初中数学竞赛：完全平方数和完全平方式
八年级数学-完全平方公式说课课件.ppt
（1）学情分析
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐 步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同 时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的 表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发 学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件 和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
初级中学
教材分析 目标分析 教法学法分析 教学过程分析 教学评价分析
（2）教法分析
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教 师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学 生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节 课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论 式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主 线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主 动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师 的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出 足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上 完成对知识的自我建构。
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正确?
(4) a + b + c = a – ( ).
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2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z ).
3.如图，一块直径为a+b的圆 形钢板，从中挖去直径分别为 a与b的两个圆，求剩下的钢板 的面积.
初中数学《完全平方公式》_PPT完整版【北师大版】2
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
公式特点： (a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
完全平方公式的 特点
首平方，尾平方，积的 2倍在中央
=
y2+y+
1 4
3) (-2x-1)2 =[-(2x+1)]2=(2x+1)2
= (2x)2+2·2x·1+1
=4x2+4x+1
例3.运用完全平方公式计算：
1) 1022
2) 1992
3) 4982
4) 79.82
解：1) 1022 = (100+2)2
= 1002+2×100×2+22
= 10000+400+4
4)79.82 = (80-0.2)2
=802-2×80×0.2+0.22
= 6400-32+0.04
= 6368.04
1.去括号．
（1）a+（b+c）= a+b+c 。
（2）a-（b-c）= a-b+c 。
2.添加括号使得下列等式成立：
(1)a+b+c=a+ ( b+c ) (2)a-b+c=a- ( b-c ) 注意
初中数学《完全平方公式》教学分析 北师大 版2-精 品课件p pt(实 用版)
这节课你学到了什么知识？
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
初中数学课件完全平方公式
完全平方公式
思维导图
确认预判
若x2+kx+36是完全平方式，则k的值应是（ ）
A．16
B．12
C．-12或12
D．-12
确认预判
若4x2+（a-1）x+25是一个完全平方式，则a值为
确认预判
课程目标
教学内容
教学要求
靶向考试
考试点评
1.熟悉完全平方公式的结构特征及几何意义；
完全平方公式 2.会根据公式特征进行运算
要点精析 要点精析： (1)公式特点：①a、b同号：同正或同负——中间项均为+2ab
a、b异号：一正一负——中间项均为-2ab
(2)a与b的特点：可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式．
易错警示
易错警示：
(1) 公式中的a与b不是单个数字或字母时，运用公式忘加括号．
(2) 在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于 公式中的b，不要混淆．
A．3
B．-5
C．-7或1
D．7或-1
应用练习
1.若9x2+mxy+4y2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．12
B．-12
C．±12
D．±6
2.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a=（ ）
A．20
B．-20
C．±20
D．±10
应用练习
若(ax+3y)2=4x2−12xy+by2，则a，b的值分别为（ ）
的 和，再加上两个数积的
猜想 （a+b）2=
怎么说明上述猜想成立？你有哪些方法
完全平方公式的几何意义
初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）
初中数学《完全平方公式》教学设计初中数学《完全平方公式》教学设计范文（精选7篇）作为一名教师，编写教学设计是必不可少的，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
那么优秀的教学设计是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的初中数学《完全平方公式》教学设计范文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
初中数学《完全平方公式》教学设计篇1学习目标：1、经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导完全平方公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3、数形结合的数学思想和方法。
学习重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
学习难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中a、b的广泛含义。
学习过程：一、学习准备1、利用多项式乘以多项式计算：（a+b）2 （a—b）22、这两个特殊形式的多项式乘法结果称为完全平方公式。
尝试用自己的语言叙述完全平方公式：3、完全平方公式的几何意义：阅读课本64页，完成填空。
4、完全平方公式的结构特征：（a+b）2=a2+2ab+b2（a—b）2=a2—2ab+b2左边是形式，右边有三项，其中两项是形式，另一项是（）注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：（□±△）=□2±2□△+△25、两个完全平方公式的转化：（a—b）2= 2=（）2+2（）+（）2=（）二、合作探究1、利用乘法公式计算：（3a+2b）2 （2）（—4x2—1）2分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a ，哪个式子相当于公式中的b2、利用乘法公式计算：992 （2）（）2分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以992可以转化（）2，（）2可以转化为（）2。
3、利用完全平方公式计算：（a+b+c）2 （2）（a—b）3三、学习对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；（1）（—1+3a）2=9a2—6a+1（2）（3x2—）2=9x4—（3）（xy+4）2=x2y2+16（4）（a2b—2）2=a2b2—2a2b+42、利用乘法公式计算：（1）（3x+1）2（2）（a—3b）2（3）（—2x+ ）2（4）（—3m—4n）23、利用乘法公式计算：99924、先化简，再求值；（ m—3n）2—（ m+3n）2+2，其中m=2，n=3五、思维拓展1、如果x2—kx+81是一个完全平方公式，则k的值是（）2、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（）3、已知（x+y）2=9，（x—y）2=5 ，求xy的值4、x+y=4 ，x—y=10 ，那么xy=（）5、已知x— =4，则x2+ =（）初中数学《完全平方公式》教学设计篇2一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
完全平方公式
THANKS
谢谢您的观看
与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
完全平方公式的深入理解与应用
完全平方公式的深入理解与应用完全平方公式是初中数学中重要的内容之一，对于学生来说，充分理解并灵活运用完全平方公式是提高解题效率和准确性的关键。
