苏教版高中数学必修四江苏淮阴学案平面向量的坐标运算
苏教高中数学必修：平面向量的坐标运算.doc
2.3.2平面向量地坐标运算一、课题：2.3.2平面向量地坐标运算二、教学目标：1.掌握两向量平行时坐标表示地充要条件；2.能利用两向量平行地坐标表示解决有关综合问题.三、教学重、难点：1.向量平行地充要条件地坐标表示；2.应用向量平行地充要条件证明三点共线和两直线平行地问题.四、教学过程：()复习：1.已知a = (3,2),方=(0,-1),求-2a + 4b , 4a + 3b地坐标；2.己知点4(1,1), B(—1,5)及 = AD = 2AB, AE = -^AB,求点C、D、E 地坐标.归纳：(1)设点AO],%), B(x2,y2),则AB = (x2-x l,y2-y i)；(2) a = (x l,y1), b = (x2,y2),则a+b = (x1+A:2,+ j2), a-b = (x i -x2,y1 -y2), Aa = (Ax i,Ay1)；3.向量a与非零向量方平行地充要条件是：a = e R.b H 0).()新课讲解：1.向量平行地坐标表示：设0 =(兀1，必)，b = (x2,y2), (Z?H0),且a〃b,贝^a = G R,b 0) , (jq, y r) = 2(x2, y2) = (Ax2,Ay2).J =心2 ’'归纳：向量平行(共线)地充要条件地两种表达形式：all b (Z? H 0) o a = e R,b 丰 0)；allb (Z?^0)且设。
=(兀1，歹1),方=(%2，歹2)o 西％一兀2% =°(兀1，兀2，歹1，旳 wQ例1 已知a = (4,2), b = (6,y),且o〃b,求y.解：V allb,4y —2x6 = 0. .•.y = 3.例2 已知A(—1,—1), B(l,3), C(2,5),求证A、B、C 三点共线.证明：AB = (1 —(―1),3 —(—1)) = (2,4), AC = (2—(―1),5 —(―1)) = (3,6),又2x6 —3x4 = 0, :.AB//AC. V直线A3、直线AC有公共点A,22 — “ =6 —42 +3/7 = 5・・・A, B , C 三点共线.例 3 已知。
(完整版)必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)，d ＝(3，－3)．知识点二 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标．答案易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)，OD →＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF →＝a －3c ＝(1，－2)．题型一 平面向量的坐标表示例1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D (12，32)， ∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝(12－2，32－0)＝(－32，32)．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时，如何求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标？解 由于B (2,0)，E (1,0)，C (1，3)，D (12，32)，G (1，33)， 所以CE →＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，AG →＝(1，33)， BG →＝(1－2，33－0)＝(－1，33)， GD →＝(12－1，32－33)＝(－12，36)． 题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →. 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)．∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．(2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b . 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.。
苏教版高中数学必修四课件十二2.3.2平面向量的坐标运算
求向量OA,OB, AO,CD的坐标。 ｙ
注意： OA CD
两向量坐标相同
练习：P733
A Ｏ
Ｄ
C ｘ
B
例3：已知 P1(x1, y1), p2 (x2 , y2 ) 点P是直线 P1P2上一点，
且 P1P PP2( 1) ，求点P的坐标
课堂小结
平面向量的坐标运算.
(1)若a (x1, y1),b (x2, y2),则 a b (x1 x2 , y1 y2 ),
y
得
a=xi+yj．
j
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
Oi
a=(x,y)
那么i=（，10） j（，01）
0=（，00）
a x
概念理解
1．以原点O为起点作，OA点Aa的位置由谁确定?
由a唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？
N
a A (x,y)
a=(x,y) OA=xi+yj=OM+ON
a
即
a+b (x1 x2 , y1 y2 )
a
由于
λa＝λxi＋λyj.
