单摆法重力加速度的测定
实验用单摆测定重力加速度
实验八：用单摆测定重力加速度【实验播放】1、实验目的：(1)明确用单摆测定重力加速度的原理与方法；(2)学会用单摆测当地的重力加速度，学会减小实验误差的方法；(3)知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
2、实验原理：物理学中的单摆是在一根细线的一端系一小球，另一端固定于悬点，若细线的伸长与质量可忽略，且小球的直径远小于线长，这样的装置称为单摆。
单摆在偏角很小(不超过10°)时，可看成是简谐运动，其固有周期为T =2πg L，由此可得g =2T L 24 ；据此，通过实验方法测得摆长L 与周期T ，即可计算得到当地的重力加速度的值。
由于一般单摆的周期都不是太长，摆长在1m 左右的单摆，其周期大约2s ，依靠人为操作的秒表来测量单摆振动一个周期的时间，其误差必然较大，所以，我们不是测量单摆振动一个周期的时间，而是测量几十个周期的总时间，再来利用平均值确定一个周期的时间，从而减小由于人为操作而产生的误差。
3、实验器材铁架台与铁夹、金属小球(球上有一通过球心的小孔、秒表、细线(长约1m)、刻度尺(最小刻度为mm)。
4、实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线一端打一个稍一些的线结，制成一个单摆。
(2)将小铁夹固定在铁架台的上端，将铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后将单摆的上端固定在铁架台的上端，使摆球自然下垂，在实验桌边缘正对摆球(或摆线)处做上记号，如图所示，实验时以摆球通过此标志为准。
(3)用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心的距离)。
(4)将单摆从平衡位置拉开一小角度，再释放小球，当小球摆动稳定后，过最低位置(即标志处)时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出单摆一次全振动的时间，即单摆振动的周期。
(5)改变摆长，反复测量3次，算出周期T及测出的摆长L，将每次实验数据填入实验记录表格中。
5、数据处理(1)实验数据记录(2)方法一(公式法)：将实验数据代入公式g=2T L4 ，求出每次重力加速度的值，然后求g的平均值，即为本地的重力加速度。
实验2 重力加速度的测量
实验3 重力加速度的测量（单摆法）单摆实验有着悠久历史，当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动周期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。
本实验是用经典的单摆公式测量重力加速度g ，对影响测量精度的因素进行分析，学习如何改进测量方法，以进一步提高测量精度。
【目的要求】1、用单摆测定动力加速度；2、学习使用计时仪器（停表、光电计时器）；3、学习在直角坐标纸上正确作图及处理数据；4、学习用最小二乘法作直线拟合。
【仪器用具】单摆装置，带卡口的米尺，游标卡尺，电子停表，光电计时器。
【实验原理】把一个金属小球拴在一根细长的线上，如图1所示。
如果细线的质量比小球的质量小很多，而球的直径又比细线的长度小很多，则此装置可看做是一根不计质量的细线系住一个质点，这就是单摆。
略去空气的阻力和浮力以及线的伸长不计，在摆角很小时，可以认为单摆作简谐振动，其振动周期T 为 g l T π2= ，224T l g π= （1）式中l 是单摆的摆长，就是从悬点O 到小球 球心的距离，g 是重力加速度。
因而，单摆周期 T 只与摆长l 和重力加速度g 有关。
如果我们测量 出单摆的l 和T ，就可以计算出重力加速度g 。
【实验内容】1、固定摆长，测定g 。
（1）测定摆长（摆长l 取100cm 左右）。
图1①先用带刀口的米尺测量悬点O 到小球最低点A 的距离1l （见图1），如下所列： 悬点O 的位置1x /cm 小球最低点A 的位置2x /cm211x x l -=/cm再估计1l 的极限不确定l e 1，计算出标准不确定度311l l e =σ。
②先用游标卡尺多次测量小球沿摆长方向的直径d （见图4-1），如下所列：再求出d 和d σ③ 摆长为21--=d l l求出则摆长l 为：cm l _______________±= （2）测量单摆周期。
使单摆作小角度摆动。
单摆法测量重力加速度实验原理
单摆法测量重力加速度实验原理一、实验介绍单摆法是测量重力加速度的一种方法，其基本原理是利用单摆在重力作用下的周期性振动来测量重力加速度。
该实验可以帮助学生深入了解物理学中的重要概念，如周期、振动、重力等。
二、实验原理1. 单摆的运动规律单摆是由一个质点和一根不可伸长的轻细线组成，质点在重力作用下沿着垂直方向做简谐运动。
