重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)

合集下载

重庆历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列

重庆历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列试题1、14．（4分）（2008重庆）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=﹣8，S 9=﹣9，则S 16= ．2、8．（5分）（2009重庆）已知，其中a ，b ∈R ，则a ﹣b 的值为（）A ．﹣6B ．﹣2C ．2D ．63、14．（5分）（2009重庆）设a 1=2，，b n =，n ∈N +，则数列{b n }的通项公式b n = ． 4、1．（5分）（2010重庆）在等比数列{a n }中，a 2010=8a 2007，则公比q 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5、3．（5分）（2010重庆）=（）A ．﹣1B ．﹣C ．D ．16、3．（3分）（2011重庆）已知，则a=（）A ．1B ．2C ．3D ．6 7、11．（3分）（2011重庆）在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= ． n 24n 5 A ． 7 B ． 15 C ． 20 D ． 25 9、12．（5分）（2012重庆）= ．10、12．（5分）（2013重庆）已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= ．11、2. （5分）（2014重庆）对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) A.139,,a a a 成等比数列 B.236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列1、22．（12分）（2008重庆）设各项均为正数的数列{a n }满足a 1=2，a n =a n+2（n ∈N *）．（Ⅰ）若a 2=，求a 3，a 4，并猜想a 2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记b n =a 1a 2…a n （n ∈N *），若b n ≥2对n≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式． 2、21．（12分）（2009重庆）设m 个不全相等的正数a 1，a 2，…，a m （m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a 1，a 2，…，a 1005是公差为d 的等差数列，而a 1，a 2009，a 2008，…，a 1006是公比为q=d 的等比数列；数列a 1，a 2，…，a m 的前n 项和S n （n≤m）满足：S 3=15，S 2009=S 2007+12a 1，求通项a n （n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n （n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a 1+…+a 6+a 72+…+a m 2＞ma 1a 2a m ．3、21．（12分）（2010重庆）在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=ca n +c n+1（2n+1）（n ∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n }的通项公式；（2）若对一切k ∈N*有a 2k ＞a zk ﹣1，求c 的取值范围4、21．（12分）（2011重庆）设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N *）．（Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤．5、21．（12分）（2012重庆）设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a 2S n +a 1，其中a 2≠0．（Ⅰ）求证：{a n }是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a 2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．6、22.(本小题满分12分) （2014重庆）设*111,()n a a b n +==∈N(1)若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)若1b=-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n ∈N 成立？证明你的结论.7、22．（12分）（2015重庆）在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +λa n+1+μa n 2=0（n ∈N +）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N +，k 0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．答案1、解：S9=（a1+a9）×9=﹣9，又有a1+a9=2a5，可得，a5=﹣1，由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，则S16=（a1+a16）×16=（a5+a12）×16=﹣72．2、解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．3、解：由条件得=且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．4、解：∴q=2故选A5、解：===﹣，故选B．6、解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6 故选：D ．7、解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74，故答案为：748、解：∵等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=5， ∴a 2+a 4=a 1+a 5=6， ∴S 5=（a 1+a 5）=故选B ．9、解：由于 ====，故答案为：．10、解：∵{a n }是等差数列，a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴=a 1•（a 1+4d ），又a 1=1，∴d 2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S 8=8a 1+×d=8+56=64．故答案为：64．11、解:因为在等比数列中23n n n a a a ，，，…也成等比数列，所以369a a a ，，成等比数列，故选D.12、解：在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 4=（a 2+a 6）==2，解得a 6=0．故选：B ．解答题1、解：（Ⅰ）因a 1=2，a 2=2﹣2，故，由此有a 1=2（﹣2）0，a 2=2（﹣2）2，a 3=2（﹣2）2，a 4=2（﹣2）3，、故猜想|a n |的通项为a n =2（﹣2）n ﹣1（n ∈N *）．（Ⅱ）令x n =log 2a n ，S n 表示x n 的前n 项和，则b n =2Sn．由题设知x 1=1且；①．②因②式对n=2成立，有．③下用反证法证明：．由①得．因此数列|x n+1+2x n|是首项为x2+2，公比为的等比数列．故．④又由①知，因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，所以．⑤由④﹣⑤得．⑥对n求和得．⑦由题设知．．即不等式22k+1＜对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．将x2=代入⑦式得S n=2﹣（n∈N*），所以b n==（n∈N*）2、解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m3、解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k+1=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]4、解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为S n+1=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n，由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，∴S n≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k===①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．5、证明：（Ⅰ）∵S n+1=a2S n+a1，①∴S n+2=a2S n+1+a1，②②﹣①可得：a n+2=a2a n+1∵a2≠0，∴∵S n+1=a2S n+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立设n≥3，a 2＞﹣1，且a 2≠0，由（Ⅰ）知a 1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3）即证（n≥2）a 2=1时，等号成立当﹣1＜a 2＜1时，与同为负；当a 2＞1时，与同为正； ∴a 2＞﹣1且a 2≠1时，（）（）＞0，即上面不等式n 分别取1，2，…，n 累加可得∴综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a 2=1．6、解:(Ⅰ)解法一：232,1a a =,再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+,从而(){}21n a -是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n -，即()*1,n a n =∈N .解法二：232,1a a ==,可写为1231,1,1,a a a ==.因此猜想1n a =.下用数学归纳法证明上式：当1n =时结论显然成立.假设n k =时结论成立，即1k a =.则11k a +==11=,这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1,n a n =∈N .(Ⅱ)解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =.下用数学归纳法证明：2211n n a c a +<<<,当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以23114a a <<<，结论成立.假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<,易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=,即2221k c a a +>>>,再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<.故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立.综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =，则()1n n a f a +=,先证：01na 剟()*n ∈N ①,当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a 剟,易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f ==<剟,即101k a +剟这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.再证：221n n a a +<()*n ∈N ②,当1n =时，()()2310,01a f a f ====，有23a a <，即当1n =时结论②成立.假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<,由①及()f x 在(],1-∞上为减函数，得()()2122122k k k k a f a f a a +++=>=,()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=,这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n ∈N 成立.由②得21k a <,即()22222122k k k a a a +<-+,因此214k a <,又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +>,即2122n n a a ++>,所以2111,n a +>-解得2114n a +>.综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n ∈N 成立.7、（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（ n ∈N +）．若存在某个n 0∈N +，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a 1=0，此与a 1=3矛盾，∴对任意n ∈N +，a n ≠0．从而a n+1=2a n （n ∈N +），即{a n }是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n }的递推关系式变为，变形为：（n ∈N ）．由上式及a 1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．11。