同理可得 a-b (x1 x2 , y1 y2 ) 所以 a (x,y)
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
2.平面向量的坐标运算
j
两者相同
Oi M
x
一一对应
向量a的坐标
A的坐标（x，y）
例1：如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限， OA 4 3, xOA 60.求向量OA的坐标
y
6
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算(
2．3.2 平面向量的坐标运算(一)[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1．点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量AB →的坐标需要知道哪些条件？答 求向量AB →的坐标，需要知道点A 和点B 的坐标． [预习导引]1．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标． 解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标． 解 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23， y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)． 规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b .试求实数p ，q 的值． 解 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴p a ＋q b ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )． ∵c ＝p a ＋q b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求实数p ，q 的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，若CM →＝2CA →＋3CB →，求点M 的坐标． 解 由A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，得 CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，∴CM →＝2CA →＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4)． 由向量相等坐标相同可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15.∴点M 的坐标为(－11，－15)． 要点三 平面向量坐标的应用例4 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由． 解 由题可知OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)PB →＝PO →＋OB →＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4,5)＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，即有⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．规律方法 已知含参的向量等式，依据某点位置探求参数的问题，本质是运用坐标运算，用已知点的坐标和参数表示出该点坐标，利用该点的位置确定横坐标、纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)．跟踪演练4 已知M (1,5)，N (5,17)，点P 在直线MN 上，有|MP →|＝3|PN →|，求点P 的坐标． 解 设点P 的坐标为(x ，y )， MP →＝(x －1，y －5)，PN →＝(5－x,17－y )．(1)当MP →＝3PN →时有(x －1，y －5)＝3(5－x,17－y )，由此解得x ＝4，y ＝14. 所以点P 的坐标为(4,14)．(2)当MP →＝－3PN →时，有(x －1，y －5)＝－3(5－x,17－y )， 由此解得x ＝7，y ＝23. 所以点P 的坐标为(7,23)．由(1)(2)可知点P 的坐标为(4,14)或(7,23).1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝________. 答案 (2，－1)解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D (2，72)．4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 答案 7解析 由题意可得(9,4)＝m (2，－3)＋n (1,2)＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )，由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.故m ＋n ＝7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个向量终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．一、基础达标1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)2．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________. 答案 (5,7)解析 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．3．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为λ1＝________，λ2＝________. 答案 －1 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.5．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．答案 (－3,6)6．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 答案112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.7．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．二、能力提升8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. 答案 (－3，－5) 解析 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．9．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为________．答案(7，－5)解析A′B′→与AB→方向相同且长度相等，故A′B′→＝AB→＝(7，－5)．10．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________．答案⎝⎛⎭⎪⎫35，－45解析AB→＝(3，－4)，所以|AB→|＝5，所以同方向的单位向量是15AB→＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.答案 4解析以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4.12．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,1)．求OB→的坐标．解DB→＝AB→－AD→＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3.三、探究与创新13．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)试求λ为何值时，点P 在第三象限内？ 解 ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC → ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)由5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝12，∴当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，λ<－47，∴λ<－1.∴当λ<－1时，点P 在第三象限内.。
苏教版高中数学必修四江苏淮阴学案向量数乘运算及其几何意义
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义编者：刘凯【学习目标、细解考纲】1、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2、了解两个向量共线的含义。
3、理解和应用向量数乘的运算律。
【知识梳理、双基再现】1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λr =___________________________________;（2）当________________时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当____________时，a λr 的方向与a r 方向相反，当_____________时，a λr =O u r 。
2、向量数乘和运算律，设,λμ为实数。
（1）()a λμ=r _____________________________________________；（2）()a λμ+=r __________________________________________；（3）()a b λ+=r r __________________________________________；（4）()a λ=r ____________________=________________________；（5）()a b λ-=r r _________________________________________；3、⎧⎪⎨⎪⎩向量的加法向量的线性运算向量的减法向量的数乘对于任意向量a r ,b r ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμr r 1（+）=_________________________。
4、两个向量共线（平行）的等价条件，如果(0)a a b ≠r r r 与共线，那么_________________。
【小试身手、轻松过关】1、(4) 2.5a -⨯r =___________。
苏教版高中数学必修四课件平面向量的坐标表示与运算.pptx
小结反思
OA a (x1, y1),OB b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
作业 课本P75习题2.3-------1 , 4
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题2：在平面直角坐标系中，向量 OM 的 长度与方向是如何确定的？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题3：这样一来，向量 OM 就可以用哪个 点的坐标来表示？反之，若点 M 的坐标 是 (4,3) ，则点 M (4,3) 对应的向量是什么？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
量 i, j作为基底，则
a xi y j
数学应用
例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，
| OA | 4 3, xOA 600 ，求向量 OA 的坐
标。OA (2 3,6)
y
A
B
600
x
O
变式:若∠XOB=1500 ,OB=2,则向量 OB的
坐标是____(__3_,1_) .
