2020-2021学年河南省豫南九校高一上学期期末联考数学试题及答案

2020-2021学年河南省豫南九校高一上学期期末联考数学试题一、多选题1．下面给出的几个关系中正确的是（ ） A ．{}{},a b ∅⊆ B ．(){}{},,a b a b ⊆C ．{}{},,b a a b ⊆D ．{}0∅⊆答案：CD根据集合的关系判断，注意集合中的元素．解：A 选项，{}∅中有元素∅，{},a b 中有元素a 、b ，{}∅不包含于{},a b ，A 错， B 选项，(){},a b 中有元素(),a b ，{},a b 中有元素a 、b ，(){},a b 不包含于{},a b ，B 错，C 选项，∵{}{},,b a a b =，∴{}{},,b a a b ⊆，正确，C 正确，D 选项，∅是任意集合的子集，D 对， 故选：CD ． 二、单选题2．直线1:l 2430x y +-=与直线2:l 2470x y ++=之间的距离是（ ）ABCD．答案：C直接利用两条平行线的距离公式求解即可．解：∵直线10(,Ax By C A B ++=不同时为0)与直线20(,Ax By C A B ++=不同时为0,12)C C ≠之间的距离d =，∴直线1l 与直线2l之间的距离d ==．故选：C ．点评：本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x 、y 的系数必须一致，属于基础题．3．圆224220x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于（ ）A ．B ．C ．D ．2答案：A在圆方程中令0y =，解得x ，即可求出弦长. 解：在圆方程224220x y x y ++-+=中令0y =，得24202x x x ++=∴==-±因此弦长为2(2||-+--=故选：A点评：本题考查圆中弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.4．已知函数()223x x x f =-+在区间[]0,t 的值域是[]2,3，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1C ．(]1,2D ．[]1,2答案：D()()212f x x =-+，函数的对称轴是1x =，且()03f = ，函数的最小值是2，所以定义域里包含对称轴，函数的最大值是3，所以区间端点的最大值是2，写出t 的范围. 解：因为该二次函数图象的对称轴为1x =，而()03f =，()12f =，()23f =，所以当[]0,x t =，值域是[]2,3时，需要12t ≤≤． 故选 D点评：本题考查根据二次函数的值域求定义域，意在考查函数定义域和值域的关系，属于中档题型.5．已知m ，n ，l 为两两不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//m n ，//n l ，//l α则//m αB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若m l ⊥，l β⊥，则//m βD ．若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥答案：D根据空间直线、平面间的位置关系判断各选项．解：A ，若//m n ，//n l ，//l α，则//m α或m α⊂，故A 错误； B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能与β成任意角度，故B 错误； C ，若m l ⊥，l β⊥，则//m β或m β⊂，故C 错误；D ，由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又//αβ，得n β⊥．故D 正确. 故选：D ．6．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（ ）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =答案：C根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 解：因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C. 点评：本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.7．过点()1,1A -的直线l 的倾斜角是直线1l 10y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是（ ）A 10y -+=B 10y +=C 330y -+=D 330y ++=答案：B由2l 的斜率得倾斜角，从而得直线1l 的倾斜角，得斜率后可得直线方程．解：1tan k α==60α=︒，所以tan120k =︒=，所以直线l 的方程是：)11y x -=+10y ++=．故选：B ．8．方程()()2142k x x +=--有两个相异实根，则k 的取值范围为（ ）A ．250,5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．250,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．50,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A方程的根转化为直线(1)y k x =+与半圆24(2)y x =--有两个交点，作出半圆24(2)y x =--和直线(1)y k x =+，观察可得结论．解：()242y x =--，即()()22240x y y -+=≥，直线()1y k x =+过定点()1,0-， 画出图像，如图所示:当直线与半圆相切时，3AB =，2AC =，225BC AB AC =-=．此时斜率为25，根据图像知250,k ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭． 故选：A ．9．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．15B ．16C ．503 D ．533答案：C先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积. 解：由题得几何体原图是下图中的四棱锥A-BCDE,底面四边形BCDE 的面积为1144422210,22⨯-⨯⨯-⨯⨯= 所以四棱锥的体积为15010533⨯⨯=.