相互作 用 等等 。在 这类应 用 中， 形 几 何 （ ｒｃ １ ｅｍ — 分 Ｆａｔ ． ｏ ｅ ａｇ ｔ） ｒ 方法往往 能起 到有 效的作用 。 ｙ 分形理论 的创始人 为 法 国数学 家曼 德 布 罗 （ ｎ ｅ ｒｔ ， Ｍａｄｌ ｏ） ｂ 他 于 １７ ９ ５年 正式提 出分形这 一术语 ， 它既包 含破碎 、 不规 则的
例 。阐述 了如何使用 Ｃ＋ ｕ ｄｒ ＋Ｂ ｉ ｅ 编程 实现 曼德 布罗分形 图的多级放大 与缩小演示 ， ｌ 只要将 其中分形迭代 的算法进行 改变 ， 此方 法 可 以对其他 的分形 图进行 多级放 大与缩小演示。 关键词 分形 曼德布 罗 Ｃ＋＋
ＤＥＭ ｏＮＳ ＴＲＡＴＩ ＮＧ ＡＮＤＥＬＢＲｏＴ Ｍ ＦＲＡＣＴＡＬ ＧＲＡＰＨＩ Ｗ Ｉ Ｃ ＴＨ ＋＋ Ｂｕｉ ｒ ＰＲＯＧＲＡＭ Ｃ ｌ ｄｅ
曼德布 罗本人提 出的一个 分形 图的含义。１８ ９ ３年其 著作《自然界 的分 形几 何》出版后 ， 分形 理论 及其 应用得 到迅 猛 发展 并扩 展到 了各 个
ｄ ｌ ｒ ｔｆ ｃ ａ ｇ ａ ｈ ｃ ｉ ｌ ｓ ｉａ ｎ ｔ ｎ ｅ ｉ ｒ ｃａ — ｅ ｍｅｒ ． ｎ ｔ ｅｐ ｐ ｒｉ ｅ ｐ ｔ ｔ ｓｏ ｏ ｏｕ ｅ Ｃ ＋ Ｂ ｉ ｅ ｒ ｇａ ｔ ｅ ｌ ｅｍｕ ＿ ｅ ｂ ｏ ｒ ｔｌ ｒ ｐ ｉ ｓａ ｃａ ｓｃ ｌ ｓａ ｃ ｆａ ｔｌｇ ｏ ｔ Ｉ ｈ ａ ｅ ｘ ａｉ ｅ ｎ ｈ ｗ ｔ ｓ ＋ ｕ ｌ ｒ ｏ ｒ ｍ ｒ ａｉ ｌ ａ ｉ ｎ ｙ ｔ ａ ｄ ｐ ｏ ｚ ｔ ｅ ｅ ｏ ｍｉ ｇ ｄ ｍｏ ｓｒ ｔ ｎ ｏ ｅ Ｍａ ｄ ｌ ｒ ｔ ｒ ｃａ ｒ ｐ ｉ ． ｈ ｔｏ ａ ｌ ｏｂ ｓ ｄ ｔ ｅ ｎ ｔ ｔ ｔ ｅ ａ ｔｌｇ ａ ｈ ｃ ｉ ｌ — ｉ ｖ ｌｚ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆｔ ｎ ｅｂ ｏ ａ ｔｌｇａ ｈｃ Ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｃ ｎ ａｓ ｅ ｕ ｅ ｏ ｄ ｍｏ ｓ ａｅ ｏｈ ｒｆ ｃ ａ ｒ ｐ ｉ ｓｗ ｔ ｍｕ ｔ ｌ ａｏ ｈ ｆ ｒ ｒ ｈ ｉ
分形物体 的放大显示 。分形物体 的无 限细节 的结 果是分形物体
没有确 定的大小 。当我们 考虑越 来越 多的细节 时 ， 物体 的大小
趋 于无 限 ， 但物体 的坐标 范围保持在有限 的区间内。 尽 管定 义上分形物体 包含无 限的 细节 ， 实 际上 我们 只能 但 应用有 限次的变换 函数 。因此 ， 际只能显示 分形 物体 的有 限 实
维普资讯
第 ２ 第 ９期 ５卷
２０ ０ ８年 ９月
计算 机应 用 与软件
Ｃｏ ｕ ｅ ｐ ｉａ ｉｎｓａ ｄ Ｓ ｆ ｒ ｍｐ ｔ ｒＡｐ ｌｃ ｔｏ ｎ ｏｔ ｅ ｗａ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ ９ １２ ．
Ｓ ｐ． ２ ０ ｅ ０８
，
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ
Ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ａ ｔ ｌ ｅ ｍｅｒ ａ ｍｐ ｒａ ｔ ｐ ｌ ａｉｎ ｉ ｅ ｅ ｒ ｈ ｓｏ ｏ ｕ ｅ ｒ ｐ ｉｓ ａ ｄ ｅ ｌｔ ｇ ｓｍｕ ａ ｉｎ， ｅ Ｍａ — ｈ ｔ ｏ ｆ ｒ ｃ ａ— ｏ ｔｙ ｈ ｓｉ ｏ ｔｎ ｐ ｉ ｔ ｎ ｒ ｓ ａｃ ｅ ｆ ｍｐ ｔｒｇ ａ ｈ ｃ ｎ ｍｕ ａ ｉ ｉ ｌｔ ｆ ｇ ａ ｃ ｏ ｃ ｎ ｏ ｔ ｎ ｈ
ｌ ｅ ｚｏ ｉｇｊｓ ｂ ｈ ｎ ｉｇｔｅｆ ｃ ｌ ｔ ａ ｖ ｌｏｉ ｍ． ｅ ｌ ｏ ｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ａ ｇｎ ａｔ ｅ ｔ ｅａ ｒ ｈ ｖ ｕ ｈ ｒ ａｉｒｉ ｇ ｔ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ Ｆ ａ ｔｌ Ｍａ ｄ ｌｒ ｔ Ｃ ＋ ｒ ｃ ａ ｎ ｅｂ ｏ ＋