2020届山东省济宁市2017级高三6月高考模拟考试数学试卷及答案
2020届山东省菏泽一中2017级高三下学期线上模拟考试数学试卷及解析
2020届山东省菏泽一中2017级高三下学期线上模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1),则12z z =（ ） A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】D【解析】由已知条件可得12,z z ,然后代入12z z ,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】∵复数12,z z 在复平面内对应的点分别为（1,1）,（0,1）,∴1z ＝1+i ,2z ＝i ． ∴12z z ()2111i i i i i i -++===--． 故选D ．2.已知集合(1,3]A =-,201x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,则A B =（ ） A. [2,1)-B. (]1,1-C. (1,1)-D. [2,3]-【答案】C【解析】对集合B 进行化简,然后根据集合的交集运算,得到答案. 【详解】201x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,解201x x +≤-,得21x ,所以[)2,1B =-因为(]1,3A =-,所以()1,1A B ⋂=-,故选：C.3.在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 的项的系数是（ ）． A. 10-B. 5-C. 10D. 5【答案】C【解析】 利用二项展开式的通项公式求出第r +1项,令x 的指数为4求得． 【详解】解：对于251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-, 对于10﹣3r ＝4,∴r ＝2,则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项,也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游）,春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有4名顾客都领取一件礼品,则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A. 59 B. 49 C. 716 D. 916【答案】B。
2020届山东省德州市高三第二次(6月)模拟考试数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三第二次（6月）模拟考试数学试题一、单选题1．若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合()()U U C M C N È等于（ ） A ．{5,6} B ．{1,5,6}C ．{2,5,6}D ．{1256}，，， 【答案】D【解析】根据补集、并集的定义计算即可； 【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =U 故选：D 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x y <，则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，必有x y <”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，实数,x y 满足1,0x y >>，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件， 反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件，故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题. 3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ）A ．BC ．D ．3【答案】A【解析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4．设()1,3a =-r ，()1,1b =r ，c a kb =+r r r ，若b c ⊥r r ，则a r 与c r的夹角余弦值为（ ）A B C ．3D 【答案】B【解析】根据()1,3a =-r ，()1,1b =r ，表示c r的坐标，再由b c ⊥r r 建立方程求得k ，得到c r的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-r ，()1,1b =r， 所以()1,3c a kb k k =+=-++r r r，因为b c ⊥r r ，所以()()11310k k -+⨯++⨯=， 解得1k =-，所以()2,2c =-r，因为8,a c a c ⋅===r r r r所以cos ,a c a c a c ⋅===⋅r rr r r r ，所以a r 与c r. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，则的值等于（ ）A ．95B ．75C ．65D ．3【答案】A【解析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则==189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.6．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.100.05 0.01 0.0050k2.7063.841 6.635 7.879A ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B【解析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可. 【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为7002001401000⨯=,女生有300200601000⨯=.列出22⨯列联表有：故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选：B 【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7．25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，则该展开式中含9x 项的系数是（ ） A ．15- B ．5- C ．5 D ．15【答案】B【解析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，令1x =，可得25(11)32a --=-，解得2a =，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.【详解】Q 25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =，可得25(11)32a --= 故：5()32a -=- 解得：2a =故：()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为：()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为：()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=，可得1i r += 又Q 05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩，由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩，由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】C【解析】构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可.【详解】 构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数.又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C 【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多选题9．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【解析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值. 【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10．直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ） A ．6 B ．8C ．12D ．16【答案】BC【解析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可. 【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为()()2230135--+--=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为22265211-=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故211,12AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC 【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11．CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）A ．2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B ．2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C ．2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D ．2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳 【答案】BD【解析】根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知：2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小， 其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%，2020年1月同比涨幅最大为5.4%，故A 错误，B 正确； 根据环比折线图可知：2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨，故C 错误；2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题. 12．抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD【解析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断． 【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x y x y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=， 所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-， 即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-， 由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．三、填空题13．已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】设所求双曲线方程为22126x y k -=，代入所过点的坐标，可求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b -=． 14．已知) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, xf x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______. 【答案】2y ex e =-【解析】利用奇函数的性质，求出0x >时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程． 【详解】Q ) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >，30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=-可得：3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-，可得1(1)2=f e e e =--故：2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是：()1y e e x +=-整理可得：2y ex e =- 故答案为：2y ex e =- 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，123,2,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OB C V 中作11OM B C ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===因为1O 为三角形1AB E 的中心， 所以11122432333B O B B ==⨯=在11Rt B OO V 中，22111165333R OO B O =+=+=,所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、双空题16．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ=______，若函数()f x 在[],a a -是减函数，则a 的最大值是______. 【答案】6π 12π 【解析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，结合诱导公式可求得ϕ的值，求得函数()y f x =的单调递减区间，由0x =属于该区间求得k 的值，再由区间的包含关系可求得a 的最大值. 【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象， 则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤，6πϕ∴=，令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，可得0k =， 由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减，则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以，12512aaa aππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得012aπ<≤，则a的最大值为12π.