故答案为C点评：(1)本题主要考查三视图还原几何体原图，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找原图常用的方法有直接法和模型法，本题使用的是模型法. 10．已知M :222220x y x y +++-=，直线l :220x y +-=，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则四边形PAMB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C 5D ．25答案：B把四边形PAMB 面积转化为△PAM 和△PMB 的面积的和，而△PAM 和△PMB 均为直角三角形，且面积相等，所以面积的最小值转化为PM 最小.解：由M :222220x y x y +++-=，得()()22114x y +++=，所以圆心()1,1M --，半径2r ，四边形PAMB面积12222PAMS SPA AM PA==⨯⨯⨯=，又2224PA PM AM PM =-=-所以当PM 最短时，四边形PAMB 面积最小，此时()()222112521PM ⨯-+--==+，所以()2min 2542S =-=.故选：B ．点评：解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．11．若函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()xf xg x e -=，其中2.718e ≈，则有（ ）A ．(2)(1)(0)g g f -<-<B ．(2)(0)(1)g f g -<<-C ．(0)(1)(2)f g g <-<-D ．(1)(0)(2)g f g -<<-答案：C试题分析：因为()()xf xg x e -=①，所以()()xf xg x e ----=，因为函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()xf xg x e-+=②，联立①、②，解得：()()12x xf x e e -=+，()()12x x g x e e -=-，所以()()001012f e e =+=，()()1112g e e --=-，()()22122g e e --=-，因为 2.718e ≈，所以()()211g g ->->，即()()()012f g g <-<-，故选C ．1、函数的奇偶性；2、函数的解析式；3、函数值的比较大小．12．如图，已知四棱锥S –ABCD 的底面是等腰梯形，//AB DC ，且SA⊥平面ABCD ，若AD=DC=BC=1，AB=SA=2，则四棱锥S –ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．8πB ．82π3C ．82πD ．22π3答案：B过点A ，B ，C ，D 作球O 的截面如图1，求出四边形ABCD 外接圆的圆心和半径，再过点S ，A ，B 作球O 的截面，如图2，找到球心，构建方程即可得解.解：过点A ，B ，C ，D 作球O 的截面如图1， 设AB 的中点为O 1，连接O 1C ，O 1D ， 则CD∥O 1A ，且CD=O 1A ，所以四边形ADCO 1是平行四边形，所以O 1C=1，同理O 1D=1，所以O 1A=O 1B=O 1C=O 1D ， 所以O 1到等腰梯形ABCD 各个顶点的距离都相等， 过点S ，A ，B 作球O 的截面，如图2，设BS 的中点为O ，连接O 1O ，OA ，则O 1O∥SA，所以O 1O⊥平面ABCD ，所以OA=OB=OC=OD ， 又SA⊥AB，所以OA=OS ，所以点O 是四棱锥S –ABCD 外接球的球心， 在Rt△SAB 中，AB=SA=2，所以OA 12BS =所以V 球34π3=⨯， 故选：B ．点评：本题考查了四棱锥的外接球的问题，求多面体的外接球的关键是找到出球心位置，再根据垂直关系构建方程，进行求解即可，属于中档题. 外接球问题大概有以下几种：（1）长方体和可补成长方体的多面体外接球问题，外接球的直径就是长方体的体对角线；（2） 正棱锥的外接球问题，球心在高线上，再运用勾股定理构造方程即可； （3）不规则多面体外接球问题，求出各棱长以及线面之间的关系，如垂直，构建方程即可. 三、填空题13．不论m 为何实数，直线120x my m --+=恒过一个定点，则这个定点的坐标为_______. 答案：(1,2)将直线的方程整理成直线的标准形式,求两定直线的交点,此点即为直线恒过的定点. 解：直线120x my m --+= 可化为:(1)(2)0x m y -+-=当:1=02=0x y -⎧⎨-⎩ 解得=1=2x y ⎧⎨⎩∴ 直线120x my m --+=恒过一个定点为:(1,2).故答案为:(1,2).点评：含参数直线恒过定点问题,采用分离参数法,把含有的参数的直线方程改写成(,)(,)0f x y g x y λ+=,解方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩便可得到定点坐标.14．设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=______．答案：2020根据对数的运算法则计算．解：∵()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，∴()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=；∴()()()()()()222222122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()222212320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+==⋅⋅⋅．故答案为：2020．15．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．6由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 解：设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =3EF = 所以6cos 3OE OEF EF ∠==． 6．点评：思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．若函数()()()215124log 1a a x x x f x x x -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩在R 上恒有成立()()21210f x f x x x ->-（12x x ≠），则实数a 的取值范围______． 