构建数学 当向量用坐标表示时，向量的和、差以
数学应用 例3 已知 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), ,P是直线 P1P2 上
一点,且 P1P PP2 ( 1) ,求点P的坐标;
及向量的数乘也都可以用坐标来表示；
a (x1, y1),b (x2 , y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
构建数学
高中数学 2.3平面向量的坐标运算(1)导学案苏教版必修4
第7课时 平面向量的坐标运算（1）【学习目标】（1）理解平面向量的坐标的概念；能说出直角坐标系中平面向量的坐标概念,会写出直角坐标系内给定的向量的坐标,会作出已知坐标表示的向量（2）掌握平面向量的坐标运算；能正确表示向量的加法、减法和实数与向量的积的坐标运算法则，能正确地运用它们进行向量的坐标运算，明确向量的坐标表示(3)．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力.【学习重点】平面向量的加法、减法和实数与向量的积的坐标运算法则【自主学习】平面内的点与坐标的一一对应向量的表示平面向量的基本定理物理中的正交分解向量加法、减法和实数与向量的积的运算法则问题1：向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。
表示给定的向量的有向线段是否惟一？如果将起点固定在原点呢？问题2：平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，那么向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？问题3：向量都是用有向线段表示能否用代数形式来表示呢？有没有什么理论依据在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量，作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得j y i x a +=，我们把序实数对(x,y)叫做向量a （直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标，),(y x a =叫做向量的坐标表示。
【合作探究】◆提出问题1、以原点O 为起点作向量OA=a ，点A 的位置是否唯一确定？2、点A 的坐标与向量OA 的坐标有什么关系？3、两个向量相等的充要条件利用坐标如何表示4、(x ,y)为坐标的向量有多少个?注：1、点的坐标与以原点O 为起点的向量的坐标建立一一对应的关系。
2、在直角坐标系中向量可自由移动，只要大小和方向不变，它们的坐标就是相同的3、两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等4 若分别取x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，作为基底 ，则y x +=【课堂展示】例1，已知O 是坐标原点，点A 34=，060=∠XOA 求向量的坐标2、平面向量的坐标运算已知向量a =（1x ，1y ），b =(2x ,2y )和实数λ，那么a+b=a-b=λa=例2：已知)4,3(),1,2(-==b 求b a b a b a 43,,+-+的坐标例3、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标。
高中数学2.3.2平面向量的坐标运算(2)教案苏教版必修4
232 平面向量的坐标运算(2)教学目标:1 •让学生经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示，理解向量共线的坐标表示;2 .理解向量共线的条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线；3 •能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题.教学重点:向量平行的充要条件的坐标表示.教学难点：应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题.教学方法：引导发现、合作探究.教学过程：一、问题情境1.已知a (3,2) , b (0, 1)，求2a 4b , 4a 3b 的坐标;1 12.已知点A(1,1), B( 1,5)及AC AB , AD 2 AB , AE AB，求点C、D、2 2E的坐标.归纳：(1)设点A(X1,yJ , B(X2,y2)，则AB (X2 为以如);r r r r(2) a (X1,yj , b (X2,y2)，则a b (X1 X2, y1 y2),r r ra b (X! X2, y1 y?) , a ( x“ yj;提出问题：a = (1 , —4) , b = ( —2, 8)，作图表示，发现了什么？二、学生活动提出问题："a = (X1, y" , = (X2, y2)，若7 // "b，如何用坐标刻画？三、建构数学共线向量的充要条件:思考：共线向量的条件是有且只有一个实数入使得b = a ,那么这个条件如何用坐标来表示呢？(x1,y1) (x2,y2)y 1y 2归纳：向量平行(共线)的两种表达形式：r r . .a //b ( b 0)a b x 1 y 2 x 2y 1 0r注意：①消去 时不能两式相除，T y 1, y 2有可能为0. v b 0，二x 2, y 2中至少有一个 不为0 •②这个条件不能写成丸X 1y 2 , • xX 1,X 2有可能为0.r r r —b- —fc-③向量共线的两种判定方法：a //b ( b 0)a b x°2 X2% 0 •rr r r即：若存在两个不全为 0 的实数,使得 a +b =0 , 那么a 与b 为共线向量，零向量与任意向量共线.四、数学运用1.例题.rrr r例1已知a (4, 2) , b(6,y) ,且a//b ,求y •例 2 已知 A(0, 2),B(2,2),C(3,4)，求证： A , B , C 三点共线.r r r r r r例3已知a (1,0), b (2,1)，当实数k 为何值时，向量k a — b 与a + 3b 平行？