故答案为：6π；12π.【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知D是ABC∆边AC上的一点,ABD∆面积是BCD∆面积的3倍，22.ABD CBDθ∠=∠=（1）若∠ABC=2π，求sinsinAC的值；（2）若BC=2，AB=3，求边AC的长.【答案】（1）3（2）17【解析】（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可；（2）由题设条件结合三角形面积公式得出2cosθ=，进而得出334ABCπθ∠==，最后由余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为2ABCπ∠=，22ABD CBDθ∠=∠=，所以6πθ=.所以11sin3sin2326AB BD BC BDππ⋅=⨯⋅，所以sin3sin3BC AAB C==；（2）因为11sin23sin 22AB BD BC BDθθ⋅=⨯⋅，即2cos3AB BCθ=所以2cos2θ=,所以4πθ=，334ABCπθ∠==2292232172AC⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭，所以17AC=.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.18．给出以下三个条件:①数列{}n a是首项为2，满足142n nS S+=+的数列；②数列{}n a是首项为2，满足2132nnSλ+=+（λ∈R）的数列；③数列{}n a是首项为2，满足132n nS a+=-的数列..请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设数列{}n a的前n项和为n S，n a与n S满足______，记数列21222log log logn nb a a a=+++L，21++=nn nn ncb b，求数列{n c}的前n项和n T；（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】见解析【解析】先根据所填条件求出数列{}n a的通项公式，再依次求{}n b，{}n c的通项公式，由111(1)1ncn n n n==-++，用裂项相消求数列{nc}的前n项和nT即可.【详解】选①，由已知142n nS S+=+（1），当2n≥时，142n nS S-=+（2），（1）-（2）得：()1144n n n n a S S a +-=-=，即14n n a a +=， 当1n =时，2142S S =+，由12a =，所以22422a +=⨯+， 所以28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=L 213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=，2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++，所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②，由已知2132n n S λ+=+（1），当2n ≥时，21132n n S λ--=+（2），（1）-（2）得，21212132232n n n n a +--=-=⋅，即212n n a -=，当1n =时，12a =满足212n na -=，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①；选③，由已知132n n S a +=-（1）， 则2n ≥时，132n n S a -=-（2），（1）-（2）得13n n n a a a +=-，即14n n a a +=，当1n =时，1232a a =-，而12a =，得28a =，满足214a a =， 故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n 项和.19．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.（1）求证：//DA 平面EBC ； （2）若3BAC π∠=，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）15【解析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，推导出EH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ，再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ； （2）推导出四边形DAHE 为矩形，然后以点H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值. 【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ，因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE I 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ， 所以EH ⊥平面ABC ，又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ； （2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2DEB DEC π∠=∠=，由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =， 所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥， 所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AHEH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a .设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，又(),3,0AB a a =-u u u r ，()0,0,2AD a =u u u r .由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，得)3,1,0m =u r .设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，因为()3,2BD a a a =-u u u r ，(),0,2BE a a =-u u u r .由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2222232020ax ay az ax az ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =r ；设二面角A BD E --的平面角为θ，则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅u r r u r r u r r ，由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --的余弦值为15. 【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ 为正方形，△PF 1F 2的周长为)221.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16，证明：直线恒过定点. 【答案】（1）2212x y +=（2）见解析【解析】（1）根据四边形MNPQ 为正方形，可得到关于,a b 的一个方程，由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b 的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C的方程.（2）对直线l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论. 【详解】 解：（1）如图所示，设点()00,N x y ，由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ， 因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以2220043x x b +=， 即22023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，所以2200221x x a b+=，即2222133b a +=，所以2212b a =①，又△PF 1F 2的周长为()221， 即)22221a c +=②，由①②解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上，所以2212A y m +=，即2212A y m =-， 所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得()222124220kxkbx b +++-=，所以122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+，则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，将122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得：121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-，解得，2b =-， 所以直线l 恒过定点()0,2-. 【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题. 21．已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ （1）若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-，求a ； （2）若a e ≥，且x 1，x 2是()f x 的两个极值点，证明：()()()221212122f x f x x x e +<+-（其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈L L ）【答案】（1）1a =-（2）见解析【解析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调性，再由最值，解出a 的值；（2）由题意结合韦达定理得出122x x a +=，122x x a =，2221244x x a a +=-，将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++，构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，利用导数得出其最大值，进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解：（1）()f x 定义域是()0,+?，222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+，对称轴00x a =<因为1a >，()110g =>，所以当[]1,x e ∈时，()0g x >，即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.（2）由()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()'0f x =在()0,+?有2个不等的实根即2220x ax a -+=在()0,+?有2个不等的实根，则24800a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得2a >.122x x a +=，122x x a =，()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时，()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=，当a e ≥时，()'0h a <，所以()h a 在[),e +∞单调递减.所以()()h a h e ≤ 即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-<所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.22．新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：$ˆ bty a =+$，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yb ay bx x nx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）ˆ0.320.08y t =+，20000人.（2）（i ）11万元，6.8（ii ）13.6万元【解析】（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将6t =代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）（i ）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；（ii ）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价. 【详解】解：（1）根据题意，得：3t =， 1.04y =52155i i t ==∑Q ，5118.8i i i t y ==∑$5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt=-=-⨯=$ 从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时，2y =.所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人. （2）（i ）根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）. 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=. （ii ）竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元. 【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届山东省烟台市2017级高三一模考试数学试卷参考答案
AS = (0,0,5), AB = (3 3,−3,0), AC = (3 3,0,0), AM = (0, 3 , 5) 22
M
设 n1 = (x1, y1, z1 ) 为平面 SAB 的一个法向量，则
n1
AB
=
பைடு நூலகம்
0
，即
n1 AS = 0
3x1 − y1 z1 = 0
=
0
，取
n1
=
(1,
3,0) .
2ac
3
2ac 3
由条件②得 1+ 2 cos2 A −1 = 1− cos A ，即 2 cos2 A + cos A −1 = 0 ， …………2 分
解得 cos A = 1 或 cos A = −1（舍），因为 A (0, ) ，所以 A = . ……………3 分
2
3
因为 cos B = − 3 − 1 = cos 2 ， B (0, ) ，
…………………………………9 分
所以数列bn 的前 n
项和 Tn
=
3 − (2n
+ 3)(1)n 2
+
n(n +1)
.