2014年高考真题——理科数学(重庆卷)解析版 Word版含答案

2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+【答案】A 【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=9.2A -.0B C.3 D. 152【答案】C 【解析】.∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是。

A ．12s >B.1224abc ≤≤ 35s >C. 710s >D.45s > 【答案】C【解析】.∴10787981091C S 选=•••=6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（）A.34B.35C.49D.3【答案】B 【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.3 【答案】B【解析】解析完成时间2014-6-12qq373780592..120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 222212122333222212122333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：先排歌舞有=+10.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

备战历届高考数学真题汇编专题7_平面向量_理(2007-2012).pptx

。
【答案】 9
8
rr
r2 r2
rr
2a b 3 4a b 9 4agb
【解析】 r 2 r 2 r r
rr
rr rr rr 9
4a b 4 a b 4agb 9 4agb 4agb agb
8
18.【2012 高考江苏 9】（5 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ，BC 2 ，点 E 为 BC 的中
3.【2012 高考真题四川理 7】设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 ra r 成b 立的 |a| |b|
充分条件是（）
A、 a b B、 a // b C、 a 2b D、 a // b 且| a || b |
【答案】C
【解析】A.可以推得 a b 为既不充分也不必要条件；B.可以推得 ra r b
1
邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是。
2
rr 2.(2011 年高考安徽卷理科 13)已知向量 a，b 满足（a+2b）·（a-b）=－6，且 a ， b 2 ，则 a 与 b 的夹角为 .
3. (2011 年高考天津卷理科 14)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, ADC 90o ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| PA 3PB | 的最小值为 .
2
1 (D) |a |2| b |2 (agb)2
2
（2010 重庆理数）(2) 已知向量 a，b 满足a • b 0, a 1, b 2, ，则 2a b A. 0 B. 2 2 C. 4 D. 8
学海无涯解析： 2a b (2a b)2 4a 2 4a b b2 8 2 2
（ 2010 四川理数）（ 5 ）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外

备战历届高考数学真题汇编专题4_数列_理(2007-2012).pptx

5.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B
【解析】在等差数列中，Q
a1
a11
a
4 a
816, s
11(a1
11
a11 ) 2
88 ，答案为
B
6.【2012
高考真题四川理
d
a4
a3 2 .故选 B.
9.【2012 高考真题安徽理 4】公比为 3 2 等比数列{a } 的各项都是正数，且 a a 16 ，则
n
3 11
log 2 a16 =（）
( A) 4 (B) 5 (C) (D)
【答案】B
【解析】 a a 16 a2 16 a 4 a a q9 32 log a 5 ．
学海无涯
a1 a10 7 ；若 a4 2，a7 4 ，解得 a10 8，a1 1，仍有 a1 a10 7 ，综上选
D.
4.【2012 高考真题上海理 18】设 an
1 sin n
n ，S
25
n
a
1a
2
a
，在n S
,S
1,
2, S
100
中，正数的个数是（）
A．25 B．50 C．75 D．100
an1
an bn
a
2 n
b
2 n
，n N *，
（1）设 bn1
1
nb， n N an
*，求证：数列 nb 2是等差数列； an
（2）设 bn1
2•
bn an
， n N *，且{an} 是等比数列，求 a1和 b1的值．

