第十七章 反比例函数(小结)

期末复习
第十七章 反比例函数
一、知识点：
1.反比例函数概念的理解；
2.反比例函数图象和性质；
3.反比例函数的实际应用。
二、基础知识：

1.概念：形如(0)kykx的函数叫做反比例函数。

注意：⑴要求：0,00kxy图象与坐标轴无交点；
⑵三种形式：①一般形式：(0)kykx（x在分母中的指数为1）；
②负指数形式：1ykx（x指数为1，0k）；
③积的形式：xykSxyk矩＝（或12Sxyk）
2.画图：列表、描点、连线。
⑴列表：以0为中心，在0的两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，例如：1,2,3x和

1,2,3.x
填y时，只需计算右侧的函数值，则左侧值是右侧值的相反数，只有这样才能使画出的图

象对称、美观。一般取值越多，画的图象越准确。
⑵描点：（略）
⑶连线：注意双曲线的两个分支是断开的（如图1）。
3.图象的性质：

（1）形状：双曲线（两个分支都无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交）；
（2）位置和增减性：0k双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减

小；0k双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；
（3）对称性：双曲线(0)kykx的图形是中心对称图形，本身既关于原点对称也关于直线
yxyx和
对称；双曲线(0)kykx与(0)kykx既关于x轴对称也关于y轴对称；

（4）几何意义：双曲线(0)kykx图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，它们与两坐标轴所围成
矩形的面积等于k；
（5）其它：在同一个坐标系中，k越大反比例函数图象越靠外；（如图2所示，123kkk）
注意：⑴双曲线的两个分支都无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交；⑵增减性的前提条件是在同一个
象限内。
三、应用
1.求函数解析式：
⑴建立函数模型；⑵根据题意列方程或方程组；⑶求出待定系数；⑷写出函数解析式。
2.根据实际问题或公式建立反比例函数模型，解决生活中的实际问题；
3.利用函数图象的性质解决问题。
四、练习
（一）反比例函数概念的练习
1.指出下列反比例函数中k的值。

⑴5yx ⑵3yx ⑶12yx ⑷23yx
2.做一做。
⑴已知反比例函数22(21)mymx的图象在第二象限时，求m的值。

⑵若反比例函数25mymx的图象在它所在的象限内y随x的增大而增大，求m的值。
⑶已知反比例函数2(5)nymx的图象在第一、第三象限，求m的值。
⑷若23(1)mymx是反比例函数，则_____m，_____n。
3.做一做。
⑴已知y与2x成反比例，且当x＝3时，y＝4，①写出y与x之间的函数解析式；②求x＝1.5时
y
的值。
⑵如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y与x有怎样的函数关系？

⑶如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且0x那么y与x有怎样的函数关系？

⑷已知12yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，且x＝1和x＝2时，y的值分别为2和12，
求y与x的函数关系式。
⑸已知12yyy，1y与2x成正比例，2y与2x成反比例，且x＝1时，y＝1，当x＝0时，
y
＝3，求y与x的函数关系式。
⑹已知y与3x成反比例，x与2z成反比例，求y与z的函数关系式。
（二）反比例函数图象和性质
1.已知A（x，3）时反比例函数6yx上一点，则x＝ .
2.已知反比例函数图象经过点（3，2）和（m，2），则m＝ .

3.已知11ykx，22kyx都经过（2，1），则1k＝ ，2k＝ .
4.双曲线过点（4，2），则双曲线的两支分别位于第 ， 象限。
5.若反比例函数kyx的图象经过（4，12），则当x＝6时，y＝ ，当x＝ 时，y＝4，

当y≥1时，x的取值范围是 。
6.已知反比例函数kyx经过点（1，2），那么一次函数y＝2kx的图象一定不经过第 象限。
7.反比例函数的图象在第二、第四象限内，则m的取值范围是 。
8.矩形的面积为20，则矩形的长y与宽x之间的函数解析式为 。