…………………10 分
高三数学答案（第 1 页，共 6 页）
18. 解：（1）由条件①得 cos B = a2 + c2 − b2 = − 2 3 ac 1 = − 3 ， ………1 分
2
2
=
1
+
2
1 4
[1 −
( 1 )n−1] 2
−
(2n
−1)
( 1 )n+1
2
1− 1
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2022届山东省济宁市高三下学期高考模拟考试(三模)数学试题
2022年济宁市高考模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.一、单项选择题1.已知集合{}22A x x =-≤>，{}ln 0B x x =≥，则A B =（ ）A.[)2,2-B.()0,1C.[)1,2D.[]1,22.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i -=，则z 的虚部为（ ） A.1B.1-C.12-D.123.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ）C.24.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ） A.240 B.480C.1440D.28805.已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A.3- B.3C.4-D.46.已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.8 B.8-C.78D.78-7.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ） A.2:1B.3:2C.7:3D.7:48.若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（ ）A.()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭B.()()323log 12log 62f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭C.()()233log 6log 122f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭D.()()323log 12log 62f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭二、多项选择题9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n .按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）A.样本容量100n =B.图中0.030x =C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D.该市要对成绩由高到低前20%的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B.1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴 C.若()()122f x f x -=，则21x x -的最小值为2π D.直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点11.已知直线y b =+与圆2216x y +=交于,A B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），则实数b 的取值可以是（ ） A.5 B.6C.7D.812.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.{}2n S 是等差数列B.1n n a a +<C.1n S ≤D.满足3n T ≥的n 的最小正整数解为0三、解答题13.设随机变量()2~,X Nμσ，若()()02P X P X <=>，则()1P X ≤=________.14.已知函数()()2,05,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =________.15.在边长为4的等边ABC △中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.16.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________. 四、解答题17.已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在锐角ABC △中，若()2f A =，AC =BC =，求ABC △的面积. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =； （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和. 19.如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =30BAD ∠=︒，以对角线BD为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P的位置，且PC =（1）求证：PD BC ⊥；（2）若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45︒，求三棱锥E BCD -的体积.20.某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响.（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆E 的右焦点，点Q 在椭圆E 上，且QF 的最大值为3，椭圆E 的离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点A 的直线与椭圆E 交于另一点P （异于点B ），与直线2x =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线2x =交于点N ，求证：点N 是线段BM 的中点.22.已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .（1）当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--； （2）若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.。
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题 Word版含解析
数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ）A. {}1x x >-B. {}02x x ≤<C. {}02x x <<D.{}12x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{{}|1N x y x x ===≥，{}12M x x =-<<所以[)1,2M N =故选：D【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题. 2.函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A.1,0 B. 0,1 C. 1,2D. ()2,3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3.已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e+≥，则p ⌝为（ ） A. x ∃∈R ，12xx e e +≥ B. x ∃∈R ，12xx e e +< C. x ∃∈R ，12xx e e+≤D. x ∀∈R ，12xx e e+≤【答案】B 【解析】 【分析】全称命题:x A ∀∈，()P x 的否定，是特称命题:x A ∃∈，()P x ⌝，结合已知中原命题x ∀∈R ，12x xe e +≥，可得到答案． 【详解】 原命题x R ∀∈，12xx e e +≥ ，∴ 命题x ∀∈R ，12xxe e+≥的否定是:x ∃∈R ，12x xe e +<． 故选:B ．【点睛】本题考查了命题的否定. x A ∀∈，()P x 的否定为x A ∃∈，()P x ⌝；x A ∃∈，()P x 的否定是x A ∀∈，()P x ⌝.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.4.如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为（ ）A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π【解析】 【分析】根据图形可以得出22h r ==，代入圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，可得22h r ==，解得1r =，所以圆柱12O O 的表面积为222266S r r h r ππππ=⨯+⨯==. 故选：C.【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，意在考查空间想象能力，以及运算与求解能力.5.“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑.国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015－2019年GDP 数据： 年份20152016201720182019国内生产总值/万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09根据表中数据，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为（ ） A. 5.03万亿 B. 6.04万亿C. 7.55万亿D. 10.07万亿 【答案】C【分析】依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解.【详解】由题意得，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为：(74.6468.98)(83.2074.64)(91.9383.20)(99.0991.93)51-+-+-+--=(99.0968.98)4-=7.55万亿. 故选C .【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.6.已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ）A. 双曲线C 的实轴长为8B. 双曲线C 的渐近线方程为34yx C. 双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D. 双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程221169x y -=求出,,a b c ，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离. 【详解】解：由双曲线C的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==4,3,5a b c ∴====.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离3d ==，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题. 7.已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A.14B.516C. 38D.12【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.