根据牛顿第二定律，单摆系统受到的合力为质点所受的向下的重力和绳子所受的向上张力之和。
由于绳子不可伸长，因此张力始终与线上方向相反，大小相等。
因此，单摆系统可以看成是一个简谐振动系统。
2. 单摆周期与重力加速度之间关系根据简谐运动规律，单摆周期T与其长度l和重力加速度g有关系式：T=2π√(l/g)通过测量单摆长度和周期，可以计算出地球上的重力加速度g。
3. 实验步骤（1）将单摆吊在水平方向上，并调整摆线长度，使单摆在水平方向上做小振动，观察单摆的运动情况。
（2）记录单摆的长度和周期，重复多次实验取平均值。
（3）根据上述公式计算出重力加速度g。
三、实验注意事项1. 单摆必须保持在水平方向上振动。
2. 摆线必须细长且不可伸长。
3. 实验数据应取多次测量的平均值。
四、实验误差分析1. 系统误差：由于单摆的质量分布不均匀、空气阻力等因素的存在，会影响到单摆的运动规律，从而导致实验结果产生一定误差。
2. 随机误差：由于测量仪器精度、人为操作等因素的影响，每次测量所得数据可能存在一定偏差。
通过多次重复实验可以减小随机误差。
五、实验拓展1. 可以通过改变单摆长度来观察重力加速度与单摆周期之间的关系。
2. 可以将单摆置于不同地点进行比较，探究地球重力加速度在不同地点是否相同。
实验二用单摆测定重力加速度
0.5 103 m 0.20%, ul , g 3 0.2s 0.01s uat ubt , ubt人 , ubt表 3 3 ug ut uat ubt
2 2 2
又 粗测10T ps, T qs且l 1.0000m 0.2 2 0.01 2 2 2 3 3 0.5 103 2 0.20% 4 2 2 3 n q
0ttc0?0500tt确定实验所需单摆测量周期方案22l4?tg?2222222ln2ln4?lnlnuuutdtldlgdgtlgtlg??????????????????????????????????0000
目的要求
1.掌握停表的使用。 2.学习用单摆测定重力加速度的方法。 3.根据给定仪器确定周期的测量方案，使 测定重力加速度的相对标准不确定度小于 0.2%。
实验内容及注意事项
2．精测摆长和周期，求重力加速度的结果表达式，
并验证是否与设计结论相符。 3．改变摆长测周期，用作图法或最小二乘原理拟合 直线的方法验证单摆的周期公式并求重力加速度。 4．实验中除应注意停表的正确使用与维护外，应使 5 摆角小于 ，保证实验过程中单摆系在同一铅垂面内 摆动，且待其摆稳后再予记录。测量单摆周期时应从 平衡位置开始和停止。
原理
单摆：一根细线上端固定，下端系一金属小球，当细线 质量与小球质量相比可以忽略，球直径比细线长度小 得多，可与质点近似时。 设摆长 l ，重力加速度g ，则其运动方程 mglsin 0（3.1） ml 当摆角很小时（小于5°），式(3.1)的近似解为：
0 及 取决于初始条件， g / l 为圆频率，故 式中， 单摆周期 T 2π / 2π l / g （3.2） 若测得摆长和周期，即可求出当地的重力加速度： g 4 2l / T 2 (3.3) 若改变摆长测出相应的周期，即可用作图法或最小二乘 原理验证式（3.3）并可求出当地的重力加速度。
2023新教材高中物理第二章机械振动第5节实验：用单摆测量重力加速度课件新人教版选择性必修第一册
(3)如果某同学测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．误将摆线长当作摆长 B．测摆线线长时将摆线拉得过紧 C．摆动过程中悬挂点松动了 D．实验中误将49次全振动计为50次 [解析] (1)单摆摆球经过平衡位置的速度最大，最大位移处速度为0，在平衡位 置计时误差最小。 (2)摆线要选择细些的(减小阻力)、伸缩性小些的(不改变摆长)并且尽量长一些(周 期较大，容易测量)，所以A正确；为减小摆球受阻力影响，摆球应选择质量大些、 体积小些的，所以B正确；若摆线相距平衡位置有较大的角度，则单摆就不能视为简 谐运动了，所以C错误，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全 振动的周期，所以D错误。
设计如下所示实验表格
实验 次数
摆长 l/m
周期 T/s
重力加速度 重力加速度 g 的平
g/(m·s－2)
均值/(m·s－2)
1
2
g＝g1＋g32＋g3
3
2．图像法：由 T＝2π gl 得 T2＝4gπ2l，作出 T2-l 图像，即以 T2 为纵轴，以 l 为横轴，其斜率 k＝4gπ2，由图像的斜率即可求出重 力加速度 g。
(3)根据单摆的周期公式 T＝2π gl ，解得重力加速度 g＝4Tπ22l，若误将摆线 长当作摆长，则 l 偏小，g 偏小，选项 A 正确；测摆线线长时将摆线拉得过紧， 则 l 测量值偏大，g 偏大，选项 B 错误；摆动过程中悬挂点松动了，则周期变 大，g 偏小，选项 C 正确；实验中误将 49 次全振动计为 50 次，则周期偏小， g 偏大，选项 D 错误。