并确 定此时它们是同向还是反向.rr r urrr r r 例 4 已知 a(2, 4) , b ( 1,3), c (6,5), p a 2b c ，则以 a , b为ur基底，求p .例5 已知点0, A, B , C 的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (— 1, 2) , (1 , 1),是否存在 常数t ，使得OA tOB =OC 成立？解释你所得到结论的几何意义.r a由ro rb中消去入：x 1y 2x 2y 1-X 2,y 2中至少有一个不为 0•r O2.巩固.r 3 r i r r(1)设a (-,sin )，b (cos ,_)，(0,2 )，且a//b，求锐角；2 3r r(2) ____________ 当x 时，向量a (1,2)与b (x,4)平行；r r r r r r(3)已知向量 a (1,2), b (x,1), u a +2b , v 2a - b，且u//v，求x ；(4)设a、b是不共线的非零向量，求证a+2b与a-2 b不平行；(5)已知a (1,2) , b ( 3,2)，当k为何值时，k a+b与a-3 b平行？平行时它们是同向还是反向？(6)已知点A( 1, 1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与直线CD平行吗？r(7) __________________________________________ 与向量a (3,4)平行的单位向量为.五、回顾反思1 •熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2 •会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3•明白判断两直线平行与两向量平行的异同.。
江苏必修4平面向量的基本定理和坐标运算
平面向量的基本定理和坐标运算一、基础知识：1．两个向量共线定理：向量b 与()a a 0≠共线的充要条件是_____________________________________2．平面向量基本定理：如果12e ,e 是___________的两个非零向量，对于平面内的任一向量a ，存在_____的一对实数12,λλ，使1122a=e +e λλ，称12e ,e 为表示平面内所有向量的一组______。
3．平面向量的坐标运算设()()1122a x y b x y →→==，，，，则()()1112a b x y y y →→±=±，，=___________()11a x y λλ→=，=________若()()1122A x y B x y ，，，，则AB →=_______，||AB →=__________，就是A B 、两点间的距离公式。
设()()1122a x y b x y →→==，，，()0a ≠， 则a b ⇔______________________________4、高考动向：高考中常以填空题的形式考查向量坐标运算(共线向量)及平面向量基本定理，难度为中低档，向量的坐标运算有可能与其他知识(如三角、解析几何)综合考查，在知识的交汇点处命题。
二、基础训练：1、若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同。
2、已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______2、(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线3、若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______4、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______6、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-7、已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ______ A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线8、已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如//c d 则A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向9、若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=___________A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b10.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是________________11.已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．12.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.。
苏教版高中数学必修四课件十二2.3.2平面向量的坐标运算.pptx
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
例2：如图已知A1，3，B1， 3，C4,1, D3,4
求向量OA,OB, AO,CD的坐标。 ｙ
空白演示
在此输入您的封面副标题
2.3.2平面向量的坐标运算
复习引入 1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对 于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1， λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底.