答案：(]1,2分析出函数()f x 为R 上的增函数，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 解：()()()1221210f x x x f x x x ->≠-成立，设12x x >，则()()12f x f x >，所以，函数()f x 在R 上单调递增．所以，函数1log a y x =在[)1,+∞上为增函数，则1a >，函数221524a y x x -=+-在(),1-∞上为增函数，可得102111aa-⎧<⎪⎪⎨⎪-≥⎪-⎩，且有11log 124a a --≤， 所以，110211111log 1024a a a a a >⎧⎪-⎪<⎪⎪⎨-≥⎪-⎪-⎪-≤=⎪⎩，解得12a <≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2.点评：关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解. 四、解答题17．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．答案：723S =侧.过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案.解：如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ， 过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ， 所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥， 过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C EEF E =，所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥， 则1C F 为正四棱台的斜高， 由题意知145C CO ∠=，()1129332CE CO EO CO C O =-=-=⨯-=， 又2sin 45323EF CE =⋅=⨯=， ∴高()22231132333C F C E EF =+=+=，∴()1393347232S =⨯+⨯⨯=侧．点评：本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.18．已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为()1,4A -，()2,1B --，()2,3C .（1）在ABC 中，求边AC 中线所在直线方程；（2）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标及边BC 的长度. 答案：（1）95130x y -+=；（2）()3,8D ，2. （1）求出AC 边中点坐标，即可求出中线方程；（2）由M 是BD 中点即可求出D 的坐标，由距离公式可求出BC 的长度.解：（1）设AC 边中点为M ，则M 点坐标为17,22⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线71921522BMk +==+，∴直线BM 的方程为：9(1)(2)5y x --=+， 即：95130x y -+=，AC 边中线所在直线的方程为：95130x y -+=； （2）设点D 的坐标为(),x y ，由已知得M 为线段BD 的中点，有21221722x y -+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得38x y =⎧⎨=⎩，()3,8D ∴，又(2,1)B --，(2,3)C ，则||BC ==.19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时， ()113xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若不等式()()225220f x f x mx -+<-对[]2,4x ∈恒成立，求m 的取值范围.答案：（1）11,0()331,0xx x f x x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩；（2）(18,)+∞.（1）根据函数的奇偶性求解析式， 0x <时，0x ->，1()131()3xx f x f x -⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，最后分段写出即可；（2）根据函数的单调性得到()2(25)220f x f x mx -<-+等价于225220x x mx ->-+，转化为恒成立求参的问题，变量分离求函数最值即可.解：（1）当0x <时，0x ->，1()1313xx f x -⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又()f x 是奇函数， ()()f x f x -=-，故()31xf x =-+；当0x =时，(0)0f =，满足0x >的解析式；所以11,0()331,0xxxf xx⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩，（2）由（1）可知()f x图象如下图，所以()f x在R上单调递减，故()2(25)220f x f x mx-<-+等价于225220x x mx->-+，分离变量得925m xx⎛⎫>++⎪⎝⎭对[2,4]x∈恒成立，只需要max925m xx⎡⎤⎛⎫>++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得18m>，故m取值范围为(18,)+∞.点评：（1）根据奇偶性求解函数解析式，注意一个原则：由已知求未知，比如已知0x>解析式求解0x<时解析式，可以通过0x<有0x->来求解析式，中间需借助奇偶性；（2）函数值之间的关系，通过分析函数的单调性可以将其转变为自变量之间的关系，从而达到求解问题的目的.20．如图，多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，2,3,5AB AE DE===，52,5EF cos CDE=∠=,且//EF BD.（1）证明：平面ABCD⊥平面EDC；（2）求三棱锥A EFC-的体积.答案：（1）见解析；（2）43（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A D ⊥平面EDC 即可，（2）由已知5cos CDE ∠=，连接AC 交BD 于G ，作OE CD ⊥于O ，由等体积法：A EFC E AFC V V -==，进而A EFC E AFC D AFC F ADC V V V V -=--===可得出结论.