本文旨在通过深入探讨完全平方公式的概念、推导过程及应用技巧，帮助学生更好地掌握这一数学工具。
1. 完全平方的定义首先，我们来回顾一下完全平方的定义。
所谓完全平方，是指一个数等于某个数的平方，即能找到一个整数使得这个数等于这个整数的平方。
比如，4就是一个完全平方，因为4=2²。
在代数表达中，完全平方有一个明确的表达形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个表达形式就是完全平方公式，也是我们接下来要深入探讨的内容。
2. 完全平方公式的推导完全平方公式的推导是很多学生难以理解的地方，但只要掌握了一些技巧，就能轻松完成。
这里，我们以(a + b)² = a² + 2ab + b²这个完全平方为例进行推导。
首先，我们将(a + b)²展开得到：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)。
接着，我们分别将两部分进行展开计算：a(a + b) = a² + ab，b(a + b) = ab + b²。
最后，将两部分相加得到(a + b)² = a² + 2ab + b²。
通过以上推导过程，我们可以清晰地看到完全平方公式的由来，也更加深入地理解了这一公式的含义及应用。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有许多应用，其中包括解方程、化简表达式、证明等等。
下面，我们以解方程为例，简要说明完全平方公式的应用技巧。
当我们遇到形如 x² + 6x + 9 = 0 的方程时，可以利用完全平方公式求解。
首先，我们发现9可以写成3²，也就是(x + 3)² = 0。
6.6完全平方公式(2)
【规律总结】综合运用公式计算时，一般要同时应用平方 差公式和完全平方公式，有的则需要经过适当变形才能运用公
式计算．
东平县初中数学
Hale Waihona Puke 巩固练习1.（1）(a+b-c)2 2 （2）(x-y+z) (3)(a+b-c)(a-b+c)
东平县初中数学
2.下列计算正确的是( A．(a＋m)2＝a2＋m2 B．(s－t)2＝s2－t2
)
1 C. 2 x 2
2
1 ＝4x2－2x＋4
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2 3．计算：(1)(2a－5b)2＝_______________； (2)(－2a＋3b)2＝________________.
鲁教版六年级数学下册第六章整式的乘除
完全平方公式（2）
东平县初中数学
完全平方公式的数学表达式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍.
东平县初中数学
学习目标：
东平县初中数学
小结：
2= a2 +2ab+b2 (a+b) 1.完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.注意：完全平方公式与平方差公式的不同 3.注意：运用完全平方公式与平方差公式计算
时遇到三项，注意结合.
东平县初中数学
当堂达标
完全平方公式公开课ppt课件
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
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初中数学竞赛：完全平方数和完全平方式
【内容提要】
一、定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数.
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二、整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8
的整数必不是平方数.
2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..
若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三、完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0；
如果 b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.
四、完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b）2 中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.
例如： n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五、完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
① 若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.
2. 在整系数方程x2+px+q=0中
① 若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.
【例题】
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m2+2）.
∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m2+2不能被5整除.
而5（m2+2）能被5整除，
即S能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当010m△＝时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式
△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.
解这个方程， 得 m1=0.5, m2=2.
解不等式 m－1>0 ， 得m>1.
即125.0mmm或
它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得
原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,
(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
000ac
cb
ba
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m2 (m为整数)，
即（－5）2－4k=m2 (m为整数)，
解得，k=4252m.
∵ k是非负整数，
∴ 的倍数是42502522mm
由25－m2≥0， 得 5m， 即－5≤m≤5；
由25－m2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m.
求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.
设3k2－1＝m2 (m是整数).
由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.
当k为偶数，m为奇数时，
左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；
右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k为奇数，m为偶数时，
左边k2除以4余1，3k2除以4余3
右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立.
∴3k2－1不是整数的平方， 16（3k2－1）也不是整数的平方.
∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根
【练习】
1. 如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的
余数是＿＿.
3. 如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
6. m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？
7. m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb是平方数，试求a, b.
12. 已知：n是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值.
14. 已知：a, b是自然数且互质，试求方程x2－abx+21(a+b)=0的自然数解.
15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
【答案】
1. 1，2，5，6，7，0
2. 0，3，3
3. 0
4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）
即个位数为5×8＋5
6. 3，5
7. 12，10，6
8. a=b,a=c且c>b
9. 都不是
10. 1987． ∵2213838BxAx A2－B2＝176＝2×2×2×2×11 BABA……
11. 7744（882）. ∵baaabb011是平方数， a+b是11的倍数
∴可从
9256473829babababab
a
中检验，得出答案.
12 用反证法，设2n－1=A2,A必是奇数， 设A＝2k+1……
13 612ba 612ba
14 31ba x1=1, x2=2