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下 进行分解；
(4)基底给定时, 分解形式惟一, 1、2是被a、e1、e2
惟一确定的数量.
1.平面向量的坐标表示
分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j能否作
为基底？ 任一向量a，用这组基底可表示为
有且只有一对实数x、y，使
a
b
r
( x1
x2 ,
y1
y2
),
a b (x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
解： AB OB OA
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 x1 , y2 y1 )
AB
A( x1 , y1 )
y B(x2 , y2 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2．3.3 平面向量的坐标运算
编者：刘凯
【学习目标、细解考纲】
1、会用坐标表示平面向量的加法、减与数乘运算。
2、培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
【知识梳理、双基再现】
1、两个向量和差的坐标运算
已知：vv1122(,),(,)axybxx，为一实数
则vvvuvvuv122()()abxiyjxiyj=______________________；
即vvab=_____________________________。
同理将vvab=_____________这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于
______________________。
2、数乘向量和坐示运算
vvuv()axiyj
11
=____________
即va=____________________________
这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。
3、向量uuvAB的坐标表示
若已知(,)Axy11,(,)Bxy22，则uuvAB=_____________=___________________即一个向量
的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
【小试身手、轻松过关】
1、设向量vv,ab坐标分别是（-1，2），（3，-5）
则vvab=__________________，vvab=__________________
v
3
a
=______________________，vv25ab=_________________
2、设vvv(1,3),(2,4),(0,5)abc则vvv3abc=_________________
3、已知：uuv(,)OA01则uuvAB=_______________________________________
4、若点A（-2，1），B（1，3），则uuvAB=___________________________
【基础训练、锋芒初显】
5、若点A的坐标是(,)xy11，向量uuvAB的坐标为(,)xy22，则点B的坐标为（ ）
A．(,)xxyy1212 B．(,)xxyy2121
C．(,)xxyy1212 D．(,)xxyy1212
6、已知M（3，-2）N（-5，-1），且uuuvuuuvMPMN2则uuuvMP=（ ）
A．（-8，1） B．(,)142 C．（-16,2） D．(8,-1)
7、已知(,),(,)MN3251，且uuuvuuuvMPMN12，则P点的坐标（ ）
A．(,)142 B．(,)312 C．(,)312 D．(,)81
8、已知vvvvv(,),(,),abcab31122则uvC=（ ）
A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）
【举一反三、能力拓展】
9、已知vvvv(2,4),(2,2)abab求vv,ab坐标
10、求证：设线段AB两端点的坐标分别为(,)Axy11，(,)Bxy22，则其中点M（x,y）的坐
标公式是：12y+y x= , y=xy1122
11、利用上题公式，若已知A（-2，1），B（1，3）求线段AB中点的M的坐标
【名师小结、感悟反思】
1、在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量uuvvOAA点A的位置被向量va唯一确定，此
时点A的坐标与向量va的坐标统一为（x,y）
2、两个向量相等等价于它们对应的坐标相等。
3、要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐
标却可以不同，如A（3，5），B（6，8）则uuv(,)AB33若(,)(,)CD5326则uuv(,)CD33，
显然，uuvuuvABCD，但A、B、C、D四点各不相同，换言之，向量的坐标与表示该向量的有
向段的起点，终点的具体位置无关，若v(,)axy11,则将va进行任意的平移后其坐标仍为
(,)
xy
11
。