则每次都有加1或者减1两种选择，共有6264=种可能； 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：3620C =种可能.故满足题意的概率2056416P ==. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.8.在ABC 中，cos cos A B +=AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为（ ）A. 3B. 2C.13D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先令sin sin =+t A B ，由cos cos A B +=，平方化简可得当A B =时，t 有最大值，再由此求出ABC 所有边角，再设内切圆半径为r ，根据等面积法，求出r .【详解】令sin sin =+t A B ，0t >，cos cos A B +=，平方相加得232cos cos sin sin t A B A B +=++，得2cos()1t A B =--，显然，当A B =时，t 有最大值，则cos A =(0,)A π∈，得6A B π==，则23C π=，设D 为AB 的中点，如图所示：则1CD =，2AC BC ==，设内切圆的半径为r ，则11231(2223)22ABCSr =⨯=++，解得r =233. 故选：A【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A. 复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B. z 可能为实数C. 2cos z θ=D.1z的实部为12【答案】BCD 【解析】 【分析】 由ππ22θ-<<，得π2πθ-<<，得01+cos22θ<≤，可判断A 选项；当虚部sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈- ⎪⎝⎭，时，可判断B 选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项；由复数的除法运算得11cos 2sin 222cos 2i z θθθ+-=+1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项； 【详解】因为ππ22θ-<<，所以π2πθ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01+cos22θ<≤，所以A 选项错误；当sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，复数z 是实数，故B 选项正确； ()()221+cos 2sin 22+2cos 22cos z θθθθ=+==，故C 选项正确；()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 222cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 选项正确； 故选：BCD.【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（ ）A.16B.12C. 1D.32【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ；第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ；然后利用三角形全等即可求解.【详解】第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，FAG FEA α∠=∠=，FAD BCE ∆≅∆，所以，AF EF CE ==,G 为AE 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GE x EB ==，所以，可得，23AG =，1GF AD ==，3tan 2AD AG α∴== 第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，EAB DCF α∠=∠=，EFA EAF ∠=，FCD BAE ∆≅∆，所以，AE EF CF ==,G 为AF 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GF x FD ==，所以，可得，13AG =GF BE ==，1tan 6BE AB α∴==， 故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（ ）A. 对任意点P ，//DP 平面11AB DB. 三棱锥11P A DD -的体积为16C. 线段DP 长度的最小值为62D. 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3【答案】ABC 【解析】 【分析】对四个选项逐一分析，对于A ：平面1//C DB 平面11AB D ，可得//DP 平面11AB D ； 对于B ：三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C ：当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DP BC ，在Rt BPD △中利用勾股定理进行计算可得出DP 的最小值；对于D ：设点P 在平面11ADD A 上的投影为点Q ，PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQ PDQ PD ∠=，1PQ =PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是23⎣⎦，而sin 323π=>，从而作出判断.，对于A ：分别连接1C D 、BD 、11B D 、1AB 、1AD ，易得平面1//C DB 平面11AB D ，DP ⊂平面1C DB ，故对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故正确；对于B ：分别连接PA 、1PD ，无论点P 在哪个位置，三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，所以三棱锥11P A DD -的体积为1111326⨯⨯=，故正确； 对于C ：线段DP 在1C BD 中，当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DPBC ，在Rt BPD △中，DP ==故DP 的最小值为2对于D ：点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQPDQ PD∠=，1PQ =，而2PD ≤≤所以DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是,23⎣⎦，而sin323π=>， 所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.12.设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C. 已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D. 已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<【答案】BCD 【解析】 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(0,1)a b k +=+，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(1,1)a =，(1,)b k =-，则(0,1)a b k +=+， 因为()a b a +⊥，所以()01(1)110a b a k k +⋅=⨯++⨯=+=，解得1k =-. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14.若()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________.【答案】5 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得4a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()44551T C x =+，所以4455a C ==.故答案为：5【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】 【分析】由已知条件先判断出AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，然后求出,A B 两点坐标，再表示出P 点坐标，根据20BP AF ⋅=，利用向量数量积坐标形式得到关于,,a b c 的方程，结合c e a=及222a b c =+即可求出e .【详解】解：由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即22c a =.又222b a c =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：e =e =（舍去）.故答案为：3. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.16.已知函数()2ln f x x =，()()2102g x ax x a =-->，若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的值为__________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则a 的取值范围是__________.【答案】 (1). 32 (2). 32a ≥ 【解析】 【分析】先求()f x 导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入2y x b =-得b ，与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零解得a 的值. 先求()f x 导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a 的取值范围. 【详解】()()22ln f x x f x x '=∴=,设切点为00(,2ln )x x ，则00221x x =∴=∴切点为(1,0)022b b ∴=-∴=，直线2y x b =-代入()()2102g x ax x a =-->得22122ax x x =---，23333+0940222ax x a a -=∴∆=-⨯=∴=由上面可知切线方程为：00022ln ()y x x x x -=-，代入()()2102g x ax x a =-->得02022122ln x x ax x x =---+，20023(1)+(2ln )02ax x x x -+-= 220002000(2)23(1)4(2ln )0,(0)22(34ln )x a x a x x x x +∴∆=+-⨯-=∴=>-令200200(2),(0)2(34ln )x y x x x +=>-，则000032002(2)(4ln 1)01(34ln )x x x y y x x x ++-''=∴=⇒=-， 当01x >时0,y '>y 单调递增，当001x <<时0,y '<y 单调递减，因此22(12)321(34ln1)2y +≥=⨯-所以32a ≥故答案为：32，32a ≥【点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点.（1）求证：BM DF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【解析】 【分析】（1）根据平面ADF //平面BCE ，得到DF //CE ，再结合垂径定理即可证明； （2）连接DN ，先证明四边形ENDF 为平行四边形，再求BND ∠即可.