重庆历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数

1 重庆历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数试题

1、4．（5分）（2008重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（） A． B． C． D． 2、6．（5分）（2008重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（） A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数

3、12．（4分）（2008重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，

则= ． 4、13．（4分）（2008重庆）已知（a＞0），则= ． 5、10．（5分）（2009重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（） A．2π B．π C．4π D．﹣π

6、12．（5分）（2009重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a= ．

7、5．（5分）（2010重庆）函数的图象（） A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 8、7．（5分）（2010重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）

A．3 B．4 C． D．

9、15．（5分）（2010重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）= ． 10、5．（3分）（2011重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）

A．（﹣∞，1] B． C． D．（1，2）

11、7．（3分）（2011重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（） A． B．4 C． D．5 2

12、10．（3分）（2011重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（） A．﹣8 B．8 C．12 D．13

高中数学重庆市历年数学高考试题答案

2005年高考理科数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}30|{<<x x 12．1± 13．1 14．－3 15．1284516．②③⑤ 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）.15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ18．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分）.0)12()2(0)()],12()2([)2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x x x 得令解（1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a:),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x --='<=++++><即此时)(x f 有两个极值点.（2）当0)12()2(,4002=++++===∆a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x =于是21)()(x x e x f x-=')(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值.（3）,0)12()2(,40,02>++++<<<∆a x a x a 时即当)(,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为增函数，此时)(x f 无极值. 因此当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x x x 即. 3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CE BCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x .因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内，又已知AE ⊥EB 1故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.2221tan ===AB BE AEG 解法二：（Ⅰ）平面又由得由⊥=⋅⊥AB EB AE EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB ⋅=0..,0)(111111的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB EB EB ⊥=⋅+⋅=⋅+=⋅设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=21BB 1=OB 1=1，因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3π，故△OB 1C 1是正三角形，所以OC 1=OB 1=1，又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3332πππ=-故△OC 1E 是正三角形，所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB 与EB 1的距离是1.111111（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ，故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=2πθ，故.22cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ解法三：（I ）以B 为原点，1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EB EA a E)0,2,23()2,,23(0a a --⋅--= ,432)2(432+-=-+=a a a a .,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量A B 与11的夹角..22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k k k k k k x x k x x k B A B A.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 22．（本小题12分）（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn n n a +++≤ 故n nn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e eb b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C（7）B（8）B（9）D（10）D二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）i 107101+ （12）21（13）6556-（14）321-+n（15）（2，3）（16）a >1三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）a x x x f +++=|23|2sin 212cos 23)(ωω .23)32sin(a x +++=πω 依题意得 .2362πππω=+⋅解得.21=ω （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.23)3sin()(a x x f +++=π又当]65,3[ππ-∈x 时，]67,0[3ππ∈+x 故1)3sin(21≤+≤-πx ，从而]65,3[)(ππ-在x f 上取得最小值.2321a ++-因此，由题设知213 ,32321+==++-a a 故. （18分）（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5. 由等可能性事件的概率公式得.2438032)1(,2433232)0(541555=⋅=====C P P ξξ.2434032)3(,2438032)2(54355325=⋅===⋅==C P C P ξξ.243131)5(,2431032)4(5545====⋅==ξξP C P从而ξ的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为.3524340524315243104243403243802243801243320==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故),31,5(B =ξ即.5,4,3,2,1,0 ,)32()31()(545===-k C k P k k ξ由此计算ξ的分布列如解法一.（Ⅱ）.35315=⨯=ξE解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.即,53=ξE 从而.35=ξE （19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）证：由已知AB DF =//且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF .又P A ⊥底面ABCD , CD ⊥AD , 故由三垂线定理知CD ⊥P D . 在△P DC 中, E 、F分别为P C 、CD 的中点，故EF //P D ，从而CD ⊥EF ，由此得CD ⊥面BEF .（Ⅱ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接 EG ，则在△P AC 中易知EG //P A ，又因 P A ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD . 在底面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ，垂足为H ，连接 EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角.设AB =A ，则在△P AC 中，有ka PA BG 2121== 以下计算GH ，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD ，因DF GB GH BD S GBD ⋅=⋅=∆2121 故.BDDFGB GH ⋅=在△ABD 中，因AB =a ，AD =2a ，得.5a BD =而AB DF a AD FB GB ====,2121，从而得 a aa a BD AB GB GH 555=⋅=⋅=因此.255521tan k a kaGH EG EHG ===由k >0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG >30°，必须,3330tan 25=︒>k解之得，k 的取值范围为.15152>k 解法二：（Ⅰ）如图，以A 为原点, AB 所在直线为x 轴, AD 所在直线为y 轴, A P 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =a ，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为 A （0，0，0），B （a ，0，0），C （2a ，2a ，0）， D （0，2a ，0），F （a ，2a ，0）从而)0,2,0( ),0,0,2(a BF a DC ==，. ,0BF DC BF DC ⊥=⋅故设P A =B ，则P （0，0，b ），而E 为P C 中点，故)2,,(b a a E . 从而).2,,0(ba BE =. ,0BE DC BE DC ⊥=⋅故由此得CD ⊥面BEF .（Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G , 过G 作为GH ⊥BD 垂足为H , 由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角. 由)0,,( ),2,,( ),,0,0(a a G kaa a E ka P AB k PA 得⋅=. 设)0,,(y x H ，则)0,2,(),0,,(a a BD a y a x CH -=--=，由0)(2)(0=-+--=⋅a y a a x a BD GH 得，即a y x -=-2 ① 又因)0,,(y a x BH -=，且BD BH 与的方向相同，故aya a x 2=-，即a y x 22=+ ②由①②解得a y a x 54,53==. 从而a GH a a CH 55||),0 ,51 ,52(=--=..25552||tan k a kaGH EHG ===由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°，得︒>30tan tan EHG ，即.3325>k故k 的取值范围为.15152>k （20）（本小题13分）解：（Ⅰ）求导得22])2([)(c c b x b x x f ++++='因0)2(0)( ),1(422=++++='->c b x b x x f c b 即故方程有两根；2)1(4222)1(4222221--++-=<---+-=c b b x c b b x 令21 ,0)(x x x x x f ><>'或解得；又令21 ,0)(x x x x f <<<'解得，故当)( ,),(1x f x x 时-∞∈是增函数；当)( ,),(2x f x x 时+∞∈是增函数；但当)( ,),(21x f x x x 时∈是减函数.（Ⅱ）易知c b f c f +='=)0( ,)0(，因此 .)0()0()(lim )(lim 00c b f xf x f x c x f n n +='=-=-→→所以，由已知条件得⎩⎨⎧-≤=+),1(4,42c b c b因此.01242≤-+b b解得26≤≤-b .（21）（本小题12分）解：（Ⅰ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈22)())(( ,有，所以 .22)2()22)2((22+-=+-f f f 又由3)2(=f ，得.1)1( ,223)223(22=+--+-f f 即若.)( ,00)00( ,)0(22a a f a a f a f =+-=+-=即即（Ⅱ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈22)())(( ,有，又因为有且只有一个实数,)( ,000x x f x =使得所以对任意,)( ,02x x x x f R x =+-∈有，在上式中令,)( ,002000x x x x f x x =+-=有又因为.10 ,0 ,)(0020000===-=x x x x x x f 或故所以若0)( ,020=+-=x x x f x 则，即.)(2x x x f -=但方程02x x x =-有两个不同实根，与题设条件矛盾，故.00≠x若0x =1, 则有.1)( .1)(22+-==+-x x x f x x x f 即易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为)(1)(2R x x x x f ∈+-=（22）（本小题12分）证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有 1 ,2||||2==+=n n n n n n d C P F P d 故.设21n n b c -=，则右准线方程为.1:nn c x l =因此，由题意d n 应满足.1111+≤≤-nn n c d c即.121 ,10111<≤⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-n n nc c c 解之得即,11212<-≤n b从而对任意.23 ,1≤≥n b n （Ⅱ）设点P n 的坐标为1 ),,(=n n n d y x 则由及椭圆方程易知 ,11-=nn c x).122(1))11(1)(1()1(23222222-++-=---=-=n n n nnn n n n c c c c c c x b y因n n n n n n C F P c C P ∆=故 ,2||的面积为||n n n y c S =，从而)121( 122232<<-++-=n n n n n c c c c S令122)(23-++-=c c c c f ，由0226)(2=++-='c c c f得两根.6131± 从而易知函数)231,21()(+在c f 内是增函数，而在)6131(+内是减函数.现在由题设取n n n n c n n n b c n n b ,211211 ,2322+-=++=-=++=则是增数列，又易知 3254613143c c =<+<=，故由前已证，知S 1<S 2，且)3(1≥>+n S S n n .2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分．（1）A （2）D （3）C （4）B （5）A（6）C（7）B （8）B （9）D （10）C 二、填空题：每小题4分，满分24分．（11）45（12）7（13）[]10-，（14）18（15）25（16）3三、解答题：满分76分．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π．从而4tan tan 53απ==．（18）（本小题13分）解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=．综上知，ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法：解法一：由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯299002718.1811=≈（元）．解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，，则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=．同理得21900090010E ξ=⨯=，319000818.1811E ξ=⨯≈．综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）． 19．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因1111B C A B ⊥，且111B C BB ⊥，故11B C ⊥面11A ABB ，从而111B C B E ⊥，又1B E DE ⊥，故1B E 是异面直线11B C 与DE 的公垂线．设BD 的长度为x ，则四棱椎1C ABDA -的体积1V 为111111()(2)366ABDA V S BC DB A A AB BC x BC ==+=+····．而直三棱柱111ABC A B C -的体积2V 为21112ABC V S AA AB BC AA BC ===△···．由已知条件12:3:5V V =，故13(2)65x +=，解之得85x =．从而1182255B D B B DB =-=-=．