实验原理与操作
[典例1] 根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细 线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
用单摆测定重力加速度
三、实验器材(有哪些)
带孔小钢球一个、 细丝线一条(长约 1 m)、 毫米刻度尺一把、 秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。
四、实验步骤(怎么做)
1．做单摆
取约 1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔 大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把 铁架台放在实验桌边， 使铁夹伸到桌面以外， 让摆球自然下垂。
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于 5° ，释放摆球， 当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做 50 次全 Δt 振动所用的时间 Δt，则单摆周期 T＝ 50
[解析]
(1)游标卡尺读数：18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm；
(2)摆线细一些有助于减小空气阻力， 伸缩性小一些保证摆长 不变，尽可能长一些使周期较大，容易测量，故 a 正确。摆球质 量大一些， 体积小一些能减小空气阻力对实验的影响， 故 b 正确。 根据 T＝2π l g可知，周期 T 与摆幅无关，且摆角太大时，小
解析： (1)刻度尺的零点对准摆线的悬点， 故单摆的摆长 l＝(88.50 2.00 － )cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。 2 秒表的读数 t＝(60＋15.2) s＝75.2 s。 t 单摆的周期 T＝n＝1.88 s。 4π2l (2)由公式 g＝ 2 可知， g 偏小的原因可能是测量摆长 l 时， 测量 T 值比真实值偏小或测量周期偏大，故选项 A、B、C 正确。
图实－1－4
(3)下列振动图像真实地描述了对摆长约为 1 m 的单摆进行周期 测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始， A、B、 C 均为 30 次全振动的图像，已知 sin 5° ＝0.087，sin 15° ＝0.26， 这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是 ________(填字母 代号)。
(高考物理)【物理实验七】用单摆测定重力加速度
用单摆测定重力加速度[实验目的]利用单摆测定当地的重力加速度。
[实验原理]单摆在摆角小于5°时的振动是简谐运动，其固有周期为T=2π，由此可得g=。
据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。
[实验器材]铁架台（带铁夹），中心有孔的金属小球，约1m长的细线，米尺，游标卡尺（选用），秒表等。
[实验步骤]1．在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，制成一个单摆。
2．将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂。
3．测量单摆的摆长l：用游标卡尺测出摆球直径2r，再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长l'，则摆长l=l'+r。
4．把单摆从平衡位置拉开一个小角度（不大于5°），使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动30至50次所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，这就是单摆的周期T。
5．将测出的摆长l和周期T代入公式g= 求出重力加速度g的值。
6．变更摆长重做两次，并求出三次所得的g的平均值。
[注意事项]1．选择细绳时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆长改变、摆线下滑的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°，可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时，进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。