【详解】（1）证明：连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面，因为平面//ADF 平面BCE ，所以//CE DF ，因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥，所以BM DF ⊥.（2）连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DF EN =， 所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ， 所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为2BD DN BN ===BND 为等边三角形，所以60BND ∠=︒，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60°. 【点睛】本题考查线线垂直以及异面直线夹角的求解，涉及由面面平行推证线线平行，；本题亦可用向量法处理，属综合基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设++,21,2,2,nn n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）n a n =（2）124433n n ++-【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 之间的关系，即可求得，注意判断1n =时的情况是否与结果吻合； （2）利用分组求和，结合（1）中所求{}n a ，即可求得结果. 【详解】（1）因为21122n S n n =+，所以当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()2211111112222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式，所以n a n =. （2）因为++,21,2,2,nn n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩所以对任意的k +∈N ， ()()212121212k k b b k k +--=+--=，则{}21k b +是以1为首项，2为公差的等差数列；2222222=42k k k k b b ++=，则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()()246213212222n n =+++-+++++()()124141214421433n n n n n +-+-=+=+--. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项公式，以及用分组求和法求数列的前n 项和，涉及等差和等比数列的求和公式，属综合基础题.19.已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和. 【答案】（1）满足的条件为①③；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）2π3【解析】 【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得ω的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式； （2）将()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入方程()10f x +=，求得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而确定出()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，πT =，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③；由①可知2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为()10f x +=，所以π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ， 所以()ππ6x k k =-+∈Z 或()ππ2x k k =+∈Z ，又因为[]π,πx ∈-，所以x 的取值为π6-，5π6，π2-，π2，所以方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有的解的和为2π3. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.20.法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ζ，求ζ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g .庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若()2,XN μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2,25Y N σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭②若()2,N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，()220.9544P μσημσ-<<+=，()330.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.可求得()020211022P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()1211122P C ξ==⨯⨯；()202211222P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而可求得ξ的分布列和其数学期望. （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X .假设面包师没有撒谎，则()21000,50XN .由附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则()21000,10YN .可求得这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=，而由由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<，由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，可得结论.【详解】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()02021110224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121111222P C ξ==⨯⨯=； ()20221112224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=（个）. （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X . 假设面包师没有撒谎，则()21000,50X N .根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则()21000,10Y N .庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎.【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.21.已知函数()()ln f x a x b =+.（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值；（2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）()max 2ln 22f x =-（2）a ≤时，()f x 极值点个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个【解析】【分析】（1）利用导数求出单调性，从而求得()f x 的最大值；（2）先求导数，()f x '=，导数的符号由分子()2h x x b =-+确定，先分0a ≤和0a >讨论，0a ≤时，易得()0h x <，当0a >时，将()h x 次函数，由∆确定()h x 的符号，从而判断极值点的个数.【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =此时，函数()f x 定义域为()0,∞+，()122f x x x'==， 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()()max 42ln 22f x f ==-.（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为1x ，2x ，0a =>0b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在()0,∞+上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22.已知平面上一动点A 的坐标为()22,2t t -.（1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t. （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆，两圆公共弦的中点为H ，在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22y x =（2）（i ）证明见解析；定点()2,0（ii ）存在；点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，根据A 的坐标为()22,2t t -，坐标对应相等，消去参数t 即可.（2）（i ）根据点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t ，得到点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1t =±和1t ≠±两种情况与点A 用点斜式方程求解.（ii ）根据圆A ，B 与直线2x =-相切，分别表示圆A ，圆B 的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将A ，B 坐标代入并整理，根据H 是该直线与（i ）中直线AB 的交点，两个方程相乘即可.【详解】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为()22,2t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B A AB B A y y t k x x t -==--， 所以直线AB 的方程为()22221t y t x t t +=--， 整理得()221t y x t=--，所以直线AB 过定点()2,0； （ii ）因为A 的坐标为()22,2t t -，且圆A 与直线2x =-相切，所以圆A 的方程为()()()2222A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A B x x x y y y y y x x -+-+-=-， 将()22,2A t t -，222,B t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭带入并整理得()11y t x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭①，由（i ）可知直线AB 的方程为()221t y x t =--②，因为H 是两条直线的交点， 所以两个方程相乘得()()221y x x =--+， 整理得221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点H 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心， 32为半径的圆，所以存在点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足32HP =. 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，直线过定点以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020年6月山东省济南市普通高中2020届高三针对性训练(高考三模)数学试题(解析版)