在直角三角形11A B D 中，15A D ===，又因11111111122A BD S A D BE A B B D ==△··，故1111129A B B D B E A D ==· （Ⅱ）如答（19）图1，过1B 作11B F C D ⊥，垂足为F ，连接1A F ，因1111A B B C ⊥，111A B B D ⊥，故11A B ⊥面11B DC ．由三垂线定理知11C DA F ⊥，故11A FB ∠为所求二面角的平面角．在直角11C B D △中，1C D ===，ABCDE 1B1C1A答（19）图1F又因11111111122C BD S C D B F B C B D ==△··，故11111B C B D B F C D ==·，所以11111tan A B A FB B F == 解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz -，则(000)B ，，，1(002)B ，，，(010)A ，，，1(012)A ，，，则1(002)AA =，，，(010)AB =-，，．设1(02)C a ，，，则11(00)B C a =，，，又设00(0)E y z ，，，则100(02)B E y z =-，，，从而1110BC B E =，即111B E BC ⊥．又11B E DA ⊥，所以1B E 是异面直线11B C 与DE 的公垂线．下面求点D 的坐标．设(00)D z ，，，则(00)BD z ，，．因四棱锥1C ABDA -的体积1V 为11111()36ABDA V S BC BD AA AB BC ==+1(2)16z BC =+．而直三棱柱111ABC A B C -的体积2V 为21112ABC V S AA AB BC AA BC ===△．由已知条件12:3:5V V =，故13(2)65z +=，解得85z =，即8005D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．从而12005DB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，12015DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，00805DE y z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．接下来再求点E 的坐标．由11B E DA ⊥，有110B E DA =，即002(2)05y z +-= （1）又由1DA DE ∥得0085215z y -=．（2）联立（1），（2），解得0429y =，04829z =，即44802929E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，得141002929B E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．答（19）图2故129BE ⎛==（Ⅱ）由已知BC =12)C ，，从而12(2)5DC =，，过1B 作11B F C D ⊥，垂足为F ，连接1A F ，设11(0)F x z ，，，则111(02)B F x z =-，，，因为110B F DC =，故1124055z +-=……………………………………① 因11805DF x z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且1DF DC ∥得18525z -=，即11205x =……………………………………②联立①②解得1x =，14427z =，即4427F ⎫⎪⎭，．则110127A F ⎫=--⎪⎭，，11027B F ⎫=-⎪⎭，．12||27B F ⎛== ⎝⎭．又11210222(1)0027275A F DC =+--=，故11A F DC ⊥，因此11A FB ∠为所求二面角的平面角．又11(010)A B =-，，，从而1110A B B F =，故11A B ⊥1B F ，11A B F △为直角三角形，所以11111||3tan 2||A B A FB B F ==．（20）（本小题13分）解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=++ 3(4ln 4)x a x a b =++．由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（II ）由（I ）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤．所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，．（21）（本小题12分）（I ）解由11111(1)(2)6a S a a ==++，解得11a =或12a =，由假设111a S =>，因此12a =，又由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++，得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，即130n n a a +--=或1n n a a +=-，因0n a >，故1n n a a +=-不成立，舍去．因此13n n a a +-=，从而{}n a 是公差为3，首项为2的等差数列，故{}n a 的通项为31n a n =-．（II ）证法一：由(21)1nb n a -=可解得22213log 1log 31n nb a n ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭；从而122363log 2531n n n T b b b n ⎛⎫=+++=⎪-⎝⎭．因此322363231log (3)log 253132n n n T a n n ⎛⎫+-+=⎪-+⎝⎭．令33632()253132n f n n n ⎛⎫=⎪-+⎝⎭，则322(1)3233(33)()3532(35)(32)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫== ⎪++++⎝⎭．因32(33)(35)(32)970n n n n +-++=+>，故(1)()f n f n +>．特别地27()(1)120f n f =>≥，从而2231log (3)log ()0n n T a f n +-+=>．即231log (3)n n T a +>+．证法二：同证法一求得n b 及n T ，由二项式定理知，当0c >时，不等式3(1)13c c +>+成立．由此不等式有333211131log 21112531n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2333log 21112531n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225832log 2log (32)log (3)2531n n n a n +==+=+-····．证法三：同证法一求得n b 及n T ．令36347312531363n n n n A B n n +==-，······，58324731n n C n +=+···．因3313231331n n n n n n ++>>-+．因此23+22n n n n n A A B C >=．从而332236331log 2log 22531n n n T A n ⎛⎫+==⎪-⎝⎭222log 2log (32)log (3)n n n n A B C n a >=+=+．证法四：同证法一求得n b 及n T ．下面用数学归纳法证明：231log (3)n n T a +>+．当1n =时，122731log 4T +=，212log (3)log 5a +=，因此12131log (3)T a +>+，结论成立．假设结论当n k =时成立，即231log (3)k k T a +>+．则当1n k =+时，12112131log (3)313log (3)k k k k k T a T b a +++++-+=++-+2211log (3)log (3)3k k k a a b ++>+-++322(33)log (35)(32)k k k +=++ 因32(33)(35)(32)970k k k k +-++=+>．故322(33)log 0(35)(32)k k k +>++．从而12131log (3)k k T a +++>+．这就是说，当1n k =+时结论也成立．综上231log (3)n n T a +>+对任何n ∈+N 成立．（22）（本小题12分）解：（I ）设椭圆方程为22221x y a b+=．因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =．又右准线l 的方程为2a x c =，从而由已知221236a a c==，，因此6a =，b ==．故所求椭圆方程为2213627x y +=．（II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3），不失一般性，假设1203απ<≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+．又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12c e a ==，从而有2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，．解得1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(123)i =，，．因此答（22）图11112311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111cos cos sin cos sin 02222ααααα=---+=，故12311123FP FP FP ++=为定值．2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）A解析：本题考查复数的概念与运算。