[例题]某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为101.00cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5s。
实验三用单摆测定重力加速度
(5)根据 g
4
2
l T2
算出重力加速度．
(6)变更摆长，重做几次实验，算出每次实验得到的
重力加速度，并求出几次实验得到的重力加速度的平
均值，这就是我们测出的本地区的重力加速度．
可以把所测得的数据填入下面表格．
(7)把测得的重力加速度与我们所查得的本地重力加速度值进行比较，分析产生误差 的可能原因．
(3)用米尺量出悬线的长l'(精确到毫米)，用游 标卡尺测出小球的直径d(精确到毫米)，则摆长l= l'+d/2(精确到毫米)．
(4)把单摆从平衡位置拉开一个很小角度(不超过10°)，
然后放开小球让它摆动，用停表测出单摆做30～50次
全振动所用的时间，计算出平均一次全振动的时间，
这个时间就是单摆的振动周期T．
5．注意事项 (1)实验使用的单摆要求线要细、轻，且弹性小．球要小、重，选用密度较大的小球， 摆角要小于10°． (2)摆线的悬点要固定，不能在摆动时出现晃动现象． (3)要使单摆在竖直平面内摆动，不能使其成为圆锥摆． (4)测摆线长度时必须使上端点固定后再测悬点到球之间的线长，不能先测线长后 固定上端点.
物理与生活
如图9—86所示、单摆的周期公式 思考讨论 我们如何用单摆测重力加速度?
T 2 l
g
知识详解
知识点
用单摆测定重力加速度
1．实验目的
掌握用单摆测定重力加速度的方法．
2．实验原理
单摆在偏角很小(小于10°)时，振动周期跟偏角的大小(振幅)无关，和摆球的质量
无关．
由周期公式
，得
因此，测出摆长l和振动周期
(5)测量周期时，应从摆球经平衡位置时开始按表计时，并数为零．以后每次 从同一方向通过平衡位置分别数l，2，3，…，N，数N时同时按表，表上所记 录的时间就是N次全振动的时间． 以上注意事项不规范都可能产生误差．
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重力加速度的测定
单摆法
实验内容
1．学习使用秒表、米尺。
2．用单摆法测量重力加速度。
教学要求
1.理解单摆法测量重力加速度的原理。
2.研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。
3.学习在实验中减小不确定度的方法。
实验器材
单摆装置（自由落体测定仪），秒表，钢卷尺
重力加速度是物理学中一个重要参量。
地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。
一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为1/300。
研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。
利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测。
伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。
这就是单摆的等时性原理。
应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长L，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出g值。
实验原理
单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。
在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图2-1所示。
f =P sinθf
θ
T=P cosθ
P = mg L
摆球所受的力f 是重力和绳子张力的合力，f 指向平衡位置。
当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f 也可近似地看作沿着这一直线。
设摆长为L ，小球位移为x ，质量为m ，则
sin θ=
L
x
f=psin θ=-mg
L
x =-m
L
g x （2-1）
由f=ma ，可知a=-L
g x
式中负号表示f 与位移x 方向相反。
单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式：a =m
f =-ω2x
可得ω=
l
g
于是得单摆运动周期为：
T =2π/ω=2πg
L （2-2）
T 2
=
g
2
4πL （2-3）
或 g=4π2
2
T
L
