圆锥曲线方程

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圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是数学中的一个重要分支，涉及到许多有趣而复杂的数学概念和方程。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线和方程的关键知识点进行总结。

一、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是由一个平面和一个双曲面或椭球面相交而形成的曲线。

根据平面和曲面的相对位置和交叉方式，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是圆锥曲线中最简单也是最熟悉的一种形式。

它可以定义为平面上距离两个固定点之和为常数的点组成的集合。

椭圆有两个焦点，离焦点越远的点离圆心越远。

椭圆的方程是标准方程形式(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

双曲线是由与椭圆相似的方式定义而成的。

它可以定义为平面上距离两个固定点之差为常数的点组成的集合。

双曲线有两个焦点，离焦点越远的点离中心轴越远。

双曲线的方程是标准方程形式(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a 和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

抛物线也是圆锥曲线中的一种形式。

它可以定义为平面上距离一个固定点和一个固定直线的距离相等的点组成的集合。

抛物线有一个焦点和一条准线。

抛物线的方程是标准方程形式y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数。

二、圆锥曲线的性质与应用除了定义和方程，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用。

下面我们将介绍其中的一些。

1. 焦点和准线：焦点是圆锥曲线的一个重要特征。

在椭圆和双曲线中，焦点是使得曲线上的点满足焦点定义的关键。

在抛物线中，焦点是使得平面上的点满足距离定义的关键。

准线是抛物线上离焦点最近的直线，具有独特的性质和应用。

2. 相似与合称性：圆锥曲线具有相似性质，即它们的形状在适当的缩放下保持不变。

圆锥曲线的切线方程

圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。

弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。

的切线方程为上一点：经过圆结论。

两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。

又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。

圆锥曲线标准方程

圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。

首先，我们来看圆的标准方程。

圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。

其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。

这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。

圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。

接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。

其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。

椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。

双曲线是另一种重要的圆锥曲线。

它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。

或者。

(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。

双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。

在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。

最后，我们来讨论抛物线的标准方程。

抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。

其中a、b、c为常数，且a不等于0。

抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。

它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。

深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。

总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。

圆锥曲线的切线方程的三种求法

圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。

圆锥曲线的分类及基本方程

圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。

本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。

如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。

二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。

下面分别进行讲解。

1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。

圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。

三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。

在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。

本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。

一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。

2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。

3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。

4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。

准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。

二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。

2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。

3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。

4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。

5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。

三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。

2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。

3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。

四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。

2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。

3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。

圆锥曲线的参数方程

探究：课本 P38
(1)曲线的弦 M1M2 的长是 | t1 t2 |
(2)线段
M1 M 2
的中点M对应的参数t的值是 t1
2
t2
它与椭例圆2、设4x直2 线y的2 参1数的方交程点为为A和yxB，12求 tA2Bt 的，
99
中点M和线段AB的长。方法1：把直线化为普通方程，利用普通方程来求解方法2：利用直线参数方程的几何意义来求解
等于( D )
A. 30
B. 60
C. 45
小结：
直线参数方程的标准形式：
D. 135
特点：

x y

x0 y0

t t
cos sin
① sin2 cos2 1
(t为参数)
② sin 0
例1、已知直线l:x+y-1=0与抛物线 y x2
交于A、B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A、 B两点的距离之积。
1、课本
习题组二 P41 1、2、3
2、(备选)经过点
A(3,
3 )
，倾斜角为α
的
2
直线l与圆 x2 y2 25 相交于B、C两点。
①求弦BC的长
②A恰为BC的中点时，求直线l的方程
③当|BC|=8时，求直线l的方程 ④当α 变化，求动弦BC的中点M的轨迹方程
小结＆作业
x
(t为参数)
其中参数t的几何意义:|t|是直线上任一点 M( x, y) 到 M0( x0 , y0 ) 的距离，即|M0M|=t
若t<=>0，则 MM00与MMM的方0 重向合向下上
习题组一
1、直线

圆锥曲线的参数方程课件

规律技巧利用双曲线的参数方程，可以求目标函数的最值，这是常见题型的解题方法，一定要熟练掌握．
点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角，
而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的φ称

为点M的离心角．
思考探究2
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程
x＝2pt2， y＝2pt
(t为
参数)中参数t的几何意义是什么？
提示由抛物线参数方程的推导过程可知，参数t表示抛物线
【例2】
已知A、B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方
程．
【解】如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐标公式可知：
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝＝batsaencφφ， (φ为参数)．
(3)另三种情况抛物线的参数方程如下：
普通方程
参数方程
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
名师点拨 1.圆、椭圆、双曲线的参数方程
圆、椭圆、双曲线的参数方程如下表：
点所在的 x2＋y2＝r2
曲线
ax22＋by22＝1
ax22－by22＝1
参数方程
x＝rcosθ， y＝rsinθ

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高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．

§08. 圆锥曲线方程知识要点

一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：

为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF

⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax. ii. 中心在原点，焦点在y轴上：

)0(12222babxay. ②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax

（一象限应是属于20）. 椭圆面积S=PI*a*b

⑵①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或

cay2.⑥离心率：)10(eace.⑦焦点半径：

i. 设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 离心率为：椭圆上的点到焦点的距离比上到准线的距离 ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为

“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.

0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为

2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2b. 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：

的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF

⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax. 一般方程：)0(122ACCyAx.

⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：)0,(),0,(aa 焦点：)0,(),0,(cc 准线方程cax2 渐近线方程：0byax或

02222bya

ii. 焦点在y轴上：顶点：),0(),,0(aa. 焦点：),0(),,0(cc. 准线方程：cay2. 渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx . ②轴yx,为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率ace. ④准线距c

a22

（两准线的距离）；通径ab22. ⑤参数关系acebac,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

aexMFaexMF0201 构成满足aMFMF221 aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半

径要带符号计算，而双曲线不带符号）

▲asinacos,()bsinbcos(),

N的轨迹是椭圆

▲y

xM'

MF1

▲y

xM'M

F2aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02

0201

⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.

⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax. 例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx. ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线12222byax，则常用结论1：P到焦点的距离为m：n，则P到两准线的距离比为m︰n.

简证：ePFePFdd2121 = nm. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

▲y

xF1F

123

33. 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy22 pxy22 pyx22 pyx22

图形 ▲y

▲y

焦点 )0,2(pF )0,2(pF )2,0(pF )2,0(pF

准线 2px 2px 2py 2p

y

范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴顶点（0，0）离心率 1e 焦点 12xpPF 12xpPF 12ypPF 12

ypPF

注：①xcbyay2顶点)244(2ababac. ②)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；

当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的 . 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与 BC的中点重合即可 . 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

图形方程标准方程 12222byax(ba>0) 12222bya

x(a>0,b>0) y2=2px

参数方程为离心角）参数(sincosbyax 为离心角）参数(tansecby



ptyptx22

(t为参数)

范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0

中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)

对称轴 x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0)

)0,2(pF

焦距 2c （c=22ba） 2c （c=22ba）

离心率 )10(eace )1(eace e=1

准线 x=ca2 x=ca2 2p

x

渐近线 y=±abx

焦半径 exar )(aexr

pxr

通径 ab22 ab22 2p

焦参数 ca2 ca2

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.