绝密★启用前山东省济南市普通高中2020届高三毕业班下学期针对性训练(高考三模)数学试题(解析版)2020年6月本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ） A. {}1x x >- B. {}02x x ≤< C. {}02x x << D. {}12x x ≤< 【答案】D【解析】【分析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{{}|1N x y x x ===≥,{}12M x x =-<<所以[)1,2MN =故选：D 【点睛】考查描述法的定义,以及交集的运算,是基础题.2.函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,0B. 0,1C. 1,2D. ()2,3【答案】C【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】3()4f x x x =+-,易知函数单调递增,(0)40f =-<,(1)20f =-<,(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点. 故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知命题p ,x ∀∈R ,12x x e e +≥,则p ⌝为（ ） A. x ∃∈R ,12x xe e +≥ B. x ∃∈R ,12x x e e +< C. x ∃∈R ,12x x e e +≤ D. x ∀∈R ,12x x e e +≤ 【答案】B【解析】【分析】全称命题:x A ∀∈,()P x 否定,是特称命题:x A ∃∈,()P x ⌝,结合已知中原命题x ∀∈R ,12x x e e+≥,可得到答案． 【详解】 原命题x R ∀∈,12xx e e +≥ ,∴ 命题x ∀∈R ,12x x e e+≥的否定是:x ∃∈R ,12x xe e +<． 故选:B ．。
2020届山东省泰安市高三6月全真模拟(三模)数学试题及答案
绝密★启用前2020届山东省泰安市高三6月全真模拟（三模）数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}2450,10A x x x B x x =--<=->，则AB =（）A ．()1-∞，B ．()11-，C ．()1，5-D ．()05，答案：B先分别求得集合A 与集合B 再根据交集运算即可求解. 解：因为()()1,5,,1A B =-=-∞，所以()1,1A B ⋂=-. 故选：B. 点评：本题考查了一元二次不等式与一元一次不等式的解法,交集的运算,属于基础题. 2．设复数z 满足()21=52i z i -+，则z 的虚部为（） A ．1- B ．i -C ．52D ．52i答案：C利用复数的四则运算化简为a bi +的形式，根据虚部的定义即可得出结果. 解：()()22525252255122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---，则z 的虚部为52. 故选：C. 点评：本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--答案：D根据()f x 定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域. 解：令24x x >，即21x <，解得0x <.若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D. 点评：本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.4．已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C由于准线恰好与圆M 相切，可知圆心到准线的距离即为半径，计算即可得结果. 解：抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C. 点评：本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.5．设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分类讨论求出集合A ，结合充分性、必要性的定义进行求解即可 解：本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =；当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次方程的解法，考查了对数不等式的解法，考查了数学运算能力.6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱32EF =，EF//平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为（）A ．6B ．113C ．314D ．12答案：B在几何体中，作FN//AE ，FM//ED ，将多面体被分割为三棱柱与四棱锥两部分求解. 解：如图，作FN//AE ，FM//ED ，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，因为EF 与平面ABCD 的距离为2， 所以四棱锥F-NBCM 的高为2， 所以V 四棱锥F-NBCM =13S NBCM 1322222323⎛⎫⨯=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭V 棱柱ADE-NMF =S 直截面313223222⨯=⨯⨯⨯=所以该刍甍的体积为V=V 四棱锥F-NBCM +V 棱柱ADE-NMF =211+3=33. 故选：B 点评：本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题. 7．函数()3cossin 2xf x x x =+在[]ππ-，的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．答案：A先根据奇偶性排除B ，D ，再通过2,33f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系确定选项. 解：因为()()()()33cos sin cos sin 22x x f x x x x x f x -⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 是奇函数，排除B ，D ；因为3333322f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332213343323f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以233f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A. 点评：本题考查函数图象的应用，还考查逻辑推理能力，属于中档题.8．如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（）A ．5 B ．5C ．2D ．2答案：D利用内切圆的性质和双曲线的定义，求出a ，再求得双曲线的离心率. 解：设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a =2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D 点评：本题考查双曲线的定义、求离心率以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归的思想. 二、多选题9．已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（） A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c += D ．53c a b =+答案：BD直接计算各向量的坐标，根据向量平行、垂直、相等的概念进行验证即可． 解：由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错；()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误；53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．故选：BD 点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行，垂直的坐标表示，考查运算求解能力． 10．某院校教师情况如下表所示关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是（） A ．2017年男教师最多 B ．该校教师最多的是2018年C ．2017年中年男教师比2016年多80人D ．2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220% 答案：BCD利用所给统计图表，逐一对选项进行分析求解即可. 解：由题意知，2018年的男教师最多，A 错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720人，为人数最多的一年，B 正确；2017年中年男教师比2016年多32024080-=（人），C 正确；2016~2018青年男教师增加了220人，增长率为220100220%÷=，D 正确. 故选：BCD. 点评：本题考查统计知识，考查数据处理能力，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 11．若()20092320090123200912x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（x ∈R ），则（） A ．01a =B ．20091352009312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C ．20090242008312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D ．123200923200912222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 答案：ACD 利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2200912200912200922009111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断. 解：由题意，当0x =时，2009011a ==， 当1x =时，()20090123200911a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-=-，当1x =-时，2009012320093a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=，所以20091352009312a a a a ++++⋅⋅⋅+=-，20090242008312a a a a -+++⋅⋅⋅+=， 2200912200912200922009111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2200901220091110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200912200901111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：ACD. 