2024年重庆市高考数学真题及参考答案

2024年重庆市高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题11_排列组合_二项式定理_理(2007-2012)

【2012 年高考试题】81. 【 2012 高考真题重庆理4】x1的展开式中常数项为2 xA. 35B. 35C. 35D.10516 8 42. 【 2012 高考真题浙江理6】若从 1,2,3 ，⋯， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60 种B.63 种C.65 种D.66 种3.【 2012 高考真题新课标理 2】将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）( A) 12 种( B) 10 种(C ) 种( D ) 种【答案】 A【解析】先安排老师有A222 种方法，在安排学生有C426 ，所以共有12 种安排方案，选A.4. 【 2012 高考真题四川理1】 (1 x)7的展开式中x2的系数是（）A、 42 B 、 35 C、 28 D 、 21 【答案】 D【解析】由二项式定理得T3C72g15gx221x2，所以 x2的系数为 21，选 D.第 - 1 - 页共 20 页5. 【 2012 高考真题四川理11】方程 ay b 2 x 2c 中的 a,b,c { 3, 2,0,1,2,3 } ，且 a,b,c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A 、 60 条B、62 条C、 71 条D、80 条6. 【 2012 高考真题陕西理 8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（） A. 10 种B.15种C. 20种D. 30种7. 【 2012 高考真题山东理11】现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张 . 从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张 . 不同取法的种数为（ A ） 232(B)252(C)472 (D)484【答案】 C【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有 C 41 C 14 C 14 64种，若 2 色相同，则有 C 32C 21C 42C 41144 ；若红色卡片有1 张，则剩余2 张若不同色，有 C 41 C 32 C 41 C 41 192 种，如同色则有 C 41C 32C 42 72 ，所以共有64 144 192 72 472 ，故选C 。