（2-4）
利用单摆实验测重力加速度时，一般采用某一个固定摆长L ，在多次精密地测量出单摆的周期T 后，代入（2-4）式，即可求得当地的重力加速度g 。
由式（2-3）可知，T 2
和L 之间具有线性关系，
g
2
4π为其斜率，如对于各种不同的
摆长测出各自对应的周期，则可利用T 2—L 图线的斜率求出重力加速度g 。
误差分析
上述单摆测量g 的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:
1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。
在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的T 与θ无关。
实际上，单摆的周期T 随摆角θ增加而增加。
根据振动理论，周期不仅与摆长L 有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：
T=T 0[1+(21)2sin 22θ+(4231⨯⨯)2sin 22
θ+……]
式中T 0为θ接近于0o
时的周期，即T 0=2π
g
L
2．悬线质量m 0应远小于摆球的质量m ，摆球的半径r 应远小于摆长L ，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：
21
022
02
2
1212135212⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝
⎛
-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-++=L r m m L r L r
m m L r
g L T π
3．如果考虑空气的浮力，则周期应为：⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=摆球空气ρρ210T T 式中T 0是同一单摆在真空中的摆动周期，ρ空气是空气的密度，ρ摆球 是摆球的密度，由上式可知单摆周期并非与摆球材料无关，当摆球密度很小时影响较大。
4．忽略了空气的粘滞阻力及其他因素引起的摩擦力。
实际上单摆摆动时，由于存在这些摩擦阻力，使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。
上述四种因素带来的误差都是系统误差，均来自理论公式所要求的条件在实验中未能很好地满足，因此属于理论方法误差。
此外，使用的仪器如停表、米尺也会带来仪器误差。
操作步骤
1．仪器调整：
本实验是在自由落体测定仪上进行，故需要把自由落体测定仪的支柱调成铅直。
调整方法是：安装好摆锤后，调节底座上的水平调节螺丝，使摆线与立柱平行。
2．测量摆长L
测量摆线支点与摆球质心之间的距离L 。
由于摆球质心位置难找，可用米尺测悬点到摆球最低点的距离L 1，（测三次），用千分尺测球的直径d ，（测三次），则摆长：
L=L 1-d/2
3．测量摆动周期T
使摆球摆动幅度在允许范围内，测量摆球往返摆动50次所需时间t 50，重复测量3次，求出T =
50
350
⨯∑t。
测量时，选择摆球通过最低点时开始计时，最后计算时单位统一为
秒。
4. 将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速度。
次数 L 1（cm ） 摆 球 直径d (cm) 摆长
L=L 1-d/2(cm)
50个
周期 t 50(s)
周期T (s)
重力加速度 g (cm/s 2)
1
2
3 平均
5．实验不确定度
对g =4π
2
2
12/T
d L -
根据不确定度的相对式有： 2
22
22
2
1
)ln (
)ln (
)ln (
T d n g
T
g d
g l g g σσσσ
∂∂+∂∂+∂∂=
其中：
1ln l g ∂∂=
L
d L 12
/11=
-
L d L d g 212/21
ln 1-=--=
∂∂
T
T
g 2ln -=∂∂ 2
2
2
)2(
)2(
)(
T
L
L
g T d L
g
σσσ
σ++=
注意事项：
1．摆长的测定中，摆长约为1米，钢卷尺与悬线尽量平行，尽量接近，眼睛与摆球
最低点平行，视线与尺垂直，以避免误差。
2．测定周期T 时，要从摆球摆至最低点时开始计时，并从最低点停止计时。
这样可以把反应延迟时间前后抵消，并减少人为的判断位置产生的误差。
3．钢卷尺使用时要小心收放 4．秒表轻拿轻放，切勿摔碰。
5．实验完毕，松开秒表发条。
问题讨论
1．从误差分析角度说明为什么不直接测量单摆往返一次的时间。
2．摆球从平衡位置移开几分之一摆长时，θ≈5度。
3．单摆摆动时受到空气阻力作用，摆幅越来越小，它的周期有什么变化？如用木球代替铁球有何不同。
环城学院给排水091班
童原 0905401014。