点评：本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 12．已知函数()cos cos nxf x x=（n *∈N ），则下列结论正确的是（） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象是轴对称图形C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x n ≤答案：AB利用函数的周期性、奇偶性、对称性等概念对选项逐一分析判断， 对于A ：易证()()2f x f x π+=，然后作出判断；对于B ：易证()()f x f x -=，可知()f x 为偶函数，然后作出判断；对于C ：由()()()()2cos cos 0nxn x f x f x n π⎧⎪+-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，然后作出判断；对于D ：取特殊值代入计算即可判断. 解：由于()()()()()()cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos n x n nx n nx f x f x x x xπππππ+++====++，所以()f x 是周期函数，故A 正确； 由()()()()cos cos cos cos nx nx f x f x x x--===-，从而()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 正确；由于()()()()()()2cos cos cos cos cos cos 0nxn n nx nxx f x f x x x n πππ⎧-⎪+-=+=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，从而当n 为奇数时，()f x 的图象不一定关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 不正确；当2n =时，()22cos 112cos cos cos x f x x x x-==-，令1cos 5x =-，则此时()2f x >，故D 不正确. 故选：AB. 点评：本题考查三角函数的性质，着重考查函数的周期性、奇偶性、对称性等概念，考查分析问题、解决问题的能力，属于常考题. 三、填空题13．已知直线y x b =+是曲线3xy e =+的一条切线，则b =________.答案：4设切点为()00,+3xx e ，根据导数的几何意义可求斜率0()1k f x '==，即可求出0x ，代入切线方程即可求解. 解：设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上， 故4b =. 故答案：为：4 点评：本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.14．已知2sin 2cos sin ,ααβ==且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则()cos 2αβ+=______.答案：14-根据2sin2cos αα=化简可得sin α，由cos sin αβ=可得=2παβ+，利用诱导公式求()cos 2αβ+即可.解：由2sin2cos αα= 则4sin cos cos ααα=，因为22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以1sin ,0,42παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由cos sin αβ===2παβ+，所以()1cos 2sin 4αβα+=-=-. 点评：本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，角的变换，考查运算求解的能力，属于中档题. 15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是____；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_____.（用数字作答） 答案：24330由分步乘法原理可知每个同学可以自由选择的种数，根据题意可分两类2、2、1和3、1、1安排参加竞赛，根据组合与排列即可求解. 解：若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是53243=；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案. 当分配方案为2、2、1时，共有233318C A =种；当分配方案为3、1、1时，共有132312C A =种；所以不同的选择和数是181230+=. 点评：本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．已知球O 是正三棱锥P ABC -的外接球，3AB =，23PA =，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______. 答案：94π 本题首先可以根据题意绘出图像，然后设出三棱锥的外接球半径为R 以及正三角形ABC 的外接圆圆心为D ，再然后根据正三角形的性质和23PA =得出3DA =、2R =以及1OD =，最后根据当截面与OE 垂直时截面圆的面积有最小值并通过计算即可得出结果. 解：如图，设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形ABC 的外接圆圆心为D ， 因为3AB =，三角形ABC 是正三角形，D 为正三角形ABC 的外接圆圆心， 所以3DA =因为PA =所以3PD =，()223R R +-=，解得2R =，1OD =， 因为过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小， 所以当截面与OE 垂直时，截面圆的面积有最小值，在Rt EDO ∆中，OE ==故32r ==，截面面积294S r ππ==，故答案：为：94π. 点评：本题考查空间几何体的外接球，考查正三角形的相关性质以及勾股定理的应用，考查空间想象能力，考查推理能力，是难题. 四、解答题17．在①2n S n n =+，②353516,42a a S S +=+=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_________，12112,2a ab a b ==. 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案：不论选哪个条件，始终有11211n n T n +=--+ 由()1*1,1,2n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩、等差数列的定义列方程组、递推公式11n n a a n n +=+可分别求得①②③中数列{}n a 的通项公式及前n 项和；根据题意可求得()*2nn b n N =∈，利用等比数列的前n项和公式及裂项相消法即可求得数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 解： 选①当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1n =满足2n a n =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选②设公差为d ，由353516,42a a S S +=+=，得112616,81342,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选③由11n n a n a n ++=，得11n n a a n n+=+，所以11n a a n =，即1n a a n =，74172856S a a ===，所以12a =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈. ①②③均可求得()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈，设{}n b 的公比为q ，又因为122,4a a ==，由121122,42a ab a b ====， 得12,2b q ==，所以()*2n n b n N =∈，所以数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，因为()21111111n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++. 点评：本题考查数列的综合应用，涉及等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和，裂项项相消法求和，属于中档题.18．ABC ∆的内角A ，B ，C所对的边分别为,,a b c，已知cos2cos22sin sin 1A B A B ++=+cos2C .（1）求角C.（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为2，求2CD 的最小值.答案：（1）3π（2）（1）利用二倍角的余弦公式化简等式，再利用正弦定理进行角化边，最后由余弦定理求出cos C 即可得解；（2）由三角形面积公式求出ab ，利用向量的模及基本不等式求出2CD 即可得解. 解：（1）由已知可得22212sin 12sin 2sin sin 112sin A B A B C -+-+=+-，222sin sin sin sin 2sin A B A B C =+-由正弦定理得222ab a b c =+-，所以222cos 122a b c C ab +-==，又()0C π∈，，所以3=C π.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆=，即12=2ab ，所以ab =. 由()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅，则()()()222221112cos 2444CD b a ab C b a ab ab ab =++=++≥+=a b =时取等号，所以2CD 的最小值为点评：本题考查二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理解三角形、基本不等式求范围、平面向量数量积运算，属于中档题.19．在四棱锥P ABCD -中，PAB △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，DE PB ⊥.()1证明：平面ABCD ⊥平面PAB .()2设二面角A PC B --的大小为α，求α的取值范围.答案：()1证明见解析；()2,32ππα.()1连接AE ，根据题意可证出PB ⊥平面ADE ，PB AD ⊥，进而证出AD ⊥平面PAB ，即可证出平面ABCD ⊥平面PAB ；()2建立空间直角坐标系，写出平面BPC 的法向量为()1,3,0m =，平面PAC 的法向量为31,3,n ⎛=- ⎝⎭，进而利用公式写出2213cos 3313134m n m n n n α⋅-===+⨯+++进而得出结果. 解：解：()1证明：连接AE ，因为PAB △为等边三角形，E 为PB 的中点， 所以AE PB ⊥， 又因为DE PB ⊥，AEDE E =，所以PB ⊥平面ADE ，PB AD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以AD AB ⊥，AB BP B =，所以AD ⊥平面PAB .因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAB .()2以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1PB AB PA ===，()0,1,C n ，则()0,0,0A ，31,02P ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0B ， 由空间向量的坐标运算可得31,2PC n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,02AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,02BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BPC 的法向量为()111,,m x y z =，则00m PC m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，代入可得11111310,22310,22x y nz x y ⎧-++=⎪⎪-=⎩ 令11x =，13y =，10z =，所以()1,3,0m =. 设平面PAC 的法向量为()222,,n x y z =，则00n PC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，代入可得22222310,2310,2x y nz x y ⎧++=⎪⎪+=令21x =，23y =-23z n =，所以31,3,n n ⎛=- ⎝⎭. 二面角A PC B --的大小为α，由图可知，二面角α为锐二面角，所以2213cos 3313134m n m nn n α⋅-===+⨯+++当n 趋于+∞21234n ≈+，则1cos 0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,32ππα. 点评：本题考查线面垂直，面面垂直的判定方法，考查二面角的取值范围的求法，考查运算能力，数形结合的能力，属于中档题.20．某水果批发商经销某种水果(以下简称A 水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A 水果没有售完，则批发商将没售完的A 水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A 水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A 水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．现以记录的100天的A 水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A 水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X 表示A 水果一天前8小时内的销售量，n 表示水果批发商一天批发A 水果的袋数．（1）求X 的分布列；（2）以日利润的期望值为决策依据，在15n =与16n =中选其一，应选用哪个? 答案：（1）分布列见解析（2）选15n =.（1）由题意知，根据条形图，得到销售量分别为14，15，16，17的频率，进而得到随机变量X 的分布列；（2）分别求得当15n =和16n =时，利润的数学期望()(),E Y E Z ，比较即可得到结论. 解：（1）由题意知，根据条形图，可得A 水果在每天的前8小时内的销售量分别为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1， 所以X 的分布列为X14 15 16 17 P0.20.30.40.1（2）当15n =时，设Y 为水果批发商的日利润，则Y 的可能取值为760，900， 可得()()7600.2,9000.8P Y P Y ====， 所以期望()7600.29000.8872E Y =⨯+⨯=，当16n =时，设Z 为水果批发商的日利润，则Z 的可能取值为680，820，960， 可得()()()6800.2,8200.3,9600.5P Z P Z P Z ======， 所以期望()6800.28200.39600.5862E Z =⨯+⨯+⨯=. 因为()()E Y E Z >，综上可知，当15n =时的日利润期望值大于16n =时的日利润期望值，故选15n =. 点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列，以及数学期望的应用，其中解答中认真审题，得出随机变量的取值和概率，利用数学期望的公式，准确运算是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原原点，点O 到直线AB，OAB ∆的面积为1． （1）求榷圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线//l 直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k 证明：12k k ⋅为定值．答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析. （1）由椭圆的几何性质，求得直线AB 的方程0bx ay ab +-=，根据点到直线的距离公式和三角形OAB 的面积为1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x t C x y D x y =-+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得212121,2t y y t y y -+==，结合斜率公式，化简得121121222y y y k k x x x -⋅=-，代入即可求解. 解：（1）由椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为(,0)A a ，上顶点为(0,)B b ，可得直线AB 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=， 则点O 到直线AB5=，即2222454a b a b +=，①因为三角形OAB 的面积为1，所以112ab =，即2ab =，②由①②，可解得2,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）由（1）可得220x y +-=，所以直线AB 的斜率为12-， 设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x t C x y D x y =-+， 联立方程组221214y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得222210y ty t -+-=则212121,2t y y t y y -+==，所以121211212122122y y y y y k k x x x x x --⋅=⋅=--， 所以()()()()2122122*********x x x t y t y t y t t y y y y t y ⎡⎤-=----=-++-+⎣⎦()()()()()21212121212212144y y y y y y y y y y y y y y ⎡⎤=+-+++-++=-⎣⎦，所以()12112121144y y y k k y y y -⋅==-，即1214k k =为定值.点评：本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22．已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点．（1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：()121f x x a '⋅<-． 答案：（1）()0,1a ∈（2）见解析 （1）转化为函数()1ln xg x x+=与直线()0y a =+∞在，上有两个不同交点，求导得到单调区间，画出图像得到答案：. （2）根据（1）得到1212ln ln x x a x x -=-，代入化简即要证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，设()()21ln 1t h t t t -=-+，求导得到单调区间计算最值得到答案：.解：（1）()ln 10f x x ax =-+=，1ln xa x+=， 即函数()1ln xg x x+=与直线y a =在()0+∞，上有两个不同交点， ()()2ln 0xg x x x-'=>，故当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞，时，()0g x '<. 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >.画出图象，如图所示：可得()0,1a ∈. （2）()1f x a x'=-，由（1）知12,x x 是ln 10x ax -+=的两个根， 故1122ln 10,ln 10x ax x ax -+=-+=，故1212ln ln x x a x x -=-.要证()121f x x a '⋅<-，只需证121x x ⋅>，即证12ln ln 0x x +>， 即证()()12110ax ax -+->，即证122a x x >+，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+.不妨设120x x <<，，故()()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=*++令()()()()()()()21222211140,1,ln ,0111t t x t h t t h t x t t t t t --'=∈=-=-=>+++， 则()()01h t 在，上单调递增，则()()10h t h <=，故()*式成立，即要证不等式得证.点评：本题考查了根据零点个数求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
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2020届山东省济宁市2017级高三6月高考模拟考试
数学试卷
★祝考试顺利★
2020.06
注意事项：
1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚；
2．第I卷,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案母号,在试题卷上作答无效．
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共,40分．在每小题给出的四个
选项中,只有一项符合题目要求.
1．已知集合25,3,2,1,2,4AxxBAB，则
A. 22， B. 22，1， C. 21,3,2， D.5,5
2．i为虚数单位,复数2112izii,复数z的共轭复数为z,则z的虚部为
A.i B. 2i C. 2 D.1
3．设,ab是非零向量,“0ab”是“ab”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在6132xxx的展开式中,常数项为
A．152 B. 152 C．52 D．52
2
5．函数1cossin1xxefxxe的图象大致为
6．设0.32111log,432ab则有
A．abab B．abab C．abab D．abab
7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数,以十六乘之,
九而一,所得开立方除之,即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体
积V,求这个球的直径d的近似公式,即3169dV．随着人们对圆周率π值的
认知越来越精确,还总结出了其他类似的近似公式．若取3.14,试判断下列
近似公式中最精确的一个是
A. 32dV B. 3169dV C. 32011dV D.
3
21
11
dV
8．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F,过点F的直线与抛物线C的两个交点分别
为A,B,且满足2,AFFBEuuuruuur为AB的中点,则点E到抛物线准线的距离为
A．114 B．94 C．52 D．54