9.已知点A为反比例函数kyx上一点，AB⊥x轴与B点，若ABCS＝4，则k＝ 。

10函数myx与ymxm(0)m在同一坐标系中的图象可能是（C）。

分析：方法一、分情况画图（0m和0m）；方法二、同11、12题。
11.函数ykxb（0k）与kyx（0k）在同一坐标系中的图象可能是（A）。

分析：方法一、同10题；方法二、列表分析如下：
函数
A B C D

ykxb
0k 0k
0k 0k

k
yx
0k 0k
0k 0k

结论 不矛盾 矛盾 矛盾 矛盾
12正比例函数y＝2kx与反比例函数1kyx在同一坐标系中的图象不可能是（D）。
分析：方法一、同10题；方法二、列表分析如下：
函数
A B C D

y
＝2kx
0k 0k 0k 0k

1kyx

1k 1k 1k 1k

可能性 可能 可能 可能 不可能
可能的条件 0k 0k 01k ————

13.已知A（2，a），B（1，b），C（3，c）在双曲线kyx（0k）上，则abc、、的大小
关系为 。
14. 已知A（a，1），B（b，254），C（c，25）在双曲线2yx的图象上，则abc、、的大
小关系为 。
15. 已知反比例函数myx的图象上有两点A（1x，1y），B（1x，1y），当1x<0<2x时，1y>2y，
则m的取值范围是 。

16.如图3是三个反比例函数1kyx，2kyx，3kyx在同一个

坐标系中的图象，由此观察到1k，2k，3k的大小关系
为 。
（三）函数解析式

1.当n取何值时，2(1)mynx是反比例函数？它的图象在第几象限？并画出图象。

2.已知A（4，2），B（n，4）是一次函数ykxb与反比例函数myx图象的两个交点，⑴
求这两个函数的解析式。⑵根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围。
3.已知反比例函数5kyx与一次函数2yxk的图象相交，其中一个点的交点纵坐标为4，求
这两个函数的解析式。
4.已知一次函数ykxk的图象与反比例函数8yx的图象在第一象限交于B（4，n），求k，b的
值。
5.点A是正比例函数2yx与一次函数8yx在第一象限交点，求⑴A点坐标。⑵已知43yxb与
x
轴交于点C，求B的值和C的坐标。

6.已知反比例函数图象过点（1，3），⑴求反比例函数解析式。⑵求21yx与反比例函数图象的交
点A、B和坐标原点O组成的三角形的面积。
（四）应用

1.一水池内有污水60（3m），设放净全池水所需时间为t（h），1h放水量为w（3m）。⑴试写出t与
w
之间的函数解析式，t是w的反比例函数吗？⑵当w＝15时求t的值。
2.如图4，点P是x轴正半轴上一点，过P作x轴垂线交双曲线1yx与一点Q，连接OQ，当P沿
x
轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）。
A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.保持不变 D.无法确定

3.如图5，双曲线6yx上取一点B，过B作AB⊥x轴与A点，BC⊥y轴与C点。
⑴求矩形OABC的面积。
⑵作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积。
⑶你发现了什么？
⑷利用⑶的结论解决：在kyx的图象上有一点M，作MN⊥y轴与H，已知矩形ONMH的面积为9，
求解析式。
4.如图6，Rt△ABO的顶点A是双曲线kyx与直线(1)yxk在第四象限的交点，AB⊥x轴

与B，且32ABOS，求这个解析式。
5.如图7，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上与B、C不重合的任意一点，设PA＝x，
点D到PA的距离为y，求y与y之间的函数关系式。

6.已知，双曲线kyx的图象经过P（2，2），函数yaxb的图象与直线yx平行，且经过双
曲线上一点Q（1，m）.⑴求出点Q的坐标。⑵函数225kyaxbxk有最大值还是最小值，这个值
是多少？
7.某函数具有下列两条性质：①图象关于原点成中心对称；②当x>0时，函数值y随x的增大而减小。
写出一个符合条件的函数解析式 。
8某函数具有下列两条性质：①图象不经过第二象限；②图象经过点（2，5）。写出一个符合条件的
函数解析式 。.

9.一次函数22(1)21ymxm对任意的实数m，当m变化时，可表示无数条直线，求证：这无
数条直线相交于一点，求出这点坐标。

解：当m＝0时，1yx；当m＝1时，23yx。解123yxyx的21xy，把x＝2，y＝

3代入22(1)21ymxm的左右两边得：左边＝1；右边＝22(1)221mm＝1，所有，左边
＝右边，即不论m取何值时，这无数条直线都相交于一点（2，1）。