.高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2004年全国同一测验理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 测验时光120分钟.第I 卷参考公式：假如事宜A.B 互斥,那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）假如事宜A.B 互相自力,那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）假如事宜A 在一次实验中产生的概率是P,那么 n 次自力反复实验中正好产生k 次的概率 P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是相符标题请求的. 1．已知聚集=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x（）A ．21B ．1C ．52D ．413．设复数ωω++-=1,2321则i =（）球的概况积公式S=42R π个中R 暗示球的半径, 球的体积公式V=334R π,个中R 暗示球的半径A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为（） A ．1)1(22=++y x B ．122=+y xC ．1)1(22=++y x D ．1)1(22=-+y x 5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,则ϕ可所以（） A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π6．函数xe y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称 B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1,A.B.C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31B ．33 C ．32 D ．368．在坐标平面内,与点A （1,2）距离为1,且与点B （3,1）距离为2的直线共有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．已知平面上直线l 的偏向向量e =),53,54(-点O （0,0）和A （1,－2）在l 上的射影分离是O ′和A ′,则λ=''A O e ,个中λ= （）A ．511B ．511-C ．2D ．－210．函数x x x y sin cos -=鄙人面哪个区间内是增函数（）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππD ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π12．在由数字1,2,3,4,5构成的所有没有反复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有（） A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3ξ个红球,14．设y x ,知足束缚前提：则y x z 23+=的最大值是.15．设中间在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的核心,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是. 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①如有两个正面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱③若四个正面两分身等,则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱个中,真命题的编号是（写出所有准确结论的编号）.三.解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字解释,证实进程或演算步调.17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC中,.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =; （Ⅱ）设AB=3,求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队,以抽签方法将这8支球队分为A.B 两组,每组4支.求：（Ⅰ）A.B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ,已知).3,2,1(2,111 =+==+n S n n a a n n 证实：（Ⅰ）数列}{n S n是等比数列;（Ⅱ）.41n n a S =+20．（本小题满分12分）如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,正面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D,B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM;（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的核心,过点F 的直线l 与C 订交于A.B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1,求OA 与OB 的夹角的大小;（Ⅱ）设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变更规模.22．（本小题满分14分）已知函数f(x )=ln(1+x )－x ,g(x )=x ln x . （Ⅰ）求函数f(x)的最大值;（Ⅱ）设0<a <b,证实0<g(a )+g(b)-2g(2b a +)<(b-a)ln2.2004年通俗高级黉舍招生全国同一测验数学参考答案（理）（选修Ⅱ）13．0.1,, 14．5 15．1222=+y x 16．②④17．本小题重要考核等差.等比数列的概念和性质,考核运算才能,满分12分.本小题重要考核三角函数概念,两角和.差的三角函数值以及应用.剖析和盘算才能, 满分12分.（Ⅰ）证实：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 所以.tan 2tan B A = （Ⅱ）解：ππ<+<B A 2,,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A即43tan tan 1tan tan -=-+BA B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整顿得解得262tan ±=B ,舍去负值得262tan +=B ,.62tan 2tan +==∴B A 设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CDB CD A CD由AB=3,得CD=2+6. 所以AB 边上的高级于2+6.18．本小题重要考核组合.概率等根本概念,互相自力事宜和互斥事宜等概率的盘算,应用数学常识解决问题的才能,满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148154815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 解法二：A.B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1,因为对A 组和B 组来说,至少有两支弱队的概率是雷同的,所以A组中至少有两支弱队的概率为.2119．本小题重要考核数列.等比数列的概念和性质,剖析和推理才能,满分12分.证实：（Ⅰ）∵,2,111n n n n n S n n a S S a +=-=+++∴),()2(1n n n S S n S n -=++ 整顿得 ,)1(21n n S n nS +=+所以 .211n S n S n n =++ 故}{n Sn 是以2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知).2(14111≥-⋅=+-+n n Sn S n n 于是).2(41)1(411≥=-⋅+=-+n a n S n S n n n又 ,3312==S a 故 ,4212=+=a a S是以对于随意率性正整数 ,1≥n 都有.41n n a S =+20．本小题重要考核线面关系和直棱柱等基本常识,同时考核空间想象才能和推理运算才能. 满分12分.解法一：（Ⅰ）如图,贯穿连接CA 1.AC 1.CM,则CA 1=.2 ∵CB=CA 1=2,∴△CBA 1为等腰三角形, 又知D 为其底边A 1B 的中点,∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1,C 1B 1=2,∴A 1B 1=3又BB 1=1,A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形,D 为A 1B 的中点,∴CD=21A 1B=1,CD=CC 1,又DM=21AC 1=22,DM=C 1M.∴△CDM ≌△CC 1M,∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM.因为A 1B.DM 为平在BDM 内两条订交直线,所以CD ⊥平面BDM.（Ⅱ）设F.G 分离为BC.BD 的中点,贯穿连接B 1G.FG.B 1F,则FG//CD,FG=21CD.∴FG=21,FG ⊥BD.由正面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1,所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD,B 1G=.23∴∠B 1GF是所求二面角的平面角,又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23,∴.332123223)21()23(2cos 221212211-=⋅⋅-+=⋅-+=∠FGC B FB FG G B GF B即所求二面角的大小为.33arccos-π解法二：如图,以C 为原点树立坐标系.（Ⅰ）B （2,0,0）,B 1（2,1,0）,A 1（0,1,1）, D （)21,21,22,M （22,1,0）,则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B.DM 为平面BDM 内两条订交直线,所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G,贯穿连接B 1G,则 G （41,41,423）,22(-=BD .21.21）,),41,4342(1--=G B所以所求的二面角等于.33arccos-π21．本小题重要考核抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的根本办法.思惟和分解解题才能.满分12分.解：（Ⅰ）C 的核心为F （1,0）,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=,并整顿得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x 所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos-π（Ⅱ）由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-==.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=, ∵,4,4222121x y x y ==∴.122x x λ=③ 联立①.③解得λ=2x ,依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1,0）,得直线l 方程为当]9,4[∈λ时,l 在方程y轴上的截距为,1212---λλλλ或由 ,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4,9]上是递减的, ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y轴上截距的变更规模为].34,43[]43,34[⋃-- 22．本小题重要考核导数的基赋性质和应用.对数函数性质和平均值不等式等常识以及分解推理论证的才能,满分14分. （Ⅰ）解：函数)(x f 的界说域为),1(+∞-..111)(-+='x x f 令 .0,0)(=='x x f 解得当,0)(,01>'<<-x f x 时当.0)(,0<'>x f x 时又,0)0(=f 故当且仅当x =0时,)(x f 取得最大值,最大值为0. （Ⅱ）证法一：2ln )(ln ln )2(2)()(ba b a b b a a b a g b g a g ++-+=+-+由（Ⅰ）结论知),0,1(0)1ln(≠-><-+x x x x 且由题设 ,021,02,0<-<->-<<b ba a ab b a 得是以,2)21ln(2lna ab a a b b a b -->-+-=+① ②所以.0222ln 2ln =---->+++b a a b b a b b b a a a 又.2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln ,22a b b a b a b b a b b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<++++<+ 综上 .2ln )()2(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<证法二：.1ln )(,ln )(+='=x x g x x x g 设),2(2)()()(x a g x g a g x F +-+=则 .2ln ln ])2([2)()(x a x x a g x g x F +-='+-'='当,0)(,0<'<<x F a x 时在此),0()(a x F 在内为减函数.当),()(,0)(,+∞>'>a x F x F a x 在因此时上为增函数.从而,当)(,x F a x 时=有微小值).(a F是以 ,0)(,,0)(>>=b F a b a F 所以即).2(2)()(0b a g b g a g +-+< 设 ,2ln )()()(a x x F x G --= 则 ).ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='当.0)(,0<'>x C x 时是以),0()(+∞在x G 上为减函数.因为 ,0)(,,0)(<>=b G a b a G 所以即 .2ln )()2(2)()(a b b a g b g a g -<+-+。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