解：（1）证明：∵2,3,5AB AE DE ===，由勾股定理得：AD DE ⊥, 又正方形ABCD 中AD DC ⊥，且DE DC D ⋂=, ∴AD ⊥平面EDC ，又∵AD ⊂面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EDC ; （2）由已知5cos CDE ∠=，连接AC 交BD 于G ,作OE CD ⊥于O ，则cos 1,2OD DE EDC OE =⋅∠==,又由（1）知平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD平面EDC CD =，OE ⊂面EDC ，得OE ⊥面ABCD .由//,2EF BD EF =，知四边形DEFG 为平行四边形，即//DE FG ，而A EFC E AFC V V -==，进而A EFC E AFC D AFC F ADC V V V V -=--===, 又由//EF BD ，114222323F ADC E ADC V V --==⨯⨯⨯⨯=, 所以，三棱锥A EFC -的体积43. 点评：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.21．已知函数()log af x x =，()72log 2a g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0a >且1a ≠)，定义域均为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设函数()()()12h x f x g x =+． （1）若()min 2h x =-，求实数a 的值；（2）设函数()()2log 13x x ϕ=--，定义域为[)3,+∞．若对于任意的11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总能找到一个实数[)23,x ∈+∞，使得中()()21x h x ϕ=成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）47；（2）()40,1,7⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.（1）求出()h x ，变形后利用对数性质求得最小值，由最小值为2-求得a ； （2）题意说明函数()h x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是()x ϕ在[)3,+∞上值域的子集．求出值域后根据集合包含关系求解． 解：（1）()27log 2a h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 22749349,41621672x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当1a >时，()min 3log 22a h x a ==-⇒不存在； 当01a <<时，()min 494log 2167a h x a ==-⇒=．综上，实数a 的值为47． （2）由题知，函数()h x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是()x ϕ在[)3,+∞上值域的子集．易得()x ϕ的值域为[)2,-+∞． 当1a >时，()h x 的值域为349log ,log 216a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 应有3log 2>12aa ≥-⇒时均符合． 当01a <<时，()h x 的值域为493log ,log 162aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应有494log 20<167aa ≥-⇒≤ 综上，实数a 的取值范围为()40,1,7⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦．点评：关键点点睛：本题考查对数函数的性质，与对数函数的最值、值域有关的问题涉及到对数函数的单调性，一般需要按底数a 分类讨论，即按01a <<和1a >分类，确定函数的单调性然后求解．22．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程;（2）若点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，求tan MOA ∠的最大值．答案：（1）228120x y x +-+=；（2（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，将R 、S ，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，280x y --=得出关于D E F 、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆C 的一般方程;（2）由轨迹法求得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，通过数形结合可知，OM 与()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取最大值，计算即可得解.解：（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则有80,2420,20420.E D D F D E F ⎧-+-=⎪⎪++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得8,0,12.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩解得：012E F ==，．∴圆C 的方程为：228120x y x +-+=． （2）由（1）知C :()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，00262x x y y =-⎧⎨=⎩，又P 在圆C :()2244x y -+=上，∴()220044x y -+=，∴()()2221024x y -+=，M 的轨迹方程为()2251x y -+=．数形结合易知当OM 与()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取最大值，此时25126OM =-=，所以6tan 26MOA ∠==．。