重庆历年高考真题及详解（2004-2012）第1页共109页 2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

率knkknnPPCkP)1()( 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数12log(32)yx的定义域是：（）

A．[1,) B．23(,) C．23[,1] D．23(,1] 2．设复数zziz2,212则, 则22ZZ （） A．–3 B．3 C．－3i D．3i 3．圆222430xyxy的圆心到直线1xy的距离为（）

A．2 B．22 C．1 D．2 4．不等式221xx的解集是（） A．(1,0)(1,) B．(,1)(0,1) C．(1,0)(0,1) D．(,1)(1,) 5．sin163sin223sin253sin313 （） A．12 B．12 C．32 D．32 6．若向量a与b的夹角为60，||4,(2).(3)72babab,则向量a的模为（） A．2 B．4 C．6 D．12 7．一元二次方程2210,(0)axxa有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（） A．0a B．0a C．1a D．1a 8．设P是60的二面角l内一点，,PAPB平面平面,A,B为垂足，4,2,PAPB则AB的长为（）

A．23 B．25 C．27 D．42 9．若{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是：（）重庆历年高考真题及详解（2004-2012）第2页共109页 A B C A B C A B C A

B C

P P

A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为：（） A．43 B．53 C．2 D．73 11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）

A．110 B．120 C．140 D．1120 12．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）

（A）（B）（C）（D）第Ⅱ部分（非选择题共90分）题号二三总分 17 18 19 20 21 22

分数

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax的展开式中3x的系数为80，则_______a. 14．曲线23112224yxyx与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答）重庆历年高考真题及详解（2004-2012）第3页共109页 15．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为nS，则lim______nxS.

16．对任意实数K，直线：ykxb与椭圆：)20(sin41cos23yx恒有公共点，则b取值范围是______________ 三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值；并写出该函数在 [0,]上的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，

P1 P2

P4 重庆历年高考真题及详解（2004-2012）

第4页共109页 表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，,,//,PAABCDAEPDEFCDAMEF底面（1）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若3PAAB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）设函数()(1)(),(1)fxxxxaa

（1）求导数/()fx; 并证明()fx有两个不同的极值点12,xx; （2）若不等式12()()0fxfx成立，求a的取值范围. 重庆历年高考真题及详解（2004-2012）

第5页共109页 B A O

X y2=2px

Q(2p,0)

21．（本小题满分12分）设0p是一常数，过点(2,0)Qp的直线与抛物线22ypx交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

22．（本小题满分14分）设数列na满足1112,,(1,2,3.......)nnnaaana

（1）证明21nan对一切正整数n 成立；（2）令,(1,2,3......)nnabnn,判断1nnbb与的大小，并说明理由。重庆历年高考真题及详解（2004-2012）

第6页共109页参考答案一、选择题：每小题5分，共60分. 1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D

二、填空题：每小题4分，共16分. 13．－2 14．4 15．3 16．[－1，3] 三、解答题：共74分. 17．（本小题12分）

解：xxxxy44coscossin32sin

)62sin(22cos2sin32sin3)cos)(sincos(sin2222xxxxxxxx 故该函数的最小正周期是；最小值是－2；单增区间是[31,0]，],65[ 18．（本小题12分）解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4 用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=4321,,,),4,3,2,1(43AAAAk且独立.

故,41)()0(1APP

25681)43()()4(,2562741)43()()3(,64941)43()()2(1634143)()1(4432134321232121AAAAPPAAAAPPAAAPPAAPP 从而有分布列：  0 1 2 3 4 P 41 163 649 25627 25681 重庆历年高考真题及详解（2004-2012）第7页共109页 25652525681425627364921631410E

（II）256175256811)4(1)3(PP 答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175. 19．（本小题12分）（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF. 又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线. （II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上. 易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，因此OH⊥面MAE. 连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角

设AB=a，则PA=3a， aACAO2221. 因Rt△ADE~Rt△PDA，故

中从而在AHORtaEDOHaaaaPDADED.1022

,10)3(22

.10520122102sinaaAOOHHAO 20．（本小题12分）解：（